四川大学离散期末考试题及答案

四川大学期末考试试卷（闭卷）
（2007-2008学年第1学期）
课程号：30485040、31100340 课程名称：离散数学（A卷）任课教师：
适用专业年级：2006级计算机科学与技术、软件工程学号：姓名：
考试须知
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分
1、下列公式中，（）不是永真式。

①（P∧Q）→Q ② P→（P∨Q）
③（P→Q）?（～Q→～P ）④（～P∨Q）∧（～（～P∧～Q））
2、下列谓词公式中是前束范式的是（）
(?x)F(x)??(?x)G(x)(?x)F(x)?(?y)G(y)②①(?x)(?y)(P(x)?Q(x,y))(?x)(P(x)?(?y)Q(x,y))④③3、对任意集合A、B、C，下列命题中为真的是（）。

①若A?B 且 B∈C，则A∈C ②若A?B 且 B∈C，则A?C
③若A∈B 且 B?C，则A∈C ④若A?B 且 B∈C，则A?C
4、设R、S 都是集合A上的二元关系，下列命题中（）不真。

①若R、S 都是自反的，则R∪S是自反的②若R、S 都是反自反的，则R∪S是反自反的
③若R、S 都是对称的，则R∪S是对称的④若R、S 都是传递的，则R∪S是传递的
5、设R1、R2都是集合A上的等价关系，下列关系中是A上的等价关系的是（）。

①（A×A）-R1 ② R1∩R2 ③ r（R1-R2）④ R1-R2
6、设集合A={1，2，3，4}，下列A上的关系构成A到A的映射的是（）。

① f1={(2,1),(2,4),(3,4),(4,1)} ② f2={(4,4),(3,1),(1,2),(4,2)}
f4={(1,4),(2,1),(3,4),(4,1)}
④ f3={(1,1),(2,1),(1,2),(3,4)} ③．
的一个划分的是（）。

，6，9}，则下列子集族中构成A7、设集合A={1，2，3，46}} 9，3}，{3}，{4，{3，，4}，{9，6}} ② {{1，2，① {{1}9}} {6，，{2，3}，6}} ，{3}，{4，
9，④ {{1，2}③ {{1，2} ）。

8、下列集合关于数的加法运算封闭的是（} B={x|x是
奇数，1，3} ②① A={-12|x|=1}
D={x|x是复数且 C={a+b|a,b∈Z} ③④）。

，Q，R分别是整数集，有理数集，实
数集，下列代数系统中，不构成环的是（9、设Z -，×是普通数的加法，减法、乘法）（其
中+， +，×）（R，③（Q，+，×）④①（Z，+，×）②（Z，-，×））。

10、设G是六阶群，则其元素的阶不能是（ 4
④② 2 ③ 3 ① 1
）。

、实数集R的下列运算不满足交换律的是（ 1122b ba ba ba a ba?=a+2b =(a+b)/2
③①④==|a-b| ② S是全体偶数的集合）、下列环中是域的是（）。

（其中12,?(,z,(z,?，×）+，×）②S，+.) .) ③④（①（Z，36??R) (R?, 13、设有代数系统为非
零实数，×是普通乘法，则下列映射中（，其中）不是自同态。

12
?x)f(xf(x)?1f(x)?x?x?x)f(①③②④x k图是（）。

14、33,④完全图哈密顿图③
平面图②①欧拉图
阶循环群有（）个不同的子群。

15、12 12
9 ④① 3 ② 6 ③）在每小题列出的五个备选项中有二个至五个是符合题105
小题，每小题2分，共分二、多项选择题（本大题共目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选、少选或未选均无分。

）。

1、下列语句中，是命题的有（
3). 我们一定要解放台湾！2). 1).美国的首都是纽约。

你喜欢日本吗？
5).如果3＞24).所有实数都是整数。

，那么有人不死。

2、设A＝{1,2,3}，则右图所示A上的关系具有（）。

1
对称性 3). 1).自反性 2).反自反性 5).4).反对称性传递性
3
2
右图所示的图一定不是（3、）。

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1).平面图 2).二部图 3).欧拉图
4).哈密而顿图 5). 树
4、设G是一个35阶群，a∈G，则a的周期不可能是（）。

1).1 2).2
3).3
4).4
5).5
）。

5、下列哈斯图中，是格的有（ 2).
1).
5).
4).
4三、简答题（本大题共小题，每小题2.5分，共10分） 1、试述命题的定义。

是单射的定义。

f、设是一个函数，试述f2
G的邻接矩阵的定义。

3、试述一个简单有向图
? B??,?A ?,和是同构的定义。

4、试述两个代数系统
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四、演算题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）
(P?(R?P))?(Q?P) 1的主合取范式及主析取范式。

