一类泛函微分方程多解的存在性
一类时滞泛函微分方程三个正周期解的存在性
中图 分 类 号 ： ７ ＼ 文献 标 识 码 ： Ｏ１ ５ Ａ
本 文将讨 论 如下 一阶泛 函微 分方 程
Ｙ （）一 一 ａ（） ￡ ￡ ￡ （ ）＋ ｆ（ ， ｔ ｒ ￡ ） ｔ ｙ（ — （ ）
ｔＥ Ｒ （） ２
周期 正 解 的存 在性 ， 中 口一 ａ ￡， 其 （） ｈ一 （）和 ｒ— ￡ ｒ￡ 是连 续 的 Ｔ一周期 函数 ｆ— ｆ ｔ 是 一个关 于 （） （， ） 第一 变 元为 Ｔ周 期 的非负 连续 函数 ． 我们 假定 Ｔ是 个 固定 的正 数 ， ａ— ａ ￡ （）满足 条件
收 稿 日期 ： ０ ７０ — Ｏ ２ ０ — ２２
基金项 目： 山西 省 高 校 高科 技 研 究 开 发 项 目［ ０ ６ ３４ ］ 山西 大 同 大学 科 学 研 究 基 金 项 目［ ０ ５ ４ － ０１０１ ； ２ ２ ０ Ｋ０ ］
作 者 简 介 ： 淑 瑰 （ ９ ４） 女 ， 西 应 县 人 ， 读 博 士 ， 授 ， 究 方 向 ： 函 微 分 方 程 ． 康 １６ 一 ， 山 在 教 研 泛
一
２ 主 要 结果
由于 方程 （ ）的 Ｔ一 周期 解 的存在 性等 价 于积 １
分方程
丫 （） Ｉ ￡ｓｆ ｓｙ ｓ （）） ｓ ￡ ＝ ， （，（ —ｒｓ）ｄ Ｇ（ ）
Ｊ
ｆ
（ ＋ （ １一 ） ）≥
（ ｚ）＋ （ １一 ） ｒ ｙ） ｇ（
的 Ｔ一 周期 解 的存在 性 ， 中 其
Ｖｏ１ ２ ． ． ． ３ ＮＯ １
Ａｕ ． ０ ７ ｇ ２ ０
一类泛函微分方程解的有界性与最终有界性
方程过（ ， ）（ ） 解 ｚ ｔ １，（；， 满足 ｌ （；， ） Ｙ ｔ ， ）＜Ｍ ， — ． １， ２的 ， （； ） ｔ ） ｔ １一 （； ２ｌ ， Ｙ ｚ ￡ ≥ ｒ
定义 ２ 称 （） １ 的解 是 相 对一 致 有界 的 ， 若对 任 意 的 Ｈ Ｅ（ ，Ｏ ， ０ （ ） ∈Ｒ， 在常 数 Ｍ Ｅ（ ，Ｏ ， ９ 存 ０ （） 当 ９
． １． ４
∞）当ｌ ｌ Ｉ 时， Ｊ （ ；， ） （； ） ＜Ｍ， ＋丁成立， ， ～ ＜Ｈ 有 ｔ １一 ￡ ｘ ，２ Ｊ ≥ 并且 丁与 无关
．
２ 主要 结 果
定理 １ 假设存 在 Ｌ ａｕ ｏ 泛 （ 一 ≤ （， ， ）（ Ｒ ； ） Ｊ ｚ） １ ￡ ， ＥＫ ） ｎ
基金项 目： 重庆 师范大学科研项 目（６ Ｌ ０ ５ ０Ｘ Ｂ ２ ） 作者简介 ： 吴泽 Ｎ（９ ６ ， ， １７ 一）男 重庆江津人 ， 士研究 生 ， 硕 主要从事微分方程稳定性方面的研究
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第２ 期
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２０ ０８年 ６月 第 ２ 卷 第 ２期 ５
广西师范学院学报 （ 自然 科 学版 ） Ｊｕｎ ｏ ｕｎ ｘ ｅｃｅｓ ｄ ｃｔ ｎＵ ｉ ｒｉ ａｕ￣ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏｒ ￣ ｆ ａｇ ｉ ａｈｒ Ｅ ｕａｉ ｎｖｓ ｔ（ ｔ Ｇ Ｔ ｏ ｅ ｙＮ ｒ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｅ ｉ
１ 引 言
本 文利用 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙｐ ｎ ｖ泛 函的方 法 ， 究 了泛 函微 分方 程组 研
ｆ ｔ ＝ｆ ｔｚ） （） （ ， ｚ
， 、
ｌ ） （， ）’ ＝ｇ￡ ｔ Ｙ
一类二阶迭代泛函微分方程的解析解的存在性
一
பைடு நூலகம்Ａ。
ｙ ｚ ＝ ａ ＋口 ＋ … ＋ａｚ （） Ｉ ２ ｎ“＋… ，ｌ ０ ａ≠
的解析解．
收稿 日期 ：Ｏ Ｏ ３ －３ ２ ｌ—０ — ２ 作者简介 ： 朱先军（ ９３一）， ， １６ 男 山东济宁人 ， 济宁学院数学 系副教授 ， 研究方向 ： 微分方程 与动力系统。
基金项 目： 山东省高等学校优秀青年教师国内访 问学者项 目 ．
3方程o1的解析解定理31假设定理11或定理21成立则方程o1在原点的邻域内存在形如茗zyay以z满足初始条件x00xoa的解析解其中yg是方程02在原点邻域内的一个可逆的局部解析解
第３ １卷第 ３期
Ｖ １３ Ｎ ． ０． １ ｏ３
济宁学院学报
Ｊｕ ｎ ｌ ｆＪｎｎ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ａ ｉｉｇＵｎｖ ｒｉ ｏ ｙ
， ） （） ｇ ｚ 的解析 解的存在 性． （ ｚ ＋ （） 讨论 了双 曲型情形 ０＜ Ｉ ＜ｌ ⅡＩ 和共振 的情形 ， 曰 还在 咖∞ 条件 下讨
论 了在共振点 附近 的情形． 关键词 ： 迭代泛函微 分方程 ； 解析解 ； 共振
中 图分 类 号 ： １５ １ ０７．２ 文 献 标 识 码 ： Ａ
． （．） ０ １
本文将讨论如下 的二阶迭代泛 函微分方程 的局部解析解的存在性 ：
Ａ ｘ（ ）＋Ａ （）＋Ａｘ ｚ ｚ ｘ （ ）＋ｇ ｚ ， ２”ｚ ｌ 。 ０ （）＝ ） （ ）
其 中 Ａ ，．Ａ 。Ａ ，：∈ Ｃ， ２≠Ｏ ） ｇ Ａ ， （）在 Ｉ ＜８ ８＞０ 上解析． ｌ （ ）
由于 ，（ ）＝ａ ≠ ０ 故可得 Ａ ，Ｏ 。 ， ２・（ ）一，（ ） Ｙ（ ， ）＝
