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初一数学第一章《基本的几何图形》理论知识讲解
知识点一：几何图形的有关概念
1、几何图形：点、线、面、体以及他们的组合图形都是几何图形。

其中，点是组成几何图形的基本元素。

我们常见的几何图形分为平面图形和立体图形两类。

2、平面及平面图形
平面：数学上所说的平面没有厚薄、没有边界，是向四面八方无限延伸的。

平面图形：如果一个几何图形上的点都在同一个平面内，那么这样的几何图形叫做平面图形。

例题1：在长方形、长方体、三角形、球、直线、圆中，有（）个平面图形．
A．3 B．4 C．5 D．6
3、立体图形及分类
立体图形：如果一个几何图形上的点不都在同一个平面内，那么这样的几何图形叫做立体图形。

我们常见的立体图形包括三类：
第一类：柱体；它包括圆柱和棱柱，我们主要学习圆柱，圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形的长等于底面圆的周长，矩形的宽等于圆柱的高（母线长）；
第二类：锥体；它包括圆锥和棱锥，我们主要学习圆锥，圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；
第三类：球体；此分类只包含球一种几何体，
题型1：
一、选择题
1、下列第一行所示的四个图形，每个图形均是由四种简单的图形a、b、c、d（圆、直线、三角形、长方形）中的两种组成．例如由a、b组成的图形记作a⊙b，那么由此可知，下列第二行的图中可以记作a⊙d的是（）
A． B． C． D．
2、如图，在方格纸中有四个图形＜1＞、＜2＞、＜3＞、＜4＞，其中面积相等的图形是（）
A．＜2＞和＜3＞ B．＜1＞和＜2＞ C．＜2＞和＜4＞ D．＜1＞和＜4＞
3、小明用如下左图所示的胶漆滚从左到右滚涂墙壁，下列平面图形中符合胶漆滚涂出的图案
是（）A． B． C． D．
4、如图，某人从点A处到点B处有两种不同的走法：方法一是直接从楼梯走到点B处，方法
二是先乘电梯到点C处，再从点C处走到点B处，请问哪种方法路程短（）
A．方法一 B．方法二 C．两种方法一样 D．不确定，由梯楼的高度决定
5、（2011•自贡）李强同学用棱长为l的正方体在桌面上堆成如图所示的图形，然后把露出的表面都染成红色，则表面被他染成红色的面积为（）
A．37 B．33 C．24 D．21
5、长方形剪去一个角后所得的图形一定不是（ A ）A．长方形 B．梯形 C．五边形 D．三角形
6、长方形剪去一个角后还有（）个角 A、3个 B、4个 C、5个 D、以上都有可能
二、填空题
1、观察下列图形的排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），○△□□○△□○△□□○△□┅┅若第一个图形是正方形，则第2015个图形是（填图形名
称）．
三、解答题
1、下图是一个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形（即分割成四部分）得到图①，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图②；再继续连接最中心三角形三边的中点将它分割得到图③．
（1）图②中大三角形被分割成个三角形；图③中大三角形被分割成个三角形．（2）按上面的方法继续分割下去，第10个图形分割成几个三角形？第n个图形呢（用n 的代数式表示结论）？
知识点二：点、线、面、体
1、点动成线，线动成面，面动成体。