、求公式
2、设集合A＝{a，b，c}，A上的关系
R＝{<a，a>，<a，b>，<a，c>，<b，b>，<b，c>，<c，c>}，1R＝{<a，a>，<a，b>，<b，a>，<b，b>， <c，c>}。

2?1,r(R),s(R),t(R,RRR,RR) 计算。

11112112
3、设简单有向图G有21条边，三个4度结点，其余结点的度都是3，计算G有多少个结点？（写出求解过程）
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??Z,??],?2],[4],?[0[，计算该子群的所有左、右陪集。

4、剩余类加群有子群6
5、下图为一连通赋权图，计算该图的最小生成树和权值。

）10分，共30分小题，每题五、推理与证明题（本大题共3、试符号化下列语句，并用演绎法证明其论证是否正确？1是自然数且8每个自然数不是奇数就是偶数；一个自然数当且仅当它能被2整除时，它才是偶数；不是奇数。

88能被2整除。

因此
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2、设B是数的集合，A＝B×B，定义A上的关系R如下： (u,v)R(x,y)当且仅当u-v=x-y，证明R是A上的一个等价关系。

?a?b?a?b?1;a b?a???I, ? , b?a?b。

定义为：3、给定代数系统和，且a,b?I?,?,?，I是整数集合，分别是通常数的加法、减法和乘法，其中，?I, ? , ?是具有幺元的可交换环。

证明
选择题答案：
4 3 3 4 2 4 3 3 2 4 3 3 2 2 2
多选 (1)1,4,5 (2)2,4,5 (3)1,2,3,5 (4)2,3,4 (5)3,4
简答题
1.能明确判断是与否的陈述句
2.对于定义域中的任意a,b,如果a不等于b,那么f(a)不等于f(b)
3.设此图的阶为n,那么其邻接矩阵为一个n*n的矩阵,对于矩阵中的元素a(i,j),
如果有想图中有一条边从i到j,则a(i,j)=1。

否则a(i,j)=0.
4.如果存在一个双射函数f,满足
对任意a,b属于A,有 f(a*b)=f(a)of(b)。

那么两个代数系统同构
计算题
或用|表示,与用&表示,非用!表示
1.主析取式 (Q&P&Q)|(Q&P&!R)|(!Q&!P&R)|(!Q&!P&!R)
主合取式 (Q|!P|R)&(Q|!P|!R)&(!Q|P|R)&(!Q|P|!R)
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2.略 :)
3.设有n个节点,则根据握手定理,列出如下方程
21*2 = 3*4+(n-3)*3
n=13
4.左右配集一共有2种
{[0],[2],[4]} {[1],[3],[5]}
5.略 :) 请自行翻书查看最小生成树算法
证明题:
1.略 :)
2. (思路为分别证明R的自反,对称,传递性)
证明自反性:
对于任意的(a,b)属于A,明显满足a-b=a-b,所以有(a,b)R(a,b)
自反性成立
证明对称性:
对于任意的(a,b),(x,y)属于A,如果(a,b)R(x,y)
那么 a-b=x-y ,那么x-y=a-b,则有(x,y)R(a,b)
对称性成立
证明传递性:
对于任意的(a,b)(c,d)(e,f)属于A,如果有(a,b)R(c,d),(c,d)R(e,f) 那么有a-b=c-d=e-f,则一定有(a,b)R(e,f)
传递性成立
综上,R为A上等价关系
3.(思路为分别证明<I,*>为交换群,<I-θ,o>为含幺可换半群)
证明<I,*>为交换群
封闭性显然成立
结合性,a*b*c=a*(b*c),结合性成立
含幺性,a*1=a,故含有幺元1,含幺性成立
可逆性,a*(2-a)=1,故对任意a有逆元(2-a),可逆性成立
可交换,a*b=b*a,可换性成立
证明<I-θ,o>为含幺可换半群
由上面证明知,θ=1
封闭性
首先对任意整数a,b(a,b不等于1),一定有aｏb依旧为整数
现在我们证明aｏb不会等于1
对任意的a,b,如果有aｏb等于1
那么a+b-axb = 1 ,则ax(1-b)=1-b
上式的解只有a等于1,或者b等于1,与a,b定义矛盾.
综上,封闭性成立.
结合性,经过计算,成立
含幺性,aｏ0=a,故有幺元0
可交换,经过计算,成立综上,证毕
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