二重积分的坐标变换

D
式，其中积分区域
D = {( x, y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
x = r cosθ 解 在极坐标系下 y = r sinθ
x2 + y2 = 1
1 直线方程为r = , sinθ + cosθ
所以圆方程为 r = 1,
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy= ∫
∫∫ e
D
−x −y
2
2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
θ
−r2
rdr
a x
= π(1 − e
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−a2
).
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例3
求广义积分∫0 e
∞
− x2
dx .
D2 S
解 D1 = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ R 2 }
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
1. 原点在区域的外面 (1) 区域特征如图
r = ϕ1 (θ)
r = ϕ2 (θ)
α ≤θ ≤ β,
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
β
α
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
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D′
u=v
o
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u
1 1 ∂( x, y) − 2 2 1 J= = =− , 1 1 ∂ ( u, v ) 2 2 2
故
∫∫ e
D
2
y− x y+ x
1 dxdy = ∫∫ e − dudv 2 D′
u v
u v
1 1 2 = ∫0 dv ∫ ve du = ∫ (e − e −1 )vdv = e − e −1 . − 2 2 0
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极坐标变换的适用情形: 极坐标变换的适用情形 积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如 积分区域为圆域或圆域的一部分 或被积函数形如 f ( x 2 + y 2 )
注意： 注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换” 的二重积分需要进行“三换”： x = r cos θ 1. 坐标变换： 坐标变换： y = r sin θ
v
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例8 计算∫∫
D
x2 y2 1− 2 − 2 dxdy, 其中D 为 a b
x2 y2 所围成的闭区域． 椭圆 2 + 2 = 1 所围成的闭区域． a b
解
x = ar cos θ, 作广义极坐标变换 y = br sin θ,
b > 0, r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π .
r2
r1
o
D
θ = θ1 (r )
r1
r2
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ rdr ∫
r1
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r2
θ2 (r )
θ1 ( r )
f ( r cos θ , r sin θ )dθ .
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例 1 写出积分∫∫ f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形
其中 a > 0,
在这变换下 D → D′ = {( r , θ) 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π},
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∂( x, y) J= = abr . ∂ ( r ,θ )
J 在 D′ 内仅当 r = 0 处为零， 处为零， 故换元公式仍成立， 故换元公式仍成立，
∴∫∫
D
x2 y2 2 2 1 − 2 − 2 dxdy = ∫∫ 1 − r abrdrdθ = πab. 3 a b D′
π
4
(1 − e
− R2
)
I 2 = ∫∫ e
D2
− x2 − y2
π −2 R2 dxdy = (1 − e ); 4
Q I1 < I < I 2 ,
R π π 2 − R2 − x2 −2 R2 ); ∴ (1 − e ) < ( ∫ e dx ) < (1 − e 0 4 4 π π 当 R → ∞ 时, I 1 → , I 2 → , 4 4 ∞ ∞ π π 2 − x2 −x 故当 R → ∞ 时, ( ∫ e dx ) = 即 ∫ e dx = 0 0 4 2
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定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续， 连续，变换 T : x = x ( u, v ), y = y( u, v ) 将 uov 平面上的闭区域 D′ 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x ( u, v ), y( u, v ) 在 D′ 上具有一阶连续偏导数 ； ( 2) 在 D′ 上雅可比式 ∂( x, y) J ( u, v ) = ≠ 0; ∂ ( u, v )
− x2 − y2
dxdy .
− x2
又Q I =
∫∫ e
S
− x2 − y2
dxdy = ∫ e dx ∫ e 0 0
− x2
R
dy = ( ∫0 e
结束
R
dx ) 2
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由上题结论
I 1 = ∫∫ e
D1 − x2 − y2
dxdy = ∫ dθ ∫ e
0 0
π 2
R
−r2
rdr =
二重积分的变量代换
极坐标变换 一般变量代换
广义极坐标变换
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一、利用极坐标系计算二重积分
1 1 2 2 ∆σ i = ( ri + ∆ri ) ⋅ ∆θ i − ri ⋅ ∆θ i 2 2 r = ri + ∆ri 1 r = ri = ( 2ri + ∆ri )∆ri ⋅ ∆θ i 2
D
π
2
0
dθ ∫
1
1 sin θ + cosθ
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
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例2
计算 ∫∫ e
D
− x2 − y2
dxdy ，其中 D 是由中心在
原点， 的圆周所围成的闭区域. 原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域
解
在极坐标系下
y
D： D： 0 ≤ r ≤ a ， 0 ≤ θ ≤ 2 π
θ = θ i + ∆θ i
∆σ i
D
= ri ⋅ ∆ri ⋅ ∆θ i + o(∆ri ⋅ ∆θ i ),
θ = θi
⇒
dσ = rdrdθ
o
A
rdθ dσ dr dθ r
结束
极坐标下的面积元素
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( r cos θ , r sin θ )rdrdθ
D
D
∫∫ rdrdθ .
