有理数的概念知识点归纳及练习题

知识点三：有理数的有关概念

要点诠释：有理数的概念知识梳理1、有理数：整数和分数统称为有理数。

学习目标：有理数的概念一、目标认知注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示的数，这时的分数包括整数。

相反意义的量。掌握一个数的相反数的求法和性质，学习使但是本节中的分数不包括分母是1的分数。

用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义，会借助数轴比较（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上有理数的大小。掌握一个数的绝对值的求法和性质，进一步述小数都可以用分数来表示，

学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义。所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分重点：数。

有理数的概念及其分类，相反数的概念及求法，绝对值（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。

的概念及求法，数轴的概念及应用；有理数比较大小2、整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、3、0、－1、难点：绝对值的概念及求法，尤其是用字母表示的时候的意－2、－3等等。

义。运用数轴理解绝对值的几何意义。有理数比较大小的方3、分数包括正分数和负分数，例如：、、0.6、－、－、法的掌握。－0.6等等。

二、知识要点梳理知识点四：有理数的分类

知识点一：负数的引入要点诠释：

要点诠释：1、按整数、分数的关系分类：2、按正数、负数正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发与0的关系分类：

分数和小数已不能满足实际的需要，小学学过的自然数、展，注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正元、零上比如一些有相反意义的量：收入元和支出100200数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和而且表示一定的数它们不但意义相反，6℃和零下6℃等等，0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a＞0表明a是正量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把数；a＜0表明a是负数；a 0表明a是非负数；a 0表明a是另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数非正数。

和负数。知识点五：数轴的概念

用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为要点诠释：

前进、上升、收入、零“正，是可以任意选择的，但习惯把规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴

”等规定为正，而把”“后退、下降、支出、零下温度上温度数轴的定义包含三层含义：（1）数轴是一条直线，可等规定为负。以向两端无限延伸；（2）数轴有三要素——原点、正方向、知识点二：正数和负数的概念单位长度，三者缺一不可；（3）原点的选定、正方向的取要点诠释：向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通的数，叫做正数，在小学、1.5 、584等大于0、像）（1 3常取向右为正方向）。

00学过的数，除以外都是正数，正数比大。知识点六：数轴的画法

)“584、、－3 2（）像－、1.5 －等在正数前面加－读作负”(要点诠释：

0号的数，叫做负数。负数比小。1、画一条直线（一般画成水平的直线）。

（3）零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。2、在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下注意：面标上“0”）。

（”“为了强调，）正数前面有时也可以加上＋号，（读作正）13、确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。。、＋、＋也可以写作＋、1.5、例如： 3 31.54、选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个号的”“带不能简单理解为：）2（对于正数和负数的概念，＋单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，－数是正数，带“号的数是负数。”每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3……

a例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母注：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适可以表示任意的数，当选取；

表示的若是负数；若a表示的是正数，则－aa（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔；0仍是a，则－0是两个(或更多的)单位长度取一点，

a就不是负数了（此时－aa当表示负数时，－从原点向右，依次表示为2，4，6，……；从原点向左，是正数）。；……，

6，－4，－2依次表示为－

知识点七：数轴上的点与有理数的关系要点诠释：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，反过来，不能三、规律方法指导说数轴上所有的点都表示有理数。要点诠释：有理数与小学所学的数，主要区别在于负数。有理数可以用数轴上的点来表示，任何一个有理数都能在数轴上找到正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点表示它的位置，而是唯一确定的点。数轴上的点可以表示三左边的点表示，零用原点表示。类数。在数轴上表示零的点称做原点，以这个点为界，正有知识点八：利用数轴比较有理数的大小

理数（正整数、正分数）用原点右边的点来表示；负有理数要点诠释：

（负整数、负分数）用原点左边的点来表示，这就说明，数在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正轴是有方向的。数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。知识点九：相反数的概念由于数轴规定了方向，因而在数轴上排列着的数就是有顺序的。从左到右一个数比一个数大。即数轴上表示的数，1、相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离右边的总比左边的大。相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

、相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号在数轴上，原点左、右两边距离原点等远的点所表示的2有理数，不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，它们只有符号不同，这样的一对数称为互为相反数。0的相反数是0。如果数轴上的点只考虑它到原点的距离，而不考虑它的正、负方向的数，则表示这个有理数的绝对值。要点诠释：

经典例题透析字是说仅仅是符号不同，（1）“只”其它部分完全相同；（2）

类型一：有理数分类的问题相反数是数，不是量；（3）相反数是成对出现的。例1

知识点十：相反数的表示方法

整数集合:{…}正分数集合:{表示任意的a要点诠释：一般地，数a的相反数是－。这里a…}

负分数集合:{…}分数集合一个数，可以是正数、负数、或者0。:{ …}

思路点拨知识点十一：多重符号的化简:

把多重符号化成单一符号，如果是正号，则可以省略不这种关于有理数的分类问题，关键是要掌握各种数的概念。小学时所学的自然数就是正整数和零，进入中学，出现-的个数来定，若-写，实际上，多重符号的化简是由“”“”个了负整数，而整数的范围就扩大到了正整数、零和负整数。个数”-{-[-(-4)]}=4 数为偶数个时，化简结果为正，如；若“-有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式，因此，它为奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 。们都是分数。要点诠释：

如＋仍然与原数相同，解析：号，＋1、在一个数的前面添上一个“”5＝5 。）＝－，＋（－55 号，就成为原数的相反数。”“2、在一个数的前面添上一个－总结升华：。＝－的相反数，因此，－就是－如－(－3)3(3)3有理数包括整数和分数，分数包含有限小数和无限循环知识点十二：绝对值的概念

小数，但须注意的是，不是所有的小数都是分数，要点诠释：比如π等。所以，我们也不能说小学学过的所有数都是有理数，还有一a、绝对值的几何定义：一个数的绝对值就是数轴上表示1部分数不是有理数，那么这部分数我们将在今后学习研究。数a 的绝对值记作a“”的点与原点的距离，数举一反三：【变式、绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个21】

在数-100, 70.8, -7, π, -3.8, 0, , , 中,不00负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。即是分数的是___________________;不是小数的是_____________; 不是有理数的是______________知识点十三：两个负数大小的比较。

【变式２】下列四种说法，正确的是( ).

要点诠释：(A)所有的正数都是整数因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负(B)不是正数的数一定是负数数一定在绝对值较小的负数的左边，所以，两个负数，绝对

(C)正有理数包括整数和分数值大的反而小。比较两个负数大小的方法是：一、先分别求(D)0不是最小的有理数出这两个负数的绝对值；三、比较这两个绝对值的大小；二、

类型二：正负数的概念“根据做出正确的判断。”两个负数，绝对值大的反而小

表示的含义是10km则＋，7km记为－7km若把向北走：2例知识点十四：有理数大小的比较法则．

（）（4）已知那么的相反数是________.已知，则a的相反数是C.向东走________. A.向北走10km B.向西走