，ｚ【 一 １ （ ＋ ）一 ｏ ａ ＋（ ｓ ， ） ｇｙ ）】 ， ）． Ａ ） ｙｓ【 Ａ （ ） ，，）， ＋ （ ｓ） ｛ （ （ ｙ ｓ ， ） ｓ （ （ （ ．
一类时滞泛函微分方程组边值问题多个非负解存在性
１ １＋ １丁 ） 一 ． ＋７（ 一丁 ｒ １ ２ ２ ＋ 丁 。 ，— ＠ａ— －ｗ ’ １ ｆ ２ ２１ ） （
引理１ 对任意（ ｓ ∈［ １ ×［ １，有０ Ｇ （ ｓ ） ０ ］ ０ ］ ， ， ， ｔ ，）
［ １，有ｍ （，） ０ １ ， ｓｓ （ ｓ。并且 ） ，
ｆ（ Ｘ （ ２ｔ－ Ｔ ￣ ０ ｌｔ ｔ， （－ ）－ ｌ ）Ｘ ， ）－ ， ｔ ｏ１ ，］ ｃ［ ｍ ㈤
，
（） １
满足Ｓ ｕｍ～ ｉｕ ｉｅ ｔ ｒ Ｌ ｏ ｖｌ 型边 界条件 。 ｌ
ｌ （一 ２ ２ ）
＝２ 叼 卟 （ ）
一
，
得到 了任意多个非负解存在 的多个 结论。
６６ ８
工
程
数
学
学
报 Βιβλιοθήκη 第 ２ 卷 ５假设Ｈ 常数 ， ， ， ０ ｔ
０ 丁＜ ，０ ，并且 ＋ ≠０ ＋７ ≠０ ＝１ ２ ，鸳 ，ｉ ， ；
函数 ∈ｃ ［ ０） ∈Ｃ （ ０） （ ０ （ ＝０ （ 一 ］ ， （ 一 ） 且 ｔ ） ， ０ ） ，在ｔ 处的左导数卵 （） 。 ＝０ ： ０ ＝０ 一 定义 设。： （１ｚ） ，２ ∈ｃ 卜丁１ ×［下１ ，如果ｚｔ （１ ） ２ ） （ ，］ 一 ， ） ］ （ （ ， （ ） ） ｔ ｚ ｔ 在ｔ∈（，） ０１满足方 程（） １，在ｔ 一 ， 满足边界条件（ ，并且ｔ １ ３成立，则称 ∈［丁０ ］ ２ ） ＝ 时（） 是边值问题（ ，２，３的 １ （） （ ） ）
（ ｓ；对任意（ ｓ ∈ ， 一ｒ × ｓ） ， ） １ ］ ，
ｍ ａ ｘ
引理２ 设方程组
（ ） ） ，
＝， １ ２ ．
一类泛函差分方程最大最小周期解的存在性
摘 要 ： 用上 下解 方法讨 论 了一类 泛 函差分 方程 运
△ （ 一１ ＝一口 （ ）＋ ｔ 一 ￡ ） ， ｔ∈ｚ， ｕｔ 口ｚ ［ ， ） ：—ｚ， 其 ：一 ０ ∞ ， ｚ 均为 ７一周期 的 ； ： １ ｆＺ×［ ， ） ０∞
ｊ ｔ
（）＝ ∑ Ｇ ｓ × ｆ （， ）
起 了很 多学 者 的兴趣 ， 见文 ［ ８ ５— ］及其参 考 文献 ． 自然地 一个 问题 是 ， 于方 程 （ ）的离散化 方程 关 １ Ａ （ 一１ ｕ ｔ ）：一０ ｔＭ ｔ ， ｔ ｔ—ｒ ） ， （） （）＋ （， （ （） ）
ｔ∈Ｚ， （） ２
Ｅ， 其中 ＤＣＥ 如果存在 ‰ ∈ 使得 ≤ ０则 ， Ｄ， 。 ， 。 叫做算子方程 ＝ ｘ 的一个下解 ； Ａ。 如果存在 Ｙ ∈ ｏ Ｄ， 使得 Ａ 。 ， ， Ｙ 叫做算子方程 ＝ ｘ的一个上 ｙ≤，则 。 。 Ａ
ｕｔ ＝ （） ＿ Ｉ—————一 ，
点 Ｙ 即若 ｚ 为 在 Ｄ 中任一 不 动 点 ， 有 ∈ （ 必
［ ， ］ Ｙ ）且
４
一
（ １ 。 ）一 ） ｎ（ ＋ （ ） １
ｔ ＋
＝Ｊ Ｙ ＝ｌ ｙ 其 中 ： ＝ ｉ ， ｍｘ ｉ ， ａ ｒ １ ∈ 满足 ， Ｎ，
—
［ ， ，关 于第一 个变量 是 一周期 的 ，关于第二 个 变量连 续且 非减． ０ ∞） 文献标 志码 ： Ａ
关键 词 ：泛函差 分方程 ；上下 解方 法 ；最 大最小 周期 解 ； 在性 ；不动 点 存
中图分类 号 ： １ ５ ７ ０ ７ ．
带有 时滞 的泛 函差 分方 程在 生物 学 、 济学 、 经 生 态 学 和人 口动 力 系 统 等 实 际 问题 中有 着 广 泛 的应 用 ，因此 ， 泛 函微分 方 程周 期 解 存在 性 的研究 就 对 具 有现 实意 义 ．近年 来 ，许 多学 者 对一 阶泛 函微 分
一类混合型线性泛函微分方程解的存在性
１ 在 Ｓ中的解
首先在速 降函数空 间 ．上 讨论 方 程 （）的解 ， 关 速 降 函数 空 间 的概 念 可 参 考 文 献 ［］对 于任 一 ｓ １ 有 ２．
ｈ￡ ＥＳ令 ∈ ５ （） ， 表示ｈ Ｆｕｅ变 即 ｓ ＝Ｉ ｅ （）ｔ 的 ｏｒｒ 换， （） ｈ￡ ． ｉ ｄ 对于任一 ｈ Ｓ记 ∈ ，
Ｊ 一 ∞ ｒｔ ｒＩ ￡
。
（ ＝Ｉ ｈｓ ｓＨ（ ＝１ ￡ （ ｄ，： ） ） ） ｆ
（） ， Ｈ （ ＝Ｉ ｓ ｓ…，ａ ） ｄ
一５ ｓ ）， （ ｄ
－
收 稿 日期 ： ０ 一Ｏ —２ ２ ８ １ ５ ０
基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目（０ ７０７ ； １４１７） 山东省教育厅科技计划项 目（０Ａ ０ ； Ｊ４ ６ ）济南大学博士基金 （ （２ ） Ｂ６ １ ） 作者简介 ： 杨殿武（９７ ， ， １６ 一）男 山东郓城人 ， 济南大学理学院副教授 ， 主要从事微分方程及应用研究 通讯作者 ： 韩振来（９２ ， ， １６ 一）男 山东济南人 ， 山东大学理学院教授 ， 士， 博 主要从事微分方程及应用研究 ．
中讨论 了方程有解所必须满足的充分条件和必要 条件 ．
关键 词 ： 函微 分 方程 ； 降 函数 空 间 ；ｏｏ ｖ空 间 泛 速 Ｓｂｌ ｅ
中 图分 类 号 ： １５７ ０７ ．
文 献标 识 码 ： Ａ
考虑 常系数线性 Ｆ Ｅ方程 Ｄ
Ｎ
（ ＝∑ （＋０ ＋ （ ． ｆ ） ｔ ） ＾￡ ）
２
吉首大学学报（ 自然科学版）
第 ２ 卷 ９
则 日 （ ） （ ） … ， （ ）∈ Ｃ １ｔ ， ｔ， ｔ ．
若 ｈ ｔ 满 足条件 （）
一类具有无穷时滞中立型泛函微分方程反周期解的存在性
即 （）是 反周期 的 ， ｔ 且是有 界 的．
（） ２ 类似可证．