D
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则可求得D 若 f ≡1 则可求得 的面积 1 2π 2 σ= dσ = ϕ (θ ) dθ D 2 0
∫∫
∫
思考: 轴相切于原点,试 思考 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点 试 的变化范围是什么? 问 θ 的变化范围是什么 (1)
y
r = ϕ(θ )
(2) y
r = ϕ(θ )
D
D
o
(2) − ≤θ ≤ 2 2
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x
o x 答: (1) 0 ≤θ ≤ π ;
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π
π
二重积分化为二次积分的公式: 型区域 二重积分化为二次积分的公式 r-型区域
区域特征如图
θ =θ2(r)
r1 ≤ r ≤ r2 ,
θ 1 ( r ) ≤ θ ≤ θ 2 ( r ).
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(2) 区域特征如图
α ≤θ ≤ β,
r = ϕ1(θ )
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
D
β
r = Fra Baidu bibliotek2 (θ )
∫∫
D
f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
= ∫ dθ ∫
α β ϕ 2 (θ )
o
α
A
ϕ 1 (θ )
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
2 2 2 2 2 2
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r = a 2 cos 2θ , 由 r=a
所求面积σ =
π 得交点 A = ( a, ) , 6
∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdy
D
D1
π 6
= 4 ∫ dθ ∫
0
a 2 cos 2 θ
a
rdr
π = a ( 3 − ). 3
2
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2 2 2
D1
D S2 D
R
S = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ R,0 ≤ y ≤ R}
2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0}
显然有 D1 ⊂ S ⊂ D2
Q e
− x2 − y2
> 0,
∴
∫∫ e
D1
− x2 − y2
dxdy ≤ ∫∫ e
S
− x2 − y2
dxdy ≤ ∫∫ e
D2
R − y2
( 3) 变换 T : D′ → D 是一对一的，则有 是一对一的，
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫∫ f [ x( u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv .
D D
证明见本课件末,不做要求 证明见本课件末 不做要求. 不做要求
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例7 计算 ∫∫ e
π 2
2
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例 6 求曲线 ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) 所围成的图形的面积. 和 x 2 + y 2 ≥ a 2 所围成的图形的面积
解 根据对称性有 D = 4D1
在极坐标系下
D1
x 2 + y 2 = a 2 ⇒ r = a,
( x + y ) = 2a ( x − y ) ⇒ r = a 2 cos 2θ ,
6 x 2 + y 2 = 2 y ⇒ r = 2 sinθ
x − 3y = 0 ⇒ θ1 =
π 3
π
∫∫ ( x
D
2
+ y )dxdy = ∫
2
π 6
π dθ ∫ r ⋅ rdr = 15( − 3 ). 2 sin θ 2
4 sin θ 2
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sin( π x 2 + y 2 ) dxdy , 例 5 计算二重积分 ∫∫ 2 2 x +y D 2 2 其中积分区域为 D = {( x , y ) | 1 ≤ x + y ≤ 4}.
2
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例4
计算 ∫∫ ( x + y )dxdy ，其 D 为由圆
2 2 D
x 2 + y 2 = 2 y ， x 2 + y 2 = 4 y 及直线 x − 3 y = 0 ， y − 3 x = 0 所围成的平面闭区域.
解
y − 3x = 0 ⇒ θ 2 =
π
3
x 2 + y 2 = 4 y ⇒ r = 4 sinθ
D
y− x y+ x
dxdy, 其中D由 x 轴、y轴和直
所围成的闭区域． 线 x + y = 2 所围成的闭区域．y
解 令 u = y − x,
v = y + x,
D
x+ y=2
v−u , 则x= 2
v+u y= . 2
o
v
u = −v
x
v=2
D → D′, 即 x = 0 → u = − v; y = 0 → u = v; x + y = 2 → v = 2.
结束
二、二重积分的换元法
平面上同一个点， 平面上同一个点，直角 坐标与极坐标之 x = r cos θ, 间的关系为 y = r sin θ.
上式可看成是从直角坐 标平面 roθ 到直角 θ 的一种变换， 坐标平面 xoy 的一种变换， 即对于 roθ 平
通过上式变换， 面上的一点 M ′( r , θ)，通过上式变换，变 成 xoy 平面上的一点 M ( x , y )，且这种变 换是一对一的． 换是一对一的．
结束
3. 原点在区域的内部 区域特征如图 π 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
r = ϕ (θ )
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
D
o
2π
A
= ∫ dθ ∫
0
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
极坐标系下区域的面积 σ =
2. 微元变换： dσ = dxdy = rdrdθ 微元变换：
3. 区域变换： Dxy → Drθ 区域变换：
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ .
D D
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二重积分化为二次积分的公式: 型区域 二重积分化为二次积分的公式 θ-型区域
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2. 原点在区域的边界上 区域特征如图
α ≤θ ≤ β,
0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
r = ϕ (θ )
D
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
β
o
α
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
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解 由对称性，可只考虑第一象限部分， 由对称性，
D = 4D1
注意：被积函数也要有对称性 注意：被积函数也要有对称性.
D 1
sin( π x 2 + y 2 ) sin( π x 2 + y 2 ) ∫∫ x 2 + y 2 dxdy = 4 ∫∫ x 2 + y 2 dxdy D1 D
sin πr rdr = −4. = 4 ∫ dθ ∫ 0 1 r