吉林大学组合数学习题解答

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第二章

2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。

证明：

假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。

2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。

证明：

方法一：

有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找

以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 第三章

3.4 教室有两排，每排8个座位。现有学生14人，其中的5个人总坐在前排，4个人总坐在后排，求有多少种方法将学生安排在座位上？ 解：前排8个座位，5人固定，共5

8

*5!

C 种方法；

后排8个座位，4人固定，共48

*4!

C 种方法；前排

和后排还剩7个座位，由剩下的5人挑选5个座

位，共

57*5!

C 种方法；则一共有

545

545887887***5!*5!*4!**28449792000

C C C P P P ==种安排方法。

另一种解法：168

277386

545588

5885888871408!7!

C P P

C P P C P P P P P ++=⨯⨯=⨯⨯。

3.5 将英文字母表中的26个字母排序，要求任意两个元音字母不能相邻，则有多少种排序方法？

解：先排21个辅音字母，共有21！ 再将5个元音插入到22个空隙中，522

P

故所求为52155

222122521!P

P C P ⨯=

3.6 有6名先生和6名女士围坐一个圆桌就餐，

要求男女交替就坐，则有多少种不同的排坐方式？

解：6男全排列6!；6女全排列6！；6女插入6男的前6个空或者后6个空，即女打头或男打头6!*6!*2；再除以围圈重复得(6!*6!*2)/12=6!*5!= 86400

3.7 15个人围坐一个圆桌开会，如果先生A 拒绝和先生B 和C 相邻，那么有多少种排坐方式？ 解：

方法1：除B 和C 以外，A 可以在剩余的12人中挑选2人坐在自己的两边，有22

122

C

P

。将A 与其

两边的人看作一个元素，与其他12个人形成共13个元素的圆排列，有(13-1)!，所以共有

22212212(131)!12!

C P P -== 63228211200种排列。

方法2：除去A 、B 和C 的12人共有11

11

P 种坐法，A 在12人中插入位置的坐法有12种。B 和C 不与A 相邻的坐法共有11*12种，由于15人围成圆桌坐，故排列方式共有11

1112111213212!

P ⨯⨯=⨯=

63228211200种坐法。 3.9 求方程1

2

3420

x x

x x +++=，满足1

2

342,0,5,1

x x

x x ≥≥≥≥-的

整数解的个数。

1441680

3+-⎛⎫= ⎪⎝⎭

3.10 书架上有20卷百科全书，从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少种？ 解：

n=20，r=4，1204117238044

n r r -+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭⎝

⎭

相当于有16卷已经排好，把4卷插入到17个“空隙”中，有174⎛⎫ ⎪⎝⎭

种，对应序号都不会相邻。

3.20 证明： （1）()1

1,3(3

1)22

n

n S n -=+-

（2）()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-4332,n n n n S ；

（3）().61551043,⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-n n n n n S

证明： （1） 组合分析方法：

n 个元素分成3组，允许为空的方案为3n ； n 个元素分成3组，有一组必为空的方案为3*2n ；

n 个元素分成3组，有两组必为空的方案为3； n 个元素分成3组，根据容斥原理，不允许为空的方案为3n -3*2n +3； 不考虑组间顺序，方案为1

1

33231(31)23!2

n n n n ---⨯+=+-

（2）

()⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4332,n n n n S

3个元素一组、其余元素一个各一组或者选4个元素分两组（每组2个）、其余元素一个各一组。

3个元素一组、其余元素一个各一组：3

n ⎛⎫

⎪⎝⎭

选4个元素分两组（每组2个）、其余元素一个各一组：选4个元素的方案为

4n ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，分成2组的

方案为42!3

2

⎛⎫= ⎪

⎝⎭

种，所以有34

n ⎛⎫

⎪⎝⎭

。 （3）

().61551043,⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n n n S

4个元素一组、其余元素一个各一组，或者选5个元素分两组（一组2个一组3个）、其余元素一个各一组，或者6个元素分三组（每组2个）、