二重积分的坐标变换
直角坐标二重积分转换极坐标
直角坐标二重积分转换极坐标1. 引言在数学中，积分是一种重要的工具，用于计算曲线、曲面以及其他几何形状的面积、体积等。
直角坐标系和极坐标系是常用的两种坐标系，它们在不同情况下有各自的优势。
本文将介绍如何将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分，以便更方便地解决一些问题。
2. 直角坐标与极坐标的关系直角坐标系是我们常见的笛卡尔坐标系，由x轴和y轴组成。
在直角坐标系中，一个点可以表示为(x, y)的形式，其中x表示点在x轴上的投影位置，y表示点在y轴上的投影位置。
而极坐标系则是以原点O为基准点，在平面上用半径r和极角θ来表示一个点P的位置。
其中，r表示点P到原点O的距离，θ表示OP与正半轴之间的夹角。
直角坐标与极坐标之间存在以下关系： - x = r * cos(θ) - y = r * sin(θ)3. 直角坐标二重积分在直角坐标系下，一个二元函数f(x, y)可以表示为z = f(x, y)的形式。
我们可以通过直角坐标系下的二重积分来计算函数f(x, y)所代表的曲面的面积、体积等。
直角坐标系下的二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dA其中D表示一个在xy平面上的区域，dA表示一个微小面积元素。
4. 极坐标二重积分在极坐标系下，一个二元函数g(r, θ)可以表示为z = g(r, θ)的形式。
我们可以通过极坐标系下的二重积分来计算函数g(r, θ)所代表的曲面的面积、体积等。
极坐标系下的二重积分可以表示为：∬D g(r, θ) r dr dθ其中D表示一个在rθ平面上的区域，r和θ分别表示距离和角度，并且rdrdθ是一个微小面积元素。
5. 直角坐标与极坐标之间的转换为了将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分，我们需要进行一些变量替换和面积元素的转换。
首先，我们需要将直角坐标系下的区域D转换为极坐标系下的区域D’。
这可以通过将直角坐标系下的x和y用极坐标公式表示来实现： - x = r * cos(θ) - y = r * sin(θ)然后，我们需要计算在极坐标系下的面积元素dA’与直角坐标系下的面积元素dA之间的关系。
计算二重积分的方法
计算二重积分的方法
1.直接积分法：根据二重积分的定义，将被积函数表示为两个变量的函数形式，然后进行积分。
2. 极坐标变换法：当被积函数具有极坐标对称性时，可以采用极坐标变换进行计算，从而简化计算过程。
3. 柱坐标变换法：当被积函数具有柱坐标对称性时，可以采用柱坐标变换进行计算，从而简化计算过程。
4. 变量替换法：当被积函数具有较为复杂的形式时，可以采用变量替换的方法将其转化为更为简单的形式，从而进行计算。
计算二重积分时，还需要注意选择合适的积分顺序和积分范围，以保证计算的正确性和有效性。
- 1 -。
21(3)二重积分的极坐标计算方法.
o
x
结束
x k o( ) x4 x1 x(u, v k ) x(u, v) v (u , v) 同理得 y2 y1 y h o( ) u (u , v) y k o( ) y4 y1 v (u , v) 当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 x2 x1 y2 y1 M 1M 2 M 1M 4 x4 x1 y4 y1
2 c
D
1 x2
a
2
y2 2 d xd b
y
D : r 1 , 0 2 ( x, y ) a cos a r sin J abr b sin b r cos ( r , )
V 2 c
D
1 r a b r d r d
(3)在变换下确定u,v的范围
D
;
(4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分;
(5)用§2求二重积分化为累次积分的方法求出其值。
题型一：引入变量替换后，化为累次积分； P242习题3
题型二：作适当的变量替换，计算二重积分。
P242习题4
d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 e y 所围成的闭域. x y 2 解: 令 u y x , v y x , 则 D o x vu vu ( D D ) x ,y v v2 2 2 1 D ( x, y ) 1 1 2 2 u v uv J 1 1 (u , v) 2 2 2 o u
