10-直觉主义逻辑
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(\ q)K,v=1. 但是 pK,v=0 , 所以
(\ q>p)K,v=0.
另一方面, (\ p)K,v=0,(\ p)K,w=0,
使得 若 (\ p)K,v=1 则 qK,v=1 ,
若 (\ p)K,w=1 则 qK,w=1 . 都成立,所以
(\ p>q)K,v=1.
即在模型 K 的第一层, 左边取 1 而右边 取 0 . 因而上述公式是不永真的, 因而是 不可证的.
(\ A) K,v=1 当且仅当 对任意适合 vRw 的 w , 有 AK,w=0 .
根据定义可知: 对任意的公式 A , 对任意的 vJV , AK, v=0 或1 . AK,v=v(A) 是可能的.
R 是平凡的 所有 v 对应于同一个赋值
对于公式集合 D , 定义 DK,v=1 为: 对任意 AJD , 都有 AK,v=1 .
非空集合 V 的每个元素对应于命题逻 辑的一个赋值
R 是 V 上的一个二元关系, 具有自反 性及传递性
对于任意的命题变元 p 及 v1,v2JK , 有:
若 v1(p)=1 且 v1Rv2 , 则 v2(p)=1
例子:(模型) 假设 v1,v2 表示两个赋值, 它们在每个命题变元上的取值都是 0 , 则
AK,v=1 及 BK,v=1 .
(AZB)K,v=1 当且仅当
AK,v=1
BK,v=1
(A>B)K,v=1 当且仅当 对任意适合 vRw 的 w , 若 AK,w=1 则 BK,w=1 .
(A?B)K,v=1 当且仅当 对任意适合 vRw 的 w , AK,w=1 等价于 BK,w=1.
假设DXc\ A 不成立, 则存在分层模型 K=〈V,R〉 及 vJV ,
使得 DK,v=1 但 (\ A)K,v=0 . 但是从 (\ A)K,v=0 可知:
存在wJV , vRw 使得 AK,w=1 . 这时 DK,w=1 . 所以
(DP{A})K,w=1.
但
D,AXcB D,AXc\ B
B K, w = 1 (\ B)K,w=1
所以 \ (AZ\ A) 可以推出矛盾. 所以 Uc\ \ (AZ\ A).
Uc\ \ (\ \ A>A) 因为AUc\ \ A>A, 所以
\ (\ \ A>A)Uc\ A. 因为\ AUc\ \ A>A, 所以
\ (\ \ A>A)Uc\ \ A.
\ (\ \ A>A)
Uc\ \ (\ \ A>A).
直觉主义逻辑 (Intuitionistic Logic)
存在性证明:(超越数)
性质:存在超越数. 证明
实数集合是不可数的, 而代数数的集合是可 数的, 超越数集合是代数数集合的补集, 是 非空, 因而存在超越数. 这是一个存在性证 明.
证明过程没给出判定超越数的算法. 此证明 是基于排中律构造的. 直觉主义逻辑证明将 不使用排中律.
这个矛盾表明规则 (\ + ) 是可靠的.
不可证关系: 假设 A 与 B 是命题逻辑语 句, 则有以下非c -可证明的序列: \ A>BUc\ B>A 假设 A,B 分别是命题变元 p,q , 构造 模型 K=〈V,R〉, 使得 V={v,w},R={(v,v),(v,w),(w,w)}. 其中
v 使得 v(p)=0 及 v(q)=0 , w 使得 w(p)=1 及 w(q)=0 . 这时 qK,v=0 , qK,w=0 , 所以
A>BUc\ B>\ A
{A>B,\ B,A} 可以推出矛盾. 相应的推演序列是:
A>BUA>B . A>B,AUA>B . AUA . A>B,AUA . A>B,AUB . A>B,A,\ BUB . \ BU\ B . A>B,A,\ BU\ B . A>B,\ BU\ A . A>BU\ B>\ A .
性质:(直觉主义逻辑的可靠性) 假设 D 是命题逻辑公式集合, A 是命题逻辑公式, 则
若 DUcA , 则 DXcA . 证明: 根据 c -可证的定义, 只需证明命 题直觉主义逻辑证明系统的每个规则都是 可靠的. 规则!D!!!!,!A!!!!U!!!DB!!!!且U!!!D\!!!!A,!!A!!!U!!!!\!!!B!!!! 是可靠的. 即 若 D,AXcB 及 D,AXwenku.baidu.com\ B , 则 DXc\ A . 是成立.
