2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第四章 4.4三角函数的图象与性质

§4.4三角函数的图象与性质

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭

⎫3π2，－1，(2π，0)．

(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭

⎫3π2，0，(2π，1)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )

概念方法微思考

1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．

2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π

2＋k π(k ∈Z )．

(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )

(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π

3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) 题组二 教材改编

2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

4的最小正周期是________． 答案 π

3．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π

2上的值域是________． 答案 ⎣⎡⎦

⎤－3

2，3 解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π

6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－1

2，1， 故3sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－3

2，3， 即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为⎣⎡⎦

⎤－3

2，3. 4．函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π

4的单调递减区间为________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫

π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )

解析 由－π2＋k π<2x －3π4<π

2＋k π(k ∈Z )，

得π8＋k π2

2

(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫π8＋k π2，5π8＋k π

2(k ∈Z )． 题组三 易错自纠

5．在函数①y ＝cos |2x |；②y ＝|cos x |；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π

4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④ D ．①③

答案 A

解析 ①y ＝cos |2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π

2＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π

2

，故选A. 6．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π

4的对称轴为________，对称中心为________． 答案 x ＝3π

4

＋k π，k ∈Z ⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z 解析 由x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π4＋k π，k ∈Z ，由x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝π

4＋k π，k ∈Z .

故函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的对称轴为x ＝3π

4

＋k π，k ∈Z ；对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z .

三角函数的定义域和值域

例1 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为__________________________． 答案 ⎣

⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π

4(k ∈Z ) 解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．

在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π

4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函

数的定义域为

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π

4，k ∈Z .

方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．

所以定义域为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪

⎪

2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π

4，k ∈Z . (2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫

πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 答案 A

解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π

6，

所以－

3

2

≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，则－3≤y ≤2. 所以y max ＋y min ＝2－ 3.

(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2

x 的值域为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤78，2

解析 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以sin x ∈⎣⎡⎦⎤－1

2，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x ) ＝2⎝

⎛⎭⎫sin x －142＋7

8， 所以当sin x ＝14时，y min ＝7

8，当sin x ＝

－12或sin x ＝1时，y max ＝2.即函数的值域为⎣⎡⎦⎤78，2. (4)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 答案 －332

解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，

∴当cos x <1

2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；

当cos x >1

2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，

∴当cos x ＝1

2时，f (x )有最小值．

又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， 且当cos x ＝12时，sin x ＝±3

2，

∴当sin x ＝－

3

2

时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝

⎛⎭

⎫－

32×⎝⎛⎭⎫

1＋12＝－332.

思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型