§4 二重积分的变量交换
教学内容： 1.二重积分的换元法; 2.二重积分的极坐标变换; 教学重点： 二重积分的变量变换: 1.线性变换;
二重积分椭圆极坐标变换
二重积分椭圆极坐标变换
面积微元从直角坐标系转化为极坐标系的时候就会多出这个r，可以理解为面积微元在两种坐标系中的一个比例系数。
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。
某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
扩展资料：
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。
因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D 以及面积元素dσ都用极坐标表示。
函数f（x，y）的极坐标形式为f （rcosθ，rsinθ）。
为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D。
二重积分与三重积分的坐标变换
二重积分与三重积分的坐标变换在多元积分中，二重积分和三重积分是常见且重要的概念。
而在进行积分计算时，经常需要进行坐标变换，以便更方便地求解积分。
本文将介绍二重积分和三重积分的坐标变换方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、二重积分的坐标变换二重积分是在平面上对被积函数进行积分运算的过程。
当我们需要对一般区域进行积分时，可以通过进行坐标变换来简化积分的求解过程。
1. 极坐标变换极坐标变换是指从直角坐标系(x, y)到极坐标系(r, θ)的变换。
一般情况下，使用极坐标变换可以将边界简化为较简单的形式，从而简化积分的计算过程。
对于给定区域D，我们可以将其用极坐标表示为D={(x, y):(r, θ)}，其中x=r*cosθ，y=r*sinθ。
同时还需要考虑到变换过程中的雅可比行列式的影响，若将函数的积分表达式中的dx*dy替换为r*dr*dθ，则可以得到在极坐标系下的二重积分。
举例来说，若我们要计算函数f(x, y)在区域D内的积分，可以通过极坐标变换将二重积分转化为在极坐标系下的积分，即∬f(x,y)dxdy=∬f(r*cosθ,r*sinθ)*rdrdθ。
2. 其他坐标变换在实际应用中，除了极坐标变换外，还存在其他一些常用的坐标变换方法，如矩形坐标变换、椭圆坐标变换等。
这些方法的选择应根据具体的问题和积分区域的特点来决定。
二、三重积分的坐标变换三重积分是在空间中对被积函数进行积分运算的过程。
与二重积分类似，当需要对复杂的三维区域进行积分时，可以采用适当的坐标变换来简化计算过程。
1. 柱面坐标变换柱面坐标变换是将直角坐标系(x, y, z)转化为柱坐标系(ρ, θ, z)的过程。
在进行柱坐标变换时，需要注意到变换过程中的雅可比行列式的影响。
对于给定区域G，我们可以将其用柱面坐标表示为G={(x, y, z):(ρ, θ, z)}，其中x=ρ*cosθ，y=ρ*sinθ。
同时考虑到雅可比行列式的影响，可以通过将函数的积分表达式中的dx*dy*dz替换为ρ*dρ*dθ*dz，将三重积分转化为在柱坐标系下的积分。
二重积分的极坐标及球坐标形式
二重积分的极坐标及球坐标形式二重积分是高等数学中的重要概念之一，它广泛应用于物理、工程等领域。
在二重积分的研究中，极坐标和球坐标形式是常用的计算方法。
本文将分别介绍二重积分的极坐标和球坐标形式，并探讨其应用。
一、二重积分的极坐标形式在笛卡尔坐标系中，平面上的点可以用坐标(x,y)表示。
而在极坐标系中，平面上的点可以用极径r和极角θ表示。
极径r表示该点到原点的距离，极角θ表示该点与x轴正半轴的夹角。
为了方便讨论，我们假设极径r和极角θ的取值范围为[0,∞) 和[0,2π)。
在极坐标系下，我们可以得到点(x,y)和(r,θ)之间的关系：x = rcosθy = rsinθ二重积分的极坐标形式可以通过变量替换来推导得出。
假设有一个二元函数f(x,y)，要计算其在平面区域D上的二重积分∬Df(x,y)dxdy。
我们可以通过极坐标变换将其转化为对极坐标的积分。
首先，确定极坐标变换的雅可比行列式。
在极坐标变换中，雅可比行列式为r。
然后，将函数f(x,y)用r和θ表示：f(x,y) = g(r,θ)。
通过雅可比行列式的变换，可得二重积分的极坐标形式为：∬Dg(r,θ)rdrdθ。