ｌ （） ｓ Ｉ≤ ２ Ｉ ｔ 一（）ｌ Ｃ
ｅ（ｃ ｄ， ｓ ３ ｘｒ ＡＡｆ ． ｐ ））≥ ０ （
．
主 要 结 论及 证 明
定理 １ 假 设方 程 （ ）满 足条件 （ ） １ Ｈ１ 且满 足
和
解的存在性给予了大量研究 ， 并得到一 些结果 ， 参 见文献 ［ ５—９ ． ］ 然而对 中立型泛 函微分方程反周 期解 问题 的讨 论甚 少 ， 文讨论 下 面一类 具 有无穷 本 时滞 中立型泛 函微 分方 程
（） ２ （） ３
盖 ） Ｑ ，ｔＪ Ｊ （ 一 （ （， ） （
唯一 的 ７周期解 ： ’
ｓｐ （ Ｉ ｕ 训
（）＝ｆ Ｘ ｔｘ ｓ （）ｓ ｔ （） （） ｓｄ 厂
（） Ａｔ ２ 若 （）满 足 条 件 （ ２ ， ｋ Ｈ ） 且 ：＝ ｅｐ 一 ｘ （
Hale Waihona Puke ＩＱ ｔＭ ，１ （ ，１ ）一Ｑ（ ，２Ｉ ）ｌ ｔ ，２ ≤ Ｉ／ ２ Ｊ ２ ， １一 Ｉ
Ｊ ｎ ａ．
２ １ ０２
文章 编号 ：０ ８—１０ （ ０２）１—０５ Ｏ １０ ４２ ２１ Ｏ １ １一 ４
一
类具有无穷时滞中立型泛函微分方程反周期解的存在性
张洪彦 ， 王 奇 ， 丁敏敏 ， 王志杰
（ 徽 大 学数 学 科 学 学 院 。 安 安徽 合 肥 ２０ ３ ３０ ９ ｊ
＝
ｆ （ ＋ ）一 ｓ ） ｓ Ｔｄ ｔ ＴＸ ＋ 厂 ＋ ）ｓ （ （ ｆ （） （） ｓ Ｔｄ ｓ （ ＋ ）ｓ ，
阵， 如果存在一个映射 Ｐ和正常数 ， 使得 ： Ｉ （） Ｘ １ ｓ ｌ≤ｆ ｘ （ 仅 ｔ ） ， ≥ｓ ｌ ｔＰ ＿（ ）Ｉ ｌ ｐ 一 （ —ｓ ） ｔ ； ｅ
一类非线性项带导数的分数阶微分方程边值问题正解的存在性和多解性
收稿日期:２０２１Ｇ１１Ｇ１３基金项目:国家自然科学基金项目(１２１２６４２７,１２１６１０７９)作者简介:褚丽敏(１９９７ ),女,硕士研究生,主要从事微分方程及其应用研究．通信作者:苏有慧(１９７２ ),女,教授,博士,硕士生导师,主要从事微分方程及其应用研究．第３７卷第２期徐州工程学院学报(自然科学版)２０２２年６月V o l ．３７N o ．２J o u r n a lo f X u z h o uI n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y (N a t u r a lS c i e n c e s E d i t i o n )J u n ２０２２一类非线性项带导数的分数阶微分方程边值问题正解的存在性和多解性褚丽敏１,２a ,胡卫敏２a ,２b,苏有慧１(１．徐州工程学院数学与统计学院,江苏徐州㊀２２１０１８;２．伊犁师范大学a ．数学与统计学院;b ．应用数学研究所,新疆伊犁㊀８３５０００)㊀㊀摘要:文章研究了一类非线性项带导数的分数阶微分方程对应的格林函数及其重要性质,运用G u o ＧK r a s n o s e l ＇s k i i ＇s 不动点定理和L e g g e t t ＧW i l l i a m s 不动点定理证明出该问题的一个与３个正解存在,并举例说明了结论的合理性．关键词:分数阶微分方程;格林函数;边值问题;不动点定理中图分类号:O １７５．８㊀文献标志码:A㊀文章编号:１６７４Ｇ３５８X (２０２２)０２Ｇ００１１Ｇ１０自然生活中的很多问题用通常的整数阶微分方程很难解释与描述,而与整数阶微分方程相比,分数阶微分方程在描述自然㊁物理㊁化学等现象时更有普遍性和准确性．因而,近些年分数阶微分方程吸引了越来越多学者的关注,并取得了一些重要的成果[１Ｇ９]．文献[１０]研究了一类R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 型分数阶微分方程边值问题D αu (t )＋f (t ,u (t ))＝０,０＜t ＜１,u (０)＝D βu (０)＝D βu (１)＝０,{正解的存在性,其中D α表示α阶R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 分数阶导数,２＜αɤ３,１＜βɤ２,１＋βɤα,f ɪC ０,１[]ˑ０,＋ɕ[),(０,＋ɕ)()．文献[１１]研究了一类R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 型分数阶微分方程多点边值问题D α０＋u (t )＋f (t ,u (t ),u ᶄ(t ))＝０,u (０)＝u ᶄ(０)＝u ᵡ(０)＝ ＝u n －２()(０)＝０,u ᶄ(１)＝ðm －２i ＝１βiuᶄ(ξi),ìîíïïïï其中:０ɤt ɤ１,n －１＜αɤn ,n ȡ２,０＜βi ＜１,０＜ξi ＜１,i ＝１,２, ,m －２,a i ＞０,ðm －２i ＝１βiξi α－２＜１．文献[１０]考虑了R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 型分数阶微分方程边值问题正解的存在性,但其非线性项不包含导数,而研究非线性项带导数的分数阶微分方程,更具有普遍意义和现实意义．文献[１１]研究了非线性项内含导数的分数阶问题３个正解的存在性．受以上文献启迪,本文研究非线性项内含导数的R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 型分数阶微分方程D α０＋u (t )＋λf (t ,u (t ),u ᶄ(t ))＝０,０＜t ＜１,u (０)＝u ᶄ(０)＝u ᵡ(０)＝u ᶄ(１)＝０,ìîíïïï问题(１)其中:D α０＋是α阶R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 型分数阶导数,３＜αɤ４,λ＞０,f ɪC ([０,１]ˑ[０,＋ɕ)ˑ[－ɕ,＋ɕ),(－ɕ,＋ɕ))．