注意他们在实际生活中的应用。

2、线与线相交成点，面与面相交成线。

3、立体图形的展开图。

学习立体图形的展开图，都是利用淘汰法看看将展开图围成的几何图
形与已知立体图形是否一致。

把一个正方体展开成为一个平面图形至少剪开7条棱。

题型2
一、选择题
1、如图，左排的平面图形绕轴旋转一周，可以得到右排的立体图形，那么与甲乙丙丁各平面图形顺序对应的立体图形的编号应为（）
A．③④①② B．①②③④ C．③②④① D．④③②①
2、将一个直角三角形绕它的最长边（斜边）旋转一周得到的几何体为（）
A． B． C． D．
3、观察下图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立体图形是（）
A． B． C． D．
4、汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于的实际应用是（）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对
5、看到飞行中的萤火虫，可以说明（）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．不能说明什么问题
6、（2014•长春）下列图形中，是正方体表面展开图的是（）
A． B． C． D．
7、如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A，B，C内的三个数依次是（）A．1，0，-2 B．0，1，-2 C．0，-2，1 D．-2，0，1
8、（2014•西宁）如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种平面展开图，那么在原正方体中和“国”字相对的面是（）A．中 B．钓 C．鱼 D．岛
9、（2013•天门）小明为了鼓励芦山地震灾区的学生早日走出阴影，好好学习，制作了一个正方体礼盒（如图）．礼盒每个面上各有一个字，连起来组成“芦山学子加油”，其中“芦”的对面是“学”，“加”的对面是“油”，则它的平面展开图可能是（）
A． B． C． D．
10、（2014•鄂州一模）如图，它需再添一个面，折叠后才能围成一个正方体，下图中的黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是（）
A． B． C． D．
11、（2014•平顶山二模）骰子可以看做是一个小立方体（如图），它相对两面之和的点数之和是7，下面展开图中符合规则的是（）
A． B． C． D．
12、（2014•如皋市模拟）有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b 的值为（）A．3 B．7 C．8 D．11
13、（2014•海门市模拟）图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是（）A．我 B．的 C．梦 D．中
二、填空题
1、点动成，线动成，面动成．面面相交得到，线线相交得到．
2、笔尖在纸上快速滑动写出了一个又一个字，这说明了；车轮旋转时，看起来像一个整体的圆面，这说明了；直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成了一圆锥体，这说明了．
3、“枪打一条线，棍打一大片”这个现象说明：．
4、（2014•历下区二模）把如图折成正方体后，如果相对面所对应的值相等，那么xy的值为．
三、解答题
1、用数学的眼光去观察问题，你会发现很多图形都能看成是动静结合，舒展自如的．下面所给的三排图形都存在着某种联系，用线将它们连起来．
2、今有正方形蛋糕，切两刀把蛋糕分成形状相同的4块，请设计三种不同的方法．
知识点三：线段、射线和直线
1、定义
线段：直线上两点及两点间的部分叫线段，线段有两个端点；
射线：将线段向一侧无限延伸就得到射线。

射线有一个端点
直线：将线段向两侧无限延伸就得到直线。

直线没有端点
射线和线段都是直线的一部分。

2、表示方法：
（1）、线段、射线和直线都可以用两个大写字母来表示,线段用表示两个端点的大写字母来
表示；射线用端点和射线上一点的字母来表示，表示端点的字母要写在前面；直线用表示直线上两点的大写字母来表示
（2）、线段、射线和直线都可以用一个小写字母来表示,
3、结论：
（1）、端点重合，方向相同的两条射线表示同一条射线。

也就是说判断两条射线是否为同一条射线要看端点是否重合，方向是否相同，二者缺一不可。

（2）、一条直线上有n个点，则共有2n条射线；一条射线上有n个点（包括端点），则共有
n条射线；一条线段上有n 个点，则没有射线。

4、握手问题在集合中的应用
n个人中的每两个人都只握一次手，共握1+2+3+..............+（n-1）=
21-n
n）
（
次手。

与握手问题有股的问题有：
（1）、一条直线上有n个点，则共有1+2+3+..............+（n-1）=
21-n
n）
（
条线段；
一条射线上有n个点（包括端点），则共有1+2+3+..............+（n-1）=
21-n
n）
（
条线段；
一条线段上有n个点（包括端点），则共有1+2+3+..............+（n-1）=
21-n
n）
（
条线段。

（2）、平面内n条直线相交，最多有1+2+3+..............+（n-1）=
21-n
n）
（
个交点
(3)、过同一平面上n个点中的任意两点做直线最多可以做1+2+3+..............+（n-1）
=
21-n
n）
（
条直线。

（4）、n个球队进行单循环比赛共赛1+2+3+..............+（n-1）=
21-n
n）
（
场。

（5）、从一个顶点出发的n条射线共形成1+2+3+..............+（n-1）=
21-n
n）
（
个角。

（6）、平面内的n条直线最多将平面分成1+1+2+3+..............+n=1+
21
n
n）
（
部分
5、点与直线的位置关系：点与直线的位置关系只有两种：点在直线上或点在直线外
6、直线公理：两点确定一条直线，注意他在实际生活中的应用。