在计算二重积分的极坐标形式时，先固定θ的范围，将区域D投影到极径r上，得到r的取值范围。
然后，在每个r值下计算g(r,θ)关于r的积分，得到在该r值下的g(r,θ)r的积分。
最后，对θ进行积分，即可得到二重积分的极坐标形式的结果。
二、二重积分的球坐标形式在三维空间中，点可以用球坐标(r,θ,φ)表示。
球坐标(r,θ,φ)表示该点到原点的距离r，极角θ和方位角φ。
为了方便讨论，我们假设极径r和极角θ、方位角φ的取值范围为[0,∞)、[0,π]和[0,2π)。
在球坐标系下，我们可以得到点(x,y,z)和(r,θ,φ)之间的关系：x = rsinθcosφy = rsinθsinφz = rcosθ类似于极坐标的推导过程，我们可以通过球坐标变换将二重积分转化为对球坐标的积分。
二重积分坐标平移规则
二重积分坐标平移规则在进行二重积分计算时，经常会碰到需要进行坐标平移的情况。
坐标平移是一种常见的积分方法，它可以简化积分运算，减少计算量，提高计算效率。
本文将介绍二重积分坐标平移规则的基本概念和具体应用。
1. 坐标平移的基本概念在二维平面上，我们通常用直角坐标系来描述点的位置。
设平面上的一个点为(x,y)，则在坐标平移中，我们可以将点的位置平移至新的位置(x+a,y+b)。
这就是坐标平移的基本概念。
在二重积分中，我们经常需要对被积函数进行坐标平移，以简化积分运算。
2. 二重积分坐标平移规则假设我们要计算如下形式的二重积分：$$ \\iint_D f(x, y) \\, dx \\, dy $$其中D是一个平面区域，f(x,y)是定义在D上的函数。
为了简化积分运算，我们可以对被积函数进行坐标平移。
设(u,v)是(x,y)经过平移得到的新坐标，则可以得到关于(u,v)的新二重积分：$$ \\iint_{D'} f(u-a, v-b) \\, du \\, dv $$其中D′是D经过平移(a,b)后得到的区域。
根据积分的性质，上式等于原来的积分表达式，即：$$ \\iint_{D'} f(u-a, v-b) \\, du \\, dv = \\iint_D f(x, y) \\, dx \\, dy $$这就是二重积分坐标平移规则的基本形式。
通过坐标平移，我们可以将原积分转化为一个更简单的形式，从而简化积分运算。
3. 二重积分坐标平移规则的具体应用下面我们通过一个具体的例子来说明二重积分坐标平移规则的应用。
考虑如下二重积分：$$ \\iint_D (x+y)^2 \\, dx \\, dy $$其中D是由 $0 \\leq x \\leq 1, 0 \\leq y \\leq 1$ 所确定的区域。
为了简化积分运算，我们可以对(x,y)进行坐标平移，令u=x+y,v=x−y。
则原积分变为：$$ \\iint_{D'} u^2 \\, du \\, dv $$其中D′是经过坐标平移后的区域。
直角坐标二重积分转换极坐标
直角坐标二重积分转换极坐标1. 引言在数学的学习中，我们经常会遇到直角坐标系和极坐标系。
二重积分是微积分中的重要内容之一，而将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的积分是一个常见且有用的技巧。
本文将深入探讨直角坐标系下的二重积分如何转换为极坐标系下的积分，并解释其原理和应用。
2. 直角坐标系与极坐标系直角坐标系是我们最常见的坐标系之一，通常用来描述平面上的点的位置。
在直角坐标系中，一个点的位置由它到x轴和y轴的距离来确定。
而极坐标系则是另一种描述平面点位置的方式，它使用点到原点的距离和点与x轴正向的夹角来确定点的位置。
3. 直角坐标系下二重积分在直角坐标系中，二重积分表示对一个平面区域上的函数进行积分。
当我们需要计算某个特定区域的面积或者求解该区域上的函数平均值时，二重积分就派上了用场。
直角坐标系下的二重积分可以用累次积分的方式进行计算，通过在x轴方向和y轴方向进行积分得到结果。
4. 极坐标系下的二重积分将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的积分是一种常见的技巧。
在极坐标系下，二重积分的计算可以更加简洁和直观。
通过将积分区域用极坐标表示，并对极角和极径进行积分，求解直角坐标系下的二重积分变为求解极坐标系下的积分问题。
这种转换可以让一些复杂的积分问题变得更容易解决。
5. 转换原理和应用转换直角坐标系下的二重积分为极坐标系下的积分的原理在于利用极坐标系下的面积元素和直角坐标系下的面积元素之间的关系，将被积函数由直角坐标系下的变量转化为极坐标系下的变量。