AUc\ \ A
因为从 A,\ A 可以 c -推出矛盾. 相应的推演序列是:
AUA . A,\ AUA . \ AU\ A . A,\ AU\ A . AUc\ \ A .
\ \ \ AUc\ A
从 AUc\ \ A 可知
{\ \ \ A,A}
不是 Uc -协调的, 所以
\ \ \ AUc\ A.
A>BUc\ \ A>\ \ B
A>BUc\ B>\ A, \ B>\ AUc\ \ A>\ \ B.
Uc\ (A[\ A)
从 {A[\ A} 可以推出矛盾. Uc\ \ (AZ\ A) 因为 AUcAZ\ A, 所以
\ (AZ\ A)Uc\ A.
因为\ AUcAZ\ A, 所以 \ (AZ\ A)Uc\ \ A.
定义:(公式)
命题直觉主义逻辑的公式等同于命题逻辑 的公式.
定义:(公理系统) 在命题逻辑的自然推演系统中, 将反证法 规则替换为两个规则:
直觉反证法:
若 D,AUB 及 D,AU\ B , 则 .
不协调前提: 若 DUA 及 DU\ A , 则DUB .
公式可证: 假设 A 与 B 是命题逻辑语 句, 则有以下 c -可证明的序列:
有以下分层模型:
〈{v1},{(v1,v1)}〉 〈{v1,v2},{(v1,v1),(v2,v2)}〉
定义:(真值) 给定分层模型
K=〈V,R〉 , 假设 vJV . 对于命题 逻辑的任意公式 A , 按照以下方式定义 AK,v :
若 p 是命题变元, 则 pK,v=v(p) . (A[B)K,v=1 当且仅当
\ (AZB)Uc\ A[\ B. \ A[\ BUc\ (AZB). AZBUc\ (\ A[\ B). \ AZ\ BUc\ (A[B). A[BUc\ (\ AZ\ B). A[BUc\ (A>\ B). 定义:(分层模型) 对于命题逻辑, 直觉主义逻辑的一个模型 K 是指一个二元组
〈V,R〉, 其中
(\ q>p)K,v=0.
另一方面, (\ p)K,v=0,(\ p)K,w=0,
使得 若 (\ p)K,v=1 则 qK,v=1 ,
若 (\ p)K,w=1 则 qK,w=1 . 都成立,所以
(\ p>q)K,v=1.
即在模型 K 的第一层, 左边取 1 而右边 取 0 . 因而上述公式是不永真的, 因而是 不可证的.
(\ A) K,v=1 当且仅当 对任意适合 vRw 的 w , 有 AK,w=0 .
根据定义可知: 对任意的公式 A , 对任意的 vJV , AK, v=0 或1 . AK,v=v(A) 是可能的.
R 是平凡的 所有 v 对应于同一个赋值
对于公式集合 D , 定义 DK,v=1 为: 对任意 AJD , 都有 AK,v=1 .
非空集合 V 的每个元素对应于命题逻 辑的一个赋值
R 是 V 上的一个二元关系, 具有自反 性及传递性
对于任意的命题变元 p 及 v1,v2JK , 有:
若 v1(p)=1 且 v1Rv2 , 则 v2(p)=1
例子:(模型) 假设 v1,v2 表示两个赋值, 它们在每个命题变元上的取值都是 0 , 则
AK,v=1 及 BK,v=1 .
(AZB)K,v=1 当且仅当
AK,v=1
BK,v=1
(A>B)K,v=1 当且仅当 对任意适合 vRw 的 w , 若 AK,w=1 则 BK,w=1 .
(A?B)K,v=1 当且仅当 对任意适合 vRw 的 w , AK,w=1 等价于 BK,w=1.
假设DXc\ A 不成立, 则存在分层模型 K=〈V,R〉 及 vJV ,
使得 DK,v=1 但 (\ A)K,v=0 . 但是从 (\ A)K,v=0 可知:
存在wJV , vRw 使得 AK,w=1 . 这时 DK,w=1 . 所以
(DP{A})K,w=1.
但
D,AXcB D,AXc\ B
B K, w = 1 (\ B)K,w=1
所以 \ (AZ\ A) 可以推出矛盾. 所以 Uc\ \ (AZ\ A).