7、平面内两条直线的位置关系：相交或平行
8、不在同一直线上的三点确定一个平面。

题型3：
一、选择题
1、阅读相关文字找规律：2条直线相交，只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点；…；10条直线相交，最多可形成交点的个数是（）A．36 B．45 C．55 D．66
2、下列语句正确的是（）A．画直线AB=10厘米 B．画直线L的垂直平分线
C．画射线OB=3厘米 D．延长线段AB到点C，使得BC=AB
3、（2013•沈阳一模）2012年12月26日京广高铁全线通车．一列往返于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车准备印制（）种车票．A．6 B．12 C．15 D．30
4、观察图形，下列说法正确的个数是（）（1）直线BA和直线AB是同一条直线
（2）射线AC和射线AD是同一条射线（3）AB+BD＞AD （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、下列说法正确的是（）A、射线OA与射线AO是表示同一条射线 B、射线是直线的一半 C、延长射线AB D、不在同一直线上的三点确定一个平面。

6、图中直线AB，射线CD，线段MN能够相交的是（）
A． B． C． D．
7、如果要在一条直线上得到6条不同的线段，那么在这条直线上应选几个不同的点（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8、如图，从甲地到乙地有两条路线，从乙地到丙地有三条路线，那么从甲地到丙地的路线条数是（）A．3 B．2 C．6 D．4
9、如图，在直线上依次有五个点A、B、C、D、E，则图中线段和射线条数依次分别为（）A．4，2 B．10，10 C．10，20 D．10，5
10、在同一面内，不重合的三条直线的公共点个数可能有（）A．0个、1个或2个 B．0个、2个或3个 C．0个、1个、2个或3个 D．1个或3个
11、平面上有任意四点，经过其中两点画一条直线，共可画（）
A．1条直线 B．4条直线 C．6条直线 D．1条或4条或6条直线
12、要在墙上固定一根木条，小明说只需要两根钉子，这其中用到的数学道理是（）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．线段只有一个中点 D．两条直线相
交，只有一个交点
13、如图，图中不同的线段的条数有（）A．52条 B．63条 C．141条 D．154条
14、如图，一根长为10厘米的木棒，棒上有两个刻度，若把它作为尺子，量一次要量出一个长度，能量的长度共有（）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
15、（2013•乐山市中区模拟）如图，一条流水生产线上L
1、L
2
、L
3
、L
4
、L
5
处各有一名工人在
工作，现要在流水生产线上设置一个零件供应站P，使五人到供应站P的距离总和最小，这
个供应站设置的位置是（）A．L
2处 B．L
3
处 C．L
4
处 D．生产线上任何地方都一样
16、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（）A．36 B．37 C．38 D．39
17、经过A、B、C三点的任意两点，可以画出的直线数为（）A．1或2 B．1或3 C．2或3 D．1或2或3
18、平面内有四条直线，无论位置关系如何，它们的交点个数不可能是（）
A．6个 B．5个 C．3个 D．2个
19、（2014•义乌市）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
20、（2014•安庆一模）如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CD=3cm，AB=10cm，那么BC的长度是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D ．4.5cm
21、（2014•济宁）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
二、填空题
1、直线上有2010个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有个点．
2、（2010•河源）平面内不过同一点的n条直线两两相交，它们的交点个数记作a
n
，并且规定
a 1=0．那么：①a
2
= ；②a
3
-a
2
= ；③a
n
-a
n-1
= ．（n≥2，用含n的代数式
表示）．
3、已知n（n≥2）个点P
1，P
2
，P
3
，…，P
n
在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上．设
S n 表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S
2
=1，S
3
=3，S
4
=6，S
5
=10，…，
由此推断，S
n
= ．
4、如图，把一条绳子折成3折，用剪刀从中剪断，得到几条绳子．
三、解答题
1、为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手．
（1）一条直线把平面分成2部分；
（2）两条直线最多可把平面分成4部分；
（3）三条直线最多可把平面分成11部分…；
直线条数把平面分成部分数写成和形式
1 2 1+1
2 4 1+1+2
3 7 1+1+2+3
4 11 1+1+2+3+4
………
（1）当直线条数为5时，把平面最多分成部分，写成和的形式；（2）当直线为10条时，把平面最多分成部分；
（3）当直线为n条时，把平面最多分成部分．（不必说明理由）
2、如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线上；
（2）“2015”在哪条射线上？
3、根据题意填空：
（1）L
1与L
2
是同一平面内两条相交直线，他们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条
直线L
3
，那么这三条直线最多有个交点．
（2）如果在（1）的基础上在这个平面内再画第四条直线L
4
，那么这四条直线最多可有个交点．
（3）由（1）（2）我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有个交点，n（n＞条直线最多可有条交点．（用含有n的代数式表示）
（4）若我校初中24个班之间进行篮球比赛，第一阶段采用单循环比赛（每两个班之间比赛一场），类比上面的分析计算第一阶段比赛的总场次是多少？
4、先阅读下面材料，然后解答问题：
材料一：如图（1），直线L上有A
1、A
2
两个点，若在直线L上要确定一点P，且使点P到点
A 1、A
2
的距离之和最小，很明显点P的位置可取在A
1
和A
2
之间的任何地方，此时距离之和为
A 1到A
2
的距离．
如图（2），直线L上依次有A
1、A
2
、A
3
三个点，若在直线L上要确定一点P，且使点P到点A
1
、
A 2、A
3
的距离之和最小，不难判断，点P的位置应取在点A
2
处，此时距离之和为A
1
到A
3
的距
离．（想一想，这是为什么）
不难知道，如果直线L上依次有A
1、A
2
、A
3
、A
4
四个点，同样要确定一点P，使它到各点的距
离之和最小，则点P应取在点A
2和A
3
之间的任何地方；如果直线L上依次有A
1
、A
2
、A
3
、A
4
、
A 5五个点，则相应点P的位置应取在点A
3
的位置．
问题一：若已知直线L上依次有点A
1、A
2
、A
3
、…、A
25
共25个点，要确定一点P，使它到已
知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在；
若已知直线L上依次有点A
1、A
2
、A
3
、…、A
50
共50个点，要确定一点P，使它到已知各点的
距离之和最小，则点P的位置应取在．
5、往返于A，B两地的客车，中途停靠10个站，问：（1）有多少种不同的票价？（2）要准备多少种车票？
知识点四：线段的比较和度量
1、线段比较的方法：
（1）、度量法。