本文得出的存在性结果是在求出问题(１)的格林函数的基础上,运用G u o ＧK r a s n o s e l ＇s k i i ＇s 不１１动点定理证明．１㊀预备知识定义１[１２]㊀设α＞０,使得函数u :０,＋ɕ()ңR 的R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 分数阶积分定义成I α０＋u(t )＝ʏt ０(t －s )α－１Γ(α)u (s )d s ．定义２[１２]㊀设α＞０,使得函数u :(０,＋ɕ)ңR 的R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 分数阶导数是D α０＋u (t)＝１Γ(n －α)d dt æèçöø÷nʏt ０１(t －s)α－n ＋１u (s )d s ,其中:n －１ɤα＜n ,n ＝[α]＋１,右边在R 上逐点定义．引理１[１３]㊀令α＞０,则微分方程D α０＋u(t )＝０有唯一解u (t )＝c １t α－１＋c ２t α－２＋ ＋c nt α－n ,其中:c i ɪR,i ＝１,２, ,n ,n ＝[α]＋１．引理２[１２]㊀若α＞０,β＞０,u ɪL (０,１),则有１)D β０＋I α０＋u (t )＝I α－β０＋u (t ),α＞β;２)D α０＋I α０＋u(t )＝u (t );３)I α０＋D α０＋u (t )＝u (t )＋ðn i ＝１C i t α－i,n －１ɤα＜n ,C i ɪR,i ＝１,２,．．．,n ,n ＝[α]＋１;４)D α０＋t β＝Γ(β＋１)Γ(β＋１－α),β＞－１,β＞α－１,t ＞０．引理３[１５]㊀G u o ＧK r a s n o s e l ＇s k i i ＇s 不动点定理,设P 为B a n a c h 空间E 中的一个锥,Ω１,Ω２是E 上的有界开子集,且０ɪΩ１⊂Ω２,若A :P ɘ(Ω２\Ω１)ңP 是全连续算子,且满足下列条件之一:１) A x ɤ x ,∀x ɪP ɘ∂Ω１且 A x ȡ x ,∀x ɪP ɘ∂Ω２;２) A x ȡ x ,∀x ɪP ɘ∂Ω１且 A x ɤ x ,∀x ɪP ɘ∂Ω２;则A 在P ɘ(Ω２\Ω１)ңP 上有一个不动点．运用L e g ge t t ＧW i l l i a m s 不动点定理证明问题(１)的多解性．设Ω是巴拿赫空间X 中的锥,Ω上的一个非负连续凹泛函α,为α:Ωң[０,＋ɕ),并且满足:α(t x ＋１－t y )ȡt α(x )＋(１－t )α(y ),∀x ,y ɪΩ,０ɤt ɤ１．令Ωr ＝u ɪΩ|u ＜r {},Ωa ,b ,d＝u ɪΩ|b ɤα(u ), u ＜d {}．引理４[１４]㊀L e g g e t t ＧW i l l i a m s 不动点定理,设T :Ωc ңΩc 为全连续算子,且存在Ω上的非负连续凹泛函α(x ),满足α(u )ɤ u ∀u ɪΩc ()．又设存在０＜a ＜b ＜d ɤc ,满足:１)当u ɪΩ(a ,b ,d )时,集合u ɪΩ(a ,b ,d )|α(u )＞b {}非空,恒有α(T u )＞b ;D β０＋I α０＋u (t )＝I α－β０＋u (t ),α＞β;２)当u ɪΩa 时,恒有 T u ＜a ;３)当u ɪΩ(a ,b ,c )且 T u ＞d 时,有α(T u )＞b ,则A 至少有３个不动点u １㊁u ２㊁u ３满足u １ ＜a ＜ u ３ ,α(u ３)＜b ＜α(u ２)．２㊀G r e e n 函数及其性质引理５㊀若３＜αɤ４,函数y ɪC [０,１],则分数阶微分方程边值问题D α０＋u (t )＋λy (t )＝０,０＜t ＜１,u (０)＝u ᶄ(０)＝u ᵡ(０)＝u ᶄ(１)＝０,ìîíïïï有唯一解２１ 徐州工程学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年第２期u (t)＝ʏ１０G (t ,s )y (s )d s ．其中G (t ,s)＝λΓ(α)t α－１(１－s )α－２－t －s ()α－１[],０ɤs ɤt ɤ１,λΓ(α)t α－１(１－s )α－２[],０ɤt ɤs ɤ１．ìîíïïïïïï问题(２)证:由引理２可知u (t )＝－λI α０＋y (t )＋c １t α－１＋c ２t α－２＋c ３t α－３＋c ４t α－４,其中,３＜αɤ４．由边值条件u (０)＝u ᶄ(０)＝u ᵡ(０)＝０,意味着c ２＝c ３＝c ４＝０,u ᶄ(t )＝－λI α－１０＋y (t )＋c １(α－１)t α－２．又因为u ᶄ(１)＝０,故c １＝λα－１ʏ１０(１－s )α－２Γ(α－１)y (s )d s ．综上u (t )＝－λI α０＋y(t )＋λα－１ʏ１０(１－s )α－２t α－１Γ(α－１)y (s )d s ＝－λΓ(α)ʏt ０(t －s )α－１y (s )d s ＋λΓ(α)ʏ１０(１－s )α－２t α－１y (s )d s ＝－λΓ(α)ʏt０(t －s )α－１y (s )d s ＋λΓ(α)ʏt０(１－s )α－２t α－１y (s )d s ＋λΓ(α)ʏ１t(１－s )α－２t α－１y (s )d s ＝λΓ(α)ʏt０(１－s )α－２t α－１－(t －s )α－１[]y (s )d s ＋λΓ(α)ʏ１t(１－s )α－２t α－１y (s )d s ＝ʏ１０G (t ,s )y (s )d s ．