这样做的好处在于能够简化被积函数，使得计算变得更加方便和直观。
在工程、物理等领域中，极坐标系下的二重积分转换常常能够简化问题，提高计算效率。
6. 个人观点从直角坐标系到极坐标系的转换是微积分学习中重要的一环，掌握这一技巧可以帮助我们更好地理解和运用二重积分。
在实际问题中，通过合理选择合适的坐标系和进行坐标转换，可以使得复杂的问题变得简单化。
我认为学习并掌握直角坐标系二重积分转换为极坐标系下积分是非常有益的。
二重积分的极坐标变换
二重积分的极坐标变换二重积分的极坐标变换，这听起来有点高大上，似乎跟我们日常生活没有啥关系。
但是，别急，听我慢慢说来，这其实是个有趣的数学小故事，像是给生活加了一点调味料，哎哎，快坐好，咱们要开始了。
想象一下一个广阔的平面，那里有各种各样的点，像是在热闹的集市上，形形色色的摊位琳琅满目。
咱们的任务就是在这个平面上找出一个区域，比如说一个圆。
哈哈，圆就像是个圆饼，外边圆滑滑的，中心那块儿是甜甜的果馅。
可问题来了，咱们怎么去计算这个圆里面的面积呢？这就需要咱们用到二重积分了，听起来有点复杂，其实就像在包饺子，先把面团擀平，再放馅，最后捏紧封口。
说到二重积分，它就像是把平面上的每一个小块都给累加起来，找出总和。
这个过程呢，就像是在用放大镜观察每一个细节。
但是，平面坐标系里，横纵坐标都得用，动不动就搞得复杂。
不过，咱们聪明的数学家们早就想到了一个好办法：极坐标。
极坐标就像是为我们的集市指了一条明路，转个角，换个思路，简单得多。
极坐标到底是啥呢？简单来说，极坐标就是把我们原来的直角坐标系，转变成以某个点为中心的坐标系。
就像在舞会上，大家围着舞池转，那个中心点就是咱们的原点。
用极坐标表示的时候，咱们只需要两个东西：一个是到中心点的距离r，另一个是与某个固定方向的夹角θ。
是不是感觉一下子明亮了许多？这就像是把复杂的程序简化成了一个个小方块，轻轻松松就能拼出图案。
咱们要把这个极坐标运用到二重积分中。
普通的二重积分计算，要在x和y的范围内累加，麻烦得很。
而用极坐标，咱们只需要在r和θ的范围内来回切换。
比如，圆的半径r就是从0到某个具体的值，而θ则是从0转到2π，嘿嘿，真是顺畅得像在滑冰场上飞速滑行呢。
想象一下，咱们现在有一个圆盘，半径为R，想要计算这个圆盘的面积。
在极坐标下，面积的计算变得简单许多。
只需要用到这个公式：面积= ∫∫ dA = ∫∫ r dr dθ。
把这个公式想象成一碗丰盛的麻辣火锅，r就像火锅底料，dr和dθ是你往里面加的各种食材，最后煮出来的，就是美味的圆盘面积。
二重积分转极坐标
二重积分转极坐标二重积分是微积分中的重要概念之一，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
而将二重积分转换成极坐标形式，可以简化计算过程，提高求解效率。
在本文中，我们将探讨二重积分转极坐标的原理和应用。
首先，让我们回顾一下二重积分的定义。
对于一个在平面上有界的区域D内的函数f(x,y)，它在D上的二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA其中，dA表示微元面积，可以用dx dy或 dy dx表示。
在转换成极坐标形式之前，我们需要了解极坐标的表示方法。
在平面直角坐标系中，一个点的坐标可以用(x, y)表示，而在极坐标系中，一个点的坐标可以用(r, θ)表示。
其中，r表示点到原点的距离，θ表示极角，即点与正半轴之间的角度。
那么，如何将二重积分转换成极坐标形式呢？我们通过一系列的变换得到了答案。
首先，将直角坐标(x, y)换成极坐标(r, θ)，其中x = r cosθ，y = r sinθ。
接下来，我们需要确定在极坐标下的微元面积dA。
在直角坐标系中，微元面积dA可以表示为dA = dx dy或dA = dy dx。
而在极坐标系中，微元面积dA可以表示为dA = r dr dθ。
现在，我们将二重积分的微元面积dA用极坐标形式表示出来，即∬D f(x,y) dA = ∬D f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ。
接下来，我们可以通过对极坐标下的二重积分进行计算，来求解原函数的积分值。
通过以上的变换，我们可以看到，二重积分转换成极坐标形式之后，计算过程变得更加简洁明了。
极坐标下的积分范围也更容易确定，只需要注意极角和距离的取值范围即可。
在实际应用中，二重积分转换成极坐标形式特别适合对具有强对称性的问题进行求解。