用刻度尺分别量出两条线段的长度，长度大的线段较长，长度小的线段较短，长度相等时两线段相等。

（2）、叠合法。

将线段AB放到线段CD上，使点A和点C重合，点B和点D在重合点的同侧。

若点D在线段AB上，则AB>CD；若点D在线段AB的延长线上，则AB<CD；若点D与点B重合，则AB=CD。

2、线段公理：两点之间，线段最短
3、两点间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离。

4、线段的和、差、倍、分的画法
5、线段的中点：如果点M把线段AB分成相等的两部分，那么点M是线段AB的中点。

中点的四种不同的说法
（1）M是AB的中点（2）AM=BM (3)AM=BM=
2
1
AB (4)AB=2AM=2BM
注意：线段的重点必须在线段上
题型4：
一、选择题
1、如图，一条街道旁有A，B，C，D，E五幢居民楼．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需
楼号 A
B C D E
大桶水数/桶38
55 50
72 85
他们计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点．若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小，可以选择的地点应在（ C ）
A．B楼 B．C楼 C．D楼 D．E楼
2、如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB=100米，BC=200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）
A．点A B．点B C．A，B之间 D．B，C之间
解：以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×100+10×300=4500m，
以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×100+10×200=5000m，
以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+15×300=13500m，
∴该停靠点的位置应设在点A；故选A．
3、下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④
4、已知AB=8cm，BC=3cm，且A，B，C三点在同一条直线上，则AC=（）
A．11cm B．5cm C．8cm或3cm D．5cm或11cm
5、有四种说法：①如果AB=BC，那么B是线段AC的中点；②连接两点的线段叫两点间的距离；③射线AB和射线BA是两条不同的射线；④直线AB与直线BA是同一条直线．则正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4
6、一条直线上有四个点A、B、C、D，且线段AB=18cm，BC=8cm，点D为AC的中点，则线段
AD的长是（）A．13cm B．5cm C．13cm或5cm D．10cm
7、如果线段AB=13厘米，MA+MB=17厘米，那么下面说法正确的是（）
A．M点在线段AB上 B．M点在直线AB上 C．M点在直线AB外
D．M点可能在直线AB上，也可能在直线AB外
8、有两根木条，一根长60cm，另一根长100cm，若将它们放在同一条直线上，并且使一个端点重合，这两根木条中点之间的距离是（）cm A、80 B、20 C、80或20 D、60
二、填空题
（2013•德州）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因．
三、解答题
1、知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．
情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．
情景二：A、B是河流L两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？
2、平面上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离之和最小（A，B，C，D四个村庄的地理位置如图所示），你能说明理由吗？。