11第2章费克扩散 环境水力学 教学课件

第二节 费克定律和扩散方程
设c(x,t)是时刻t位于x点上单 位体积的质量。在该体积内 保守的污染物质量对时间的 变化率为：
一维 c(x, t) x
t
一维输移的控制体：两个具有 单位面积的平行面与x轴垂直
设在x处的通量为q(x,t)，则在(x+△x)处的通量为:
q(x,t)q(x,t)x x
第二节 费克定律和扩散方程
定压比热的量纲为[HM-1Θ-1], 定压比热Cp=4.1868J/(g℃)
热浓度的量纲为[HL-3]，热量单位为焦耳（J） ρCp一般变化很小，因此，温度高低是热污染大小
的标志
第一节 基本概念
2.稀释度S
样品总体积与样品中所含污水体积之比
S样 品 样中 品所 总含 体的 积 污污水 污 水体 水 清 体积 体 水 积积 体 积
的物理过程的反应，亦具有保守性。对具有保守 性的物质，也称为保守物质。
第二节 费克定律和扩散方程
一、费克定律
静止的水体中存在分子的不规则运动，从而使在水中的微 粒也作不规则的运动，这个现象早已在1826年为布朗的 著名实验证实。
费克（Fick）扩散（分子扩散）： 由于水的分子运动而使水中的污染物质发生扩散
由于水流、污染物输移的脉动特性，有时间平均浓 度、空间平均浓度等。
第一节 基本概念
与水和空气有关的一些重要物理量的数值
1大气压，40C
水100k0g/m3
1大气压，100C
空 气1.24k8g/m 3
常压常温下，空气的密度是水的 1/800 一般取海水密度为 海水102k0g/m 3
浓度的量纲
根据质量守恒定律有：单位时间流入的污染物质量-流出的 污染物质=污染物质量对时间的变化率相等，即:
q (x ,t) [q (x ,t) q (x ,t) x ] c (x ,t) x
x
t
q c 0 x t
Fick定律：
q
D
c x
c 2c t D x2
二阶线性抛物
型偏微分方程
如将q(x,t)作为热通量， c(x,t)作为热污染（或温度
两种描述方法 （1）浓度量纲均采用[ML-3]
一维质量—[ML-2] 二维质量—[ML-1] 三维质量—[M] （2）质量量纲采用[M] 一维浓度量纲—[ML-1] 二维浓度—[ML-2] 三维浓度—[ML-3]
第一节 基本概念
第一节 基本概念
浓度的量纲
浓度常用单位
mg/L — 1升水的质量可近似地等于1千克 ppm —1百万份重的溶液中所含溶质的重量份
甘汕
0.72×10-5
氢
5.13×10-5
尿素
1.06×10-5
氮
1.64×10-5
葡萄糖
0.60×10-5
氯化氢
2.64×10-5
蔗糖
0.45×10-5
硫化氢
1.80×10-5
食盐
1.35×10-5
硫酸
1.73×10-5
氢氧化钠
1.51×10-5
D值由实验确定，D值大，扩散快；反之，扩散慢。
二、分子扩散方程的推导
或
总流量 S 污水流量
S=1,污水未得到任何稀释； S=∞,为未污染纯水 印染行业：色度（铂钴标准比色法、稀释倍数法） 在每升溶液中含有2mg六水合氯化钴(Ⅳ)和1mg铂
（以六氯铂(Ⅳ)酸的形式）时产生的颜色为1度 相对浓度：P=1/S，样品内的污水体积率
第一节 基本概念
3.示踪物质 是一种理想的质点： ➢ 与水的密度相同； ➢ 可看作水质点的一部分，而与水流作同步运动； ➢ 在扩散输移中不发生化学过程、生化过程和其它
第二节 费克定律和扩散方程
某些物质在水中的分子扩散系数（ cm2·s-1，水温为20℃）
物质
扩散系数D
物质
扩散系数D
氧
1.80×10-5
醋酸
0.88×10-5
二氧化碳
1.50×10-5
甲醇
1.28×10-5
一氧化氮
1.51×10-5
乙醇
1.00×10-5
氨
1.76×10-5
酚
0.84×10-5
氯
1.22×10-5
t
x2 y2 z2
时变项
分子扩散项
扩散方程本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现
），变为热传导方程。
第二节 费克定律和扩散方程
推的广浓到度三是维向：径考r和虑时一间体t积的为函V数，，表所面以面在积该为体S积的内流的体污，染示物踪总物
质量为：
vc(r,t)dV
ห้องสมุดไป่ตู้
n
n
V
q
设污染的质量通量为 q(r,t)，则由q质量守恒S（当不考虑生化
和化学等作用）有：
t
vc(rr, t )dV
s(qr
(
rr
,
t
)
×
rn)dS
0
式中：n为面积元dS的外法线单位矢量。应用高斯定理
则得：
qr × nr dS
s
r
v × q dV
( v
c t
× qr ) dV 0
因为体积是可以任意取定的，故有
第二节 费克定律和扩散方程
c
•q
t
qDc
c D2c t
用直角坐标表示
cD(2c2c2c)
第二章 费克扩散
第一节 基本概念
第一节 基本概念
一、浓度、稀释度、示踪物质
1.浓度
定义：在单位体积的水中含有的污染物质量
c m v
或
m
c lim
vv1 v
式中：v1是一个尺寸非常小但仍包含有大量分子的特征体积
➢定义流场中一点的浓度，以便将浓度作为空间的连
续函数来处理
➢使该点内的污染物质量具有确定的统计平均值
除了在静水中，分子扩散是使污染物质发生扩散的唯一 原因外，它还存在于一切流动的水体中。
第二节 费克定律和扩散方程
费克定律： 1855年德国生理学家费克（Fick）提出 静水中的污染物由于分子扩散作用，在单位时间内按一定方 向通过一定面积的污染物质量与该方向的浓度梯度成正比。
对一维扩散，费克定律可表示为：
q c x
用等号
c q D
x
x 一维费克扩散示意图
式中：q是单位时间通过单位面积的污染物质量，也称为质 量通量；
D是比例系数，称为分子扩散系数，量纲为[L2T-1] 一般约为10-6~10-5cm2·s-1
第二节 费克定律和扩散方程
三维的费克定律: q Dc
哈密顿算子
i j k
x y z
数，相对体积比或重量比 ppt — 千万分之一 ppb — 十亿万分之一
大肠杆菌：用多少个表示，而不用它的质量 量纲为[L-3]，单位为个/L
第一节 基本概念
排入水环境中的废热水（电厂冷却水）中所含的热 量也可以作为污染物质来处理：
浓度改为热浓度Ch表示，定义为单位体积水中所含 的热量，通过水温表示为： Ch=ρCpT 式中：ρ水的密度，Cp定压比热，T水温