例如，通过二重积分转换成极坐标形式，我们可以更方便地求解圆形区域内某个函数的积分值，或是对称图形的重心、转动惯量等物理量的计算。
此外，将二重积分转换成极坐标形式还有助于简化计算过程，提高求解效率。
二重积分的坐标变换
二重积分的坐标变换在数学中，二重积分是一种对二维平面区域上的函数进行积分的方法。
在计算二重积分时，坐标变换是一种常用的技巧。
通过适当选择新的坐标系，可以简化计算过程，使得原本复杂的积分变得更加容易处理。
1. 矩形坐标系下的二重积分首先，我们来回顾在矩形坐标系下的二重积分表示形式。
设函数f(x,y)在矩形区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分可以表示为：$$ \\iint\\limits_{D}f(x, y)\\,dx\\,dy $$其中，D可以表示为$D=\\{(x, y)|a \\leq x \\leq b, c \\leq y \\leq d\\}$。
2. 极坐标系下的坐标变换现在，假设我们要在极坐标系下计算函数f(x,y)在D上的二重积分。
对于极坐标系，我们可以进行如下的坐标变换：$$ \\begin{aligned} x & = r\\cos{\\theta} \\\\ y & = r\\sin{\\theta}\\end{aligned} $$其中，$0 \\leq r \\leq R$，$0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi$。
这里R是极坐标中r 的最大值。
3. 极坐标系下的二重积分表示在极坐标系下，f(x,y)可以表示为$f(r\\cos{\\theta}, r\\sin{\\theta})$，且$dx\\,dy$可以表示为$r\\,dr\\,d\\theta$。
因此，在极坐标系下，f(x,y)在D上的二重积分可以表示为：$$ \\iint\\limits_{D}f(x, y)\\,dx\\,dy = \\iint\\limits_{D}f(r\\cos{\\theta},r\\sin{\\theta})\\,r\\,dr\\,d\\theta $$4. 坐标变换的应用通过坐标变换，我们可以将原本在矩形坐标系下复杂的二重积分转化为在极坐标系下更简单的形式。
极坐标系怎么化为直角坐标系二重积分
极坐标系怎么化为直角坐标系二重积分极坐标系与直角坐标系是两种常见的坐标系，通过二重积分可以将极坐标系转换为直角坐标系。
在进行转换时，需要将极坐标系的面元元素转换为直角坐标系的面元元素，并确定极坐标系下的积分区域在直角坐标系下的范围。
首先，让我们回顾一下极坐标系和直角坐标系之间的变换关系：$$\begin{cases}x = r\cos\theta\\ y = r\sin\theta\end{cases}$$其中，$x$和$y$是直角坐标系下的坐标，$r$和$\theta$是极坐标系下的坐标。
接下来，我们将推导出极坐标系下的二重积分的微元面积元素$dA$的表达式。
根据微积分的相关知识，可知$dA$等于极坐标系中的微弧长$dS$乘以单位角$\frac{d\theta}{2\pi}$：$$dA = rdS\frac{d\theta}{2\pi}$$微元面积元素$dS$可以表示为：$$dS = rdrd\theta$$将$dS$代入$dA$的表达式中，可得：$$dA = r^2dr\frac{d\theta}{2\pi}$$现在，我们可以利用以上推导的表达式来将极坐标系下的二重积分转换为直角坐标系下的二重积分。
设$f(r,\theta)$是在极坐标系下的函数，要将其进行二重积分，可得：$$\iint f(r,\theta)dA = \int_{}^{}\int_{}^{} f(r,\theta)r^2dr\frac{d\theta}{2\pi}$$通过具体问题来说明如何进行转换。
假设要计算函数$f(r,\theta)$在极坐标系下以$r_1 \leq r \leq r_2$、$\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$为范围的二重积分。
首先，确定积分区域在直角坐标系下的范围。
通过极坐标系到直角坐标系的变换关系，可得：$$x = r\cos\theta$$$$y = r\sin\theta$$当$r=r_1$时，$x=r_1\cos\theta_1$，$y=r_1\sin\theta_1$；当$r=r_2$时，$x=r_2\cos\theta_2$，$y=r_2\sin\theta_2$。