引理６㊀引理５中的格林函数满足以下性质:１)对与任意的t ,s ɪ[０,１],G (t ,s )ɪC [０,１]ˑ[０,１]();２)对与任意的t ,s ɪ[０,１],G (t ,s )ȡ０,G ᶄ(t ,s )ȡ０;３)对与任意的s ɪ[０,１],G (t ,s )和G ᶄ(t ,s )是关于t 的递增函数,且m a x t ɪ[０,１]G (t ,s )＝G (１,s ),m a x t ɪ[０,１]G ᶄ(t ,s )＝G ᶄ(１,s);４)对与任意的t ,s ɪ[０,１],m i n t ɪ[１２,１]G (t ,s )ȡ１２æèçöø÷α－１G (１,s )．证:性质１)易得．下面主要证明性质２)㊁３)㊁４)．为了方便表达,令G １(t ,s ),G ２(t ,s)为G １(t ,s )＝λt α－１(１－s )α－２－t －s ()α－１[]Γ(α),０ɤs ɤt ɤ１,G ２(t ,s )＝λt α－１(１－s )α－２Γ(α),０ɤt ɤs ɤ１．由于t ,s ɪ[０,１],显然０＜t －s t ＜１,０＜t －s ＜１,(t －s t )α－１ȡ(t －s )α－１．当０ɤs ɤt ɤ１时,㊀㊀㊀㊀G １(t ,s)＝λt α－１(１－s )α－２－λt －s ()α－１Γ(α)＝λΓ(α)(t －s t )α－１１－s －(t －s )α－１éëêêùûúúȡλΓ(α)(t －s )α－１－(t －s )α－１(１－s )１－s éëêêùûúú＝λs (t －s )α－１Γ(α)(１－s )ȡ０．３１ 褚丽敏,等:一类非线性项带导数的分数阶微分方程边值问题正解的存在性和多解性当０ɤt ɤs ɤ１时,G ２(t ,s)＝λt α－１(１－s)α－２Γ(α)ȡ０．综上可得,对与任意的t ,s ɪ[０,１],有G (t ,s )ȡ０,同理G ᶄ(t ,s )ȡ０,故性质２)成立．因为∂G １(t ,s )∂t ＝λ(α－１)t α－２(１－s )α－２－λ(α－１)t －s ()α－２Γ(α),∂G ２(t ,s )∂t ＝λ(α－１)t α－２(１－s)α－２Γ(α)．当０ɤs ɤt ɤ１时,㊀㊀㊀㊀㊀㊀∂G １(t ,s )∂t ＝λ(α－１)t α－２(１－s )α－２－λ(α－１)t －s ()α－２Γ(α)＝λ(α－１)t α－２Γ(α)(１－s )α－２－１－s t æèçöø÷α－２éëêêùûúúȡλ(α－１)t α－２Γ(α)(１－s )α－２－(１－s )α－２[]＝０．当０ɤs ɤt ɤ１时,∂G ２(t ,s )∂t ＝λ(α－１)t α－２(１－s )α－２Γ(α)＝λ(α－１)t －s t ()α－２Γ(α)ȡ０．又因为∂G １(t ,s )∂t ɤ∂G ２(t ,s )∂t,故G (t ,s )是关于t 的严格单调递增函数,即m a x t ɪ[０,１]G (t ,s )＝G (１,s ),同理可得G ᶄ(t ,s )在[０,１]上也是单调递增的,即m a x t ɪ[０,１]G ᶄ(t ,s )＝G ᶄ(１,s),故性质３)成立．根据性质３)有m i n t ɪ[１２,１]G (t ,s )＝G (１２,s )＝G １(１２,s )＝λ１２æèçöø÷α－１(１－s )α－２－１２－s æèçöø÷α－１éëêêùûúúΓ(α),s ɪ０(,１２ùûúú,G ２(１２,s )＝λ１２æèçöø÷α－１(１－s )α－２Γ(α),s ɪ１２,１éëêêùûúú．ìîíïïïïïïïïï问题(３)令Φ(s )＝G (１２,s )G (１,s)．当０＜s ɤ１２,有㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Φ(s)＝１２æèçöø÷α－１(１－s )α－２－１２－s æèçöø÷α－１(１－s )α－２－(１－s)α－１＝１２æèçöø÷α－１(１－s )α－２－１－２s ()α－１(１－s )α－２－(１－s )α－１ȡ１２æèçöø÷α－１(１－s )α－２－(１－s )α－１(１－s )α－２－(１－s )α－１＝１２æèçöø÷α－１．４１ 徐州工程学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年第２期根据洛必达法则,㊀㊀㊀㊀㊀㊀l i m s ң０＋Φ(s )＝l i m s ң０＋１２æèçöø÷α－１(１－s )α－２－１２－s æèçöø÷α－１(１－s )α－２－(１－s )α－１＝l i m s ң０＋１２æèçöø÷α－１(１－s )α－２－１－２s ()α－１(１－s )α－２－(１－s )α－１＝l i ms ң０＋１２æèçöø÷α－１(α－２)(１－s )α－３－２(α－１)１－２s ()α－２α－２()(１－s )α－３－(α－１)(１－s )α－２＝１２æèçöø÷α－１α－２()－２(α－１)α－２()－(α－１)＝１２æèçöø÷α－１α＞１２æèçöø÷α－１．当１２ɤs ɤ１,Φ(s )＝１２æèçöø÷α－１(１－s )α－２(１－s )α－２－(１－s )α－１ȡ１２æèçöø÷α－１,因此m i n t ɪ[１２,１]G (t ,s )ȡ１２æèçöø÷α－１G (１,s),故性质４)成立．３㊀全连续算子本节在B a n c h 空间上构建了一个全连续泛函,将边值问题解的存在性转化为研究这个全连续算子的不动点存在问题．定义B a n c h 空间E ＝u (t )|u (t )ɪC [０,１]{},其范数 u ＝m a x u １, u ２{},其中 u １＝m a x t ɪ[０,１]u (t ), u ２＝m a x t ɪ[０,１]u ᶄ(t )．