Uc\ \ (\ \ A>A) 因为AUc\ \ A>A, 所以
\ (\ \ A>A)Uc\ A. 因为\ AUc\ \ A>A, 所以
\ (\ \ A>A)Uc\ \ A.
\ (\ \ A>A)
Uc\ \ (\ \ A>A).
直觉主义逻辑 (Intuitionistic Logic)
存在性证明:(超越数)
性质:存在超越数. 证明
实数集合是不可数的, 而代数数的集合是可 数的, 超越数集合是代数数集合的补集, 是 非空, 因而存在超越数. 这是一个存在性证 明.
证明过程没给出判定超越数的算法. 此证明 是基于排中律构造的. 直觉主义逻辑证明将 不使用排中律.
这个矛盾表明规则 (\ + ) 是可靠的.
不可证关系: 假设 A 与 B 是命题逻辑语 句, 则有以下非c -可证明的序列: \ A>BUc\ B>A 假设 A,B 分别是命题变元 p,q , 构造 模型 K=〈V,R〉, 使得 V={v,w},R={(v,v),(v,w),(w,w)}. 其中
v 使得 v(p)=0 及 v(q)=0 , w 使得 w(p)=1 及 w(q)=0 . 这时 qK,v=0 , qK,w=0 , 所以
A>BUc\ B>\ A
{A>B,\ B,A} 可以推出矛盾. 相应的推演序列是:
A>BUA>B . A>B,AUA>B . AUA . A>B,AUA . A>B,AUB . A>B,A,\ BUB . \ BU\ B . A>B,A,\ BU\ B . A>B,\ BU\ A . A>BU\ B>\ A .
性质:(直觉主义逻辑的可靠性) 假设 D 是命题逻辑公式集合, A 是命题逻辑公式, 则
若 DUcA , 则 DXcA . 证明: 根据 c -可证的定义, 只需证明命 题直觉主义逻辑证明系统的每个规则都是 可靠的. 规则!D!!!!,!A!!!!U!!!DB!!!!且U!!!D\!!!!A,!!A!!!U!!!!\!!!B!!!! 是可靠的. 即 若 D,AXcB 及 D,AXwenku.baidu.com\ B , 则 DXc\ A . 是成立.
AUc\ \ A
因为从 A,\ A 可以 c -推出矛盾. 相应的推演序列是:
AUA . A,\ AUA . \ AU\ A . A,\ AU\ A . AUc\ \ A .
\ \ \ AUc\ A
从 AUc\ \ A 可知
{\ \ \ A,A}
不是 Uc -协调的, 所以
\ \ \ AUc\ A.
A>BUc\ \ A>\ \ B
A>BUc\ B>\ A, \ B>\ AUc\ \ A>\ \ B.
Uc\ (A[\ A)
从 {A[\ A} 可以推出矛盾. Uc\ \ (AZ\ A) 因为 AUcAZ\ A, 所以
\ (AZ\ A)Uc\ A.
因为\ AUcAZ\ A, 所以 \ (AZ\ A)Uc\ \ A.
定义:(公式)
命题直觉主义逻辑的公式等同于命题逻辑 的公式.
定义:(公理系统) 在命题逻辑的自然推演系统中, 将反证法 规则替换为两个规则:
直觉反证法:
若 D,AUB 及 D,AU\ B , 则 .
不协调前提: 若 DUA 及 DU\ A , 则DUB .
公式可证: 假设 A 与 B 是命题逻辑语 句, 则有以下 c -可证明的序列:
有以下分层模型:
〈{v1},{(v1,v1)}〉 〈{v1,v2},{(v1,v1),(v2,v2)}〉
定义:(真值) 给定分层模型
K=〈V,R〉 , 假设 vJV . 对于命题 逻辑的任意公式 A , 按照以下方式定义 AK,v :
若 p 是命题变元, 则 pK,v=v(p) . (A[B)K,v=1 当且仅当
\ (AZB)Uc\ A[\ B. \ A[\ BUc\ (AZB). AZBUc\ (\ A[\ B). \ AZ\ BUc\ (A[B). A[BUc\ (\ AZ\ B). A[BUc\ (A>\ B). 定义:(分层模型) 对于命题逻辑, 直觉主义逻辑的一个模型 K 是指一个二元组
〈V,R〉, 其中