二重积分极坐标化成普通坐标
二重积分极坐标化成普通坐标二重积分是微积分中的重要概念之一，它在数学和物理学中都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论如何将二重积分转化为极坐标形式，以及其在普通坐标系下的意义和应用。
我们来回顾一下二重积分的定义。
在普通坐标系下，二重积分可以表示为对一个平面区域上的函数进行积分。
这个平面区域可以用直角坐标系的两个变量来表示，例如x和y。
我们可以将这个平面区域分成许多小的矩形区域，每个小矩形的面积为ΔA。
然后，我们在每个小矩形上选择一个点(xi, yj)，并计算函数在该点的值f(xi, yj)。
将每个小矩形的面积和函数值相乘，并对所有小矩形求和，即可得到二重积分的值。
数学表示如下：∬f(x, y)dA = limΔA→0 Σf(xi, yj)ΔA其中，积分区域为D，D可以用一个或多个不等式来表示。
现在，我们来讨论如何将二重积分转化为极坐标形式。
在极坐标系下，平面上的点可以用极径r和极角θ来表示。
通过坐标变换，我们可以将二重积分的积分区域由直角坐标系下的D转化为极坐标系下的D'。
在极坐标系下，二重积分的定义稍有不同。
我们将平面区域D'分成许多小的扇形区域，每个小扇形的面积为ΔA'。
然后，在每个小扇形上选择一个点(r, θ)并计算函数在该点的值f(r, θ)。
将每个小扇形的面积和函数值相乘，并对所有小扇形求和，即可得到二重积分的值。
数学表示如下：∬f(x, y)dA = ∬f(r, θ)rdrdθ其中，积分区域为D'，D'可以用极坐标系下的不等式来表示。
极坐标形式的二重积分在某些情况下比直角坐标形式更方便和简化。
例如，在具有圆对称性的问题中，极坐标形式可以使计算更加简单。
此外，极坐标形式的二重积分在计算面积和质量等问题时也有重要应用。
除了极坐标形式，二重积分还有其他形式，如柱坐标形式和球坐标形式。
这些形式在不同的问题中有不同的应用。
例如，柱坐标形式适用于具有柱对称性的问题，而球坐标形式适用于具有球对称性的问题。
二重积分极坐标转换为直角坐标(3篇)
第1篇在数学分析中，二重积分是计算平面区域上函数总和的一种方法。
极坐标和直角坐标是两种常见的坐标系，它们在处理不同类型的几何问题时各有优势。
本文将探讨如何将极坐标下的二重积分转换为直角坐标系下的积分，并分析转换过程中需要注意的问题。
1. 极坐标与直角坐标的关系在直角坐标系中，一个点的坐标表示为 (x, y)。
而在极坐标系中，一个点的坐标表示为(r, θ)，其中 r 是该点到原点的距离，θ 是该点与正 x 轴的夹角。
两者之间的关系可以表示为：\[ x = r \cos \theta \]\[ y = r \sin \theta \]2. 极坐标下的二重积分在极坐标系中，一个二重积分可以表示为：\[ \iint_D f(r, \theta) r \, dr \, d\theta \]其中，D 是积分区域，f(r, θ) 是定义在 D 上的函数。
3. 极坐标转换为直角坐标要将极坐标下的二重积分转换为直角坐标系下的积分，我们需要首先将积分区域 D 和被积函数f(r, θ) 转换为直角坐标系下的表示。
3.1 积分区域的转换设积分区域 D 在极坐标系下为：\[ D = \{(r, \theta) | a \leq r \leq b, \alpha \leq \theta \leq \beta\} \]在直角坐标系下，D 的表示为：\[ D = \{(x, y) | x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, a \leq r \leq b, \alpha \leq \theta \leq \beta\} \]进一步化简得：\[ D = \{(x, y) | x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, r^2 = x^2 + y^2, a \leq r \leq b, \alpha \leq \theta \leq \beta\} \]3.2 被积函数的转换在极坐标系下，被积函数为f(r, θ)。
二重积分的坐标变换
4 sin( x2 y2 ) dxdy
D1
x2 y2
4
2 d
2 sin r rdr 4.
0 1r
首页
上页
返回
下页
结束
例 6 求曲线 ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) 和 x2 y2 a2所围成的图形的面积.