定义锥P ⊂E 为P ＝(u (t ))ɪE |u (t )ȡ０,m i n t ɪ[１２,１]u (t )ȡ１２æèçöø÷α－１u ,t ɪ[０,１]{}．定义算子T(T u )(t)＝ʏ１０G (t ,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s ,(T u )ᶄ(t )＝ʏ１０G ᶄ(t ,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s ．引理７㊀设u ɪU ,则m a x t ɪ[０,１]u (t )ɤm a x t ɪ[０,１]u ᶄ(t )．证:对∀u ɪU ,t ɪ[０,１],有u (t )－u (０)＝u ᶄ(ξ)t ．由于u (０)＝０,故u (t )ɤm a x t ɪ[０,１]u ᶄ(t),因此m a x t ɪ[０,１]u (t )ɤm a x t ɪ[０,１]u ᶄ(t )．引理８㊀设f ɪC ([０,１]ˑ[０,＋ɕ)ˑ(－ɕ,＋ɕ),[－ɕ,＋ɕ)),则算子T :P ңP 是全连续的．证:对∀u ɪP ,因为f 和G (t ,s )具有非负性,所以(T u )(t )ȡ０．又由引理６中４)得５１ 褚丽敏,等:一类非线性项带导数的分数阶微分方程边值问题正解的存在性和多解性㊀㊀㊀㊀m i n t ɪ[１２,１](T u )(t ) １＝m i nt ɪ[１２,１]ʏ１０G (t ,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s ＝ʏ１０mi n t ɪ[１２,１]G (t ,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s ȡ１２æèçöø÷α－１ʏ１０G (１,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s ＝１２æèçöø÷α－１ (T u )(t ) １．因此T (P )⊂P ,即T :P ңP ．证T :P ңP 是一致有界的．令Ω＝u (t )ɪE : u (t ) ɤR ,R ＞０,t ɪ０,１[]{}．由于f 是连续的,所以∀u ɪΩ,(t ,u (t ),u ᶄ(t ))ɪ[０,１]ˑ[０,R ]ˑ[－R ,R ],存在常数K ＞０,使f (τ,u (τ),D αo ＋(τ))ɤK ．令L １＝ʏ１０G (１,s )d s ,L ２＝ʏ１０H (１,s )d s ．有㊀㊀㊀㊀ (T u )(t ) １＝m a x t ɪ[０,１]ʏ１０G (t ,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s ɤʏ１０G (１,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s ɤK ʏ１０G (１,s )d s ＝K L １,㊀㊀㊀㊀ (T u )(t ) ２＝m a x t ɪ[０,１]ʏ１０G ᶄ(t ,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s ɤʏ１０G ᶄ(１,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s ɤK ʏ１０G ᶄ(１,s )d s ＝K L ２,因此T u ＝m a x T u １, T u ２{}ɤm a x K L １,K L ２{},故T (Ω)是一致有界的．证明算子T :P ңP 是等度连续的．因为G (t ,s )和G ᶄ(t ,s )在[０,１]ˑ[０,１]上是连续的,所以G (t ,s )和G ᶄ(t ,s )在[０,１]ˑ[０,１]上一致连续．取t １,t ２ɪ[０,１],对任意ε１,ε２＞０,存在常数δ＞０,当t ２－t １＜δ时,有G (t ２,s )－G (t １,s )＜ε１K,且G ᶄ(t ２,s )－G ᶄ(t １,s )＜ε２K,进一步有(T u )(t ２)－(T u )(t １)ɤʏ１０G (t ２,s )－G (t １,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s )d s ɤKʏ１０G (t ２,s )－G (t １,s )d s ＜ε１,且６１ 徐州工程学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年第２期(T u )ᶄ(t ２)－(T u )ᶄ(t １)ɤʏ１０Gᶄ(t ２,s )－Gᶄ(t １,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s )d s ɤK ʏ１０Gᶄ(t ２,s )－Gᶄ(t １,s )d s ＜ε２．取ε＝m a x ε１,ε２{},则 (T u )(t ２)－(T u )(t １) ＝m a x (T u )(t ２)－(T u )(t １),(T u )ᶄ(t ２)－(T u )ᶄ(t １){}＜ε,故算子T :P ңP 是等度连续的．综上,由A s c o l i ＧA r z e l a 定理可知T (Ω)是紧集,所以T :P ңP 全连续．４㊀一个解的存在性为了方便证明,记Λ１＝m a x １ʏ１０G (１,s )d s ìîíïïï,１ʏ１０G ᶄ(１,s )d s üþýïïï,Λ２＝１１２æèçöø÷α－１ʏ１１２G (１,s )d s ．