数学：111《变化率与导数》课件新人教A版选修

解vhh(2t)h(2)
t
t
t [ － 4 .9 ( ２ + t) 2 + 6 .5 ( 2 + ) 1 0 ] － [ － 4 .9 2 2 + 6 .5 2 + 1 0 ]
= t
=－4.9△t－13.1
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作业 P10 1, P11 2
补充题、求y=1/x在x=x0 附近的平均变化率.
9
2.平均变化率的定义
上述问题中的变化率可用式子
f(x2) x2
f
(
x1
)
表示
x1
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1)
这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ; Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .
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(1) 点Q的坐标; (2) Δy的值; (3) 割线PQ的斜率.
解 (1) Q(3, 27)，(2) y26 (3) kPQ 13
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练习
2、在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒) 存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 当t从2 变到2+△t 时,求运动的平均速度.
1.1.1 变化率问题
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1
1.变化率
一个变量相对于另一个变量的变化
而变化的快慢程度叫做变化率．
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2
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发
现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增 加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
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3
问题1 气球膨胀率
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)
解v ss(4)s(2) t 42
(341)(321)3 2
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例、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
解
yxf(x0
x)f(x0) x
(x0+ △ △ xx )2x02 =2x0△ x
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练习
1、 过y=x3上两点P（1，1)、Q(1+Δx,1+Δy) 作割线，当Δx=2时, 求
之间的函数关系是
V(r) = 4 πr3 3
如果将半径r表示为体积V的函数, 那么
r(V) = 3 3V 4π
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4
分析一下:
r (V ) 3 3V
4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m )
气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L)
10
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2 )r(1 )0 .1 6 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(22) 1r(1)0.16(dm/L 0)显.62然>0.1
6
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5
思考? r (V ) 3 3V
4
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀 率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
A
x2-x1=△xx
x1
x2
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11
例、 设函数f(x)=2x, 当ｘ从2变到1.9时, 求△x和 △ y.
解 △x＝1.9－２＝-0.1
△y＝f(1.9)－f(2)＝－0.2
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例 位 移 s(t)(单 位 :m)与 时 间 t(单 位 :s)的 关 系 为 :s(t)3 t 1 ,求 t从 2 到 4 的 平 均 速 度 v.
则平均变化率为
y = f(x2)-f(x1)
x
x2 - x1
=f(x1+x)-f(x1) x
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10
3.平均变化率的几何意义
思考? 观察函数f(x)的图象，平均变化率
表示什么?
y f (x2) f (x1)
x
x2 x1
y f(x2)
Y=f(x )
B
割线AB 的斜率
f(x1) O
f(x2)-f(x1)=△y
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6
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒)存 在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如果用运动员在某段
h
时间内的平均速度粗略地
描述其运动状态,那么
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o
t7
分析一下: h(t)=-4.9t2+6.5t+10
• 当t从0增加到0.5时,平均速度为
vh(0.5)h(0)4.05(m/s) 0.50
• 当t从1增加到2时,平均速度为
vh(2)h(1)8.2(m/s) 21
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h
o
t
8
思考? h(t)=-4.9t2+6.5t+10
当时间从t1增加到t2时,运动员的平均平 均速度是多少?
h (t2 ) h (t1 ) t2 t1
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