解 根据对称性有 D 4D1
在极坐标系下
D1
x2 y2 a2 r a,
r cos r sin
2. 微元变换：d dxdy rdrd
3. 区域变换：Dxy Dr
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
首页
上页
返回
下页
结束
二重积分化为二次积分的公式: θ-型区域
1. 原点在区域的外面
(1) 区域特征如图
r 1()
,
二重积分的变量代换
极坐标变换 一般变量代换
广义极坐标变换
首页
上页
返回
下页
结束
一、利用极坐标系计算二重积分
i
1 2 (ri
ri
)2
i
1 2
ri
2
i
1 2
(2ri
ri
)ri
i
r ri ri r ri
i i i
ri ri i o(ri i ),
D
i
d rdrd
o
A
极坐标下的面积元素
( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) r a 2cos2 ,
首页
上页
返回
下页
结束
由r a
2cos 2
,
ra
直角坐标系下二重积分计算的四种方法
直角坐标系下二重积分计算的四种方法
直角坐标系下二重积分是数学分析中的一个重要概念，它在计算物理量、求解微分方程等方面有着广泛的应用。
在计算二重积分时，我们可以采用以下四种方法：
1. 矩形法：将积分区域划分为若干个矩形，然后在每个矩形内
求出对应的积分值，最后将这些积分值相加即可得到二重积分的值。
2. 改变积分次序：将二重积分中的积分顺序改变，然后利用Fubini 定理将其化为两次一重积分，最后再分别求解两次一重积分，最终得到二重积分的值。
3. 极坐标变换法：将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系
下的二重积分，然后再利用极坐标下的积分公式进行计算。
4. 牛顿-莱布尼茨公式：利用牛顿-莱布尼茨公式，将原函数在
积分区域的两个端点处的函数值相减，即可得到二重积分的值。
这四种方法各有优劣，具体使用哪种方法取决于积分区域的形状、积分被积函数的特点等因素。
熟练掌握这些方法，有助于提高二重积分计算的效率和准确度。
- 1 -。
重积分 极坐标 变换顺序
重积分极坐标变换顺序
在进行重积分时，使用极坐标变换可以简化计算。
极坐标变换将笛卡尔坐标系中的点转换为极坐标系中的点，其中极坐标由极径和极角表示。
极坐标变换的公式如下：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
其中，(x, y)是笛卡尔坐标系中的点，r是极径，θ是极角。
在进行重积分时，变换顺序是指先进行极坐标变换还是先进行积分。
一般情况下，变换顺序是先进行极坐标变换，然后再进行积分。
以二重积分为例，假设要计算极坐标下的重积分：
∬f(x, y) dA
首先，将笛卡尔坐标系中的函数f(x, y)转换为极坐标下的函数f(r, θ)。
然后，确定积分区域在极坐标系中的表示方式，并对极径r和极角θ进行适当的取值范围。
最后，进行积分计算：
∬f(x, y) dA = ∫∫f(r, θ) r dr dθ
其中，积分范围根据具体问题而定。
需要注意的是，在进行极坐标变换后，积分元素也需要进行相应的变换。
在二维情况下，面积元素dA 在极坐标下的表示为r dr dθ。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
r = ϕ1 (θ)
r = ϕ2 (θ)
α ≤θ ≤ β,
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
β
α
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
2. 微元变换： dσ = dxdy = rdrdθ 微元变换：
3. 区域变换： Dxy → Drθ 区域变换：
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ .
D D
首页 上页 返回 下页 结束
二重积分化为二次积分的公式: 型区域 二重积分化为二次积分的公式 θ-型区域
结束
3. 原点在区域的内部 区域特征如图 π 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
r = ϕ (θ )
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
D
o
2π
A
= ∫ dθ ∫
0
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
极坐标系下区域的面积 σ =
π 2
2
首页
上页
返回
下页
结束
例 6 求曲线 ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) 所围成的图形的面积. 和 x 2 + y 2 ≥ a 2 所围成的图形的面积
解 根据对称性有 D = 4D1
在极坐标系下
D1
x 2 + y 2 = a 2 ⇒ r = a,
( x + y ) = 2a ( x − y ) ⇒ r = a 2 cos 2θ ,
首页 上页 返回
D′
u=v
o
下页 结束
u
1 1 ∂( x, y) − 2 2 1 J= = =− , 1 1 ∂ ( u, v ) 2 2 2
故
∫∫ e
D
2
y− x y+ x
1 dxdy = ∫∫ e − dudv 2 D′
u v
u v
1 1 2 = ∫0 dv ∫ ve du = ∫ (e − e −1 )vdv = e − e −1 . − 2 2 0
其中 a > 0,
在这变换下 D → D′ = {( r , θ) 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π},
首页
上页
返回
下页
结束
∂( x, y) J= = abr . ∂ ( r ,θ )
J 在 D′ 内仅当 r = 0 处为零， 处为零， 故换元公式仍成立， 故换元公式仍成立，
∴∫∫
D
x2 y2 2 2 1 − 2 − 2 dxdy = ∫∫ 1 − r abrdrdθ = πab. 3 a b D′
∫∫ rdrdθ .