定理１㊀设f ɪC [０,１]ˑ[０,＋ɕ)ˑ(－ɕ,＋ɕ),(－ɕ,＋ɕ)(),若存在两个常数m ＞n ＞０,且满足如下条件:１)f t,u (t ),u ᶄ(t )()ɤm Λ１,t ,u (t ),u ᶄ(t )()ɪ[０,１]ˑ[０,m ]ˑ[０,m ];２)f t,u (t ),u ᶄ(t )()ȡn Λ２,t ,u (t ),u ᶄ(t )()ɪ[０,１]ˑ[０,n ]ˑ[０,n ]．则边值问题(１)至少存在一个正解．证:首先令Ωm ＝{u ɪE : u ＜m },则对∀u ɪ∂Ωm ,都有０＜u ɤ u １ ɤ u ＝m ,０＜u ᶄɤ u ２ ɤu ＝m ．由条件１)可得㊀ T u ＝m a x T u １, T u ２{}＝m a x m a x t ɪ[０,１]ʏ１０G (t ,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s ,{m a x t ɪ[０,１]ʏ１０G ᶄ(t ,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s }＝m a x ʏ１０G (１,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s ,{ʏ１０G ᶄ(１,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s }ɤm a x m Λ１ʏ１０G (１,s )d s {,ʏ１０G ᶄ(１,s )d s }ɤm ．因此∀u ɪP ɘ∂Ωm ,有 T u ɤ u ．令Ωn ＝{u ɪE : u ＜n },则对∀u ɪ∂Ωn ,都有０＜u ɤ u １ ɤ u ＝n ,０＜u ᶄɤ u ２ ɤu ＝n ．由条件２)和引理７可知㊀㊀㊀㊀㊀ T u ＝m a x T u １, T u ２{}＝m a x m a x t ɪ[０,１]T u １,{m a x t ɪ[０,１]T u ２}ȡm a x t ɪ[０,１]T u １＝m a xt ɪ[０,１]ʏ１０G (t ,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s ȡn Λ２ʏ１１２m i n t ɪ[１２,１]G (t ,s )d s ȡ１２æèçöø÷α－１n Λ２ʏ１１２G (１,s )d s ȡn ．７１ 褚丽敏,等:一类非线性项带导数的分数阶微分方程边值问题正解的存在性和多解性因此∀u ɪP ɘ∂Ωn ,有 T u ȡ u ．由引理３可知算子T 存在一个不动点u ,即u 是边值问题(１)的一个正解．５㊀３个解的存在性利用L e g ge t t ＧW i l l i a m s 不动点定理给出分数阶微分方程边值问题(１)３个解的存在性定理．定理２㊀设f ɪC [０,１]ˑ[０,＋ɕ)ˑ(－ɕ,＋ɕ),(－ɕ,＋ɕ)(),若存在两个正数０＜a ＜b ＜d ɤc 满足以下条件:１)f t,u (t ),u ᶄ(t )()＜a Λ１,t ,u (t ),u ᶄ(t )()ɪ[０,１]ˑ[０,a ]ˑ[０,a ];２)f t,u (t ),u ᶄ(t )()＞b Λ２,t ,u (t ),u ᶄ(t )()ɪ[１２,１]ˑ[b ,d ]ˑ[b ,d ];３)f t,u (t ),u ᶄ(t )()ɤc Λ１,t ,u (t ),u ᶄ(t )()ɪ[０,１]ˑ[０,c ]ˑ[０,c ]．则边值问题(１)至少存在３个解u １,u ２,u ３,满足０＜ u １ ＜a ＜ u ３ ,b ＜i n f t ɪ[１２,１]u ２,i n f t ɪ[１２,１]u ３＜b ．证:令θ(u )＝i n f t ɪ[１２,１]u (t)是一个非负连续凹函数,且θ(u )ɤ u ．由引理４可知,若u ɪΩc ,则有 u ɤc ,由条件３)得㊀㊀ T u ＝m a x T u １, T u ２{}＝m a x m a x t ɪ[０,１]ʏ１０G (t ,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s ,{m a x t ɪ[０,１]ʏ１０G ᶄ(t ,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s }＝m a x ʏ１０G (１,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s ,{ʏ１０G ᶄ(１,s )f (s ,u (s ),u ᶄ(s ))d s }ɤc Λ１ma x ʏ１０G (１,s )d s {,ʏ１０G ᶄ(１,s )d s }＝c ．故T :Ωc ңΩc 成立且是全连续的．同理,若u ɪΩa ,由１)可得 (T u )(t ) ＜a ,满足引理４中条件２)．对任意t ɪ[０,１],取u (t )＝b ＋d ２ɪΩθ,b ,d (),则θ(u )＝θb ＋d ２æèçöø÷＞b ,故有u ɪΩθ,b ,d ()|θ(u )＞b {}ʂ∅．另一方面,若u ɪΩθ,b ,d (),有b ɤθ(u )ɤu (t )ɤ u ɤd ．根据条件２)可得㊀㊀㊀㊀θ(T u )＝i n ft ɪ[１２,１]ʏ１０G (t ,s )f (t ,u (t ),u ᶄ(t ))d s ＞１２æèçöø÷α－１ʏ１１２G (１,s )f (t ,u (t ),u ᶄ(t ))d s ＞b Λ２１２æèçöø÷α－１ʏ１１２G (１,s )d s ＝b ,即u ɪΩ(θ,b ,d ),θ(T u )＞b ,满足引理４中条件１)．