D
首页
上页
返回
下页
结束
则可求得D 若 f ≡1 则可求得 的面积 1 2π 2 σ= dσ = ϕ (θ ) dθ D 2 0
∫∫
∫
思考: 轴相切于原点,试 思考 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点 试 的变化范围是什么? 问 θ 的变化范围是什么 (1)
y
r = ϕ(θ )
D
式，其中积分区域
D = {( x, y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
x = r cosθ 解 在极坐标系下 y = r sinθ
x2 + y2 = 1
1 直线方程为r = , sinθ + cosθ
所以圆方程为 r = 1,
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy= ∫
首页 上页 返回 下页 结束
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续， 连续，变换 T : x = x ( u, v ), y = y( u, v ) 将 uov 平面上的闭区域 D′ 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x ( u, v ), y( u, v ) 在 D′ 上具有一阶连续偏导数 ； ( 2) 在 D′ 上雅可比式 ∂( x, y) J ( u, v ) = ≠ 0; ∂ ( u, v )
D
y− x y+ x
dxdy, 其中D由 x 轴、y轴和直
所围成的闭区域． 线 x + y = 2 所围成的闭区域．y
解 令 u = y − x,
v = y + x,
D
x+ y=2
v−u , 则x= 2
v+u y= . 2
o
v
u = −v
x
v=2
D → D′, 即 x = 0 → u = − v; y = 0 → u = v; x + y = 2 → v = 2.
6 x 2 + y 2 = 2 y ⇒ r = 2 sinθ
x − 3y = 0 ⇒ θ1 =
π 3
π
∫∫ ( x
D
2
+ y )dxdy = ∫
2
π 6
π dθ ∫ r ⋅ rdr = 15( − 3 ). 2 sin θ 2
4 sin θ 2
首页
上页
返回
下页
结束
sin( π x 2 + y 2 ) dxdy , 例 5 计算二重积分 ∫∫ 2 2 x +y D 2 2 其中积分区域为 D = {( x , y ) | 1 ≤ x + y ≤ 4}.
返回 下页 结束
首页
上页
(2) 区域特征如图
α ≤θ ≤ β,
r = ϕ1(θ )
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
D
β
r = ϕ2 (θ )
∫∫
D
f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
= ∫ dθ ∫
α β ϕ 2 (θ )
o
α
A
ϕ 1 (θ )
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
v
首页
上页
返回
下页
结束
例8 计算∫∫
D
x2 y2 1− 2 − 2 dxdy, 其中D 为 a b
x2 y2 所围成的闭区域． 椭圆 2 + 2 = 1 所围成的闭区域． a b
解
x = ar cos θ, 作广义极坐标变换 y = br sin θ,
b > 0, r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π .
2 2 2 2 2 2
首页
上页
返回
下页
结束
r = a 2 cos 2θ , 由 r=a
所求面积σ =
π 得交点 A = ( a, ) , 6
∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdy
D
D1
π 6
= 4 ∫ dθ ∫
0
a 2 cos 2 θ
a
rdr
π = a ( 3 − ). 3
2
首页
上页
返回
下页
r2
r1
o
D
θ = θ1 (r )
r1
r2
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ rdr ∫
r1
首页 上页
r2
θ2 (r )
θ1 ( r )
f ( r cos θ , r sin θ )dθ .
下页 结束
返回
例 1 写出积分∫∫ f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形
(2) y
r = ϕ(θ )
D
D
o
(2) − ≤θ ≤ 2 2
返回 下页 结束
x
o x 答: (1) 0 ≤θ ≤ π ;
首页 上页
π
π
二重积分化为二次积分的公式: 型区域 二重积分化为二次积分的公式 r-型区域
区域特征如图
θ =θ2(r)
r1 ≤ r ≤ r2 ,
θ 1 ( r ) ≤ θ ≤ θ 2 ( r ).
2 2 2
D1
D S2 D
R
S = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ R,0 ≤ y ≤ R}
2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0}
显然有 D1 ⊂ S ⊂ D2
Q e
− x2 − y2
> 0,
∴
∫∫ e
D1
− x2 − y2
dxdy ≤ ∫∫ e
S
− x2 − y2
dxdy ≤ ∫∫ e
D2
R − y2
D
π
2
0
dθ ∫
1
1 sin θ + cosθ
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
下页 结束
首页
上页
返回
例2
计算 ∫∫ e
D
− x2 − y2
dxdy ，其中 D 是由中心在
原点， 的圆周所围成的闭区域. 原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域
解
在极坐标系下
y
D： D： 0 ≤ r ≤ a ， 0 ≤ θ ≤ 2 π
二重积分的变量代换
极坐标变换 一般变量代换
广义极坐标变换
首页
上页
返回
下页
结束
一、利用极坐标系计算二重积分