对∀u ɪΩ(θ,b ,d ),和 T u ＞b ,类似可得θ(T u )＞b ,这意味着引理４中条件３)成立．综上,由引理４则边值问题(１)至少有３个正解u １,u ２,u ３,满足０＜ u １ ＜a ＜ u ３ ,b ＜i n f t ɪ[１２,１]u ２,i n f t ɪ[１２,１]u ３＜b ．８１ 徐州工程学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年第２期６㊀应用举例例子１㊀考虑非线性分数阶微分方程边值问题D ７/２０＋u (t )＋f (t ,u (t ),u ᶄ(t ))＝０,０＜t ＜１,u (０)＝u ᶄ(０)＝u ᵡ(０)＝u ᶄ(１)＝０,ìîíïïïï其中:３＜α＝７２ɤ４,λ＝１,且f (t ,u ,u ᶄ)＝u ２t ２＋u ᶄ＋２１＋et,计算可知Λ１＝５２５π３２ʈ７３,Λ２＝１７５π３２ʈ２９,故取m ＝１０,n ＝１７３,则定理１的条件满足,所以该边值问题至少存在一个正解．例子２㊀考虑非线性分数阶微分方程边值问题D ７/２０＋u (t )＋f (t ,u (t ),u ᶄ(t ))＝０,０＜t ＜１,u (０)＝u ᶄ(０)＝u ᵡ(０)＝u ᶄ(１)＝０,ìîíïïïï其中:３＜α＝７２ɤ４,λ＝１,且f (t ,u ,u ᶄ)＝u ２t ２＋u ᶄ＋２１＋e －t计算可知Λ１＝５２５π３２ʈ７３,Λ２＝１７５π３２ʈ２９,故取a ＝１３０,b ＝１２９,d ＝２,c ＝３则定理２的条件满足,所以该边值问题至少存在３个解u １,u ２,u ３,满足０＜ u １ ＜a ＜ u ３ ,b ＜i n f t ɪ[１２,１]u ２,i n f t ɪ[１２,１]u ３＜b ．参考文献:[１]HA N X ,Z H O US ,A N R．E x i s t e n c e a n dm u l t i p l i c i t y o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o r f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t h p a r a m e t e r [J ]．J o u r n a l o fN o n l i n e a rM o d e l i n g a n dA n a l ys i s ,２０２０,２(１):１５Ｇ２４．[２]H E N D E R S O NJ ,L U C A R．S y s t e m so fR i e m a n n ＧL i o u v i l l e f r a c t i o n a l e q u a t i o n sw i t h m u l t i Ｇp o i n tb o u n d a r y c o n d i t i o n s [J ]．A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n dC o m p u t a t i o n ,２０１７,３０９:３０３Ｇ３２３．[３]朱波,韩宝燕,刘立山．一类混合型分数阶半线性积分Ｇ微分方程解的存在性[J 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]．内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版),２０１９,４８(３):１９６Ｇ１９９．[１１]黄燕萍,韦煜明．一类分数阶微分方程多点边值问题的多解性[J ]．广西师范大学学报(自然科学版),２０１８,３６(３):４１Ｇ４９．[１２]K I L B A SA A ,S R I V A S T A V A H M ,T R U J I L L OJ J ．T h e o r y a n dA p p l i c a t i o n so fF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s [M ]．A m s t e r d a m :E l s e v i e r ,２００６．[１３]J I A N G W ,WA N GB ,WA N GZ ．T h e e x i s t e n c e o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o rm u l t i Ｇp o i n t b o u n d a r y va l u e p r ob l e m so f f r ac t i o n a l９１ 褚丽敏,等:一类非线性项带导数的分数阶微分方程边值问题正解的存在性和多解性徐州工程学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年第２期d i f fe r e n t i a l e q u a t i o n s[J]．P h y s i c sP r o c e d i a,２０１２,２５:９５８Ｇ９６４．[１４]白占兵．分数阶微分方程边值问题理论及应用[M]．北京:中国科学技术出版社,２０１３．[１５]G U O D,L A K S HM I K A N T HAM V．N o n l i n e a rP r o b l e m s i nA b s t r a c tC o n e s[M]．S a nD i e g o:A c a d e m i c p r e s s,１９８８．(责任编辑㊀崔思荣)E x i s t e n c e a n dM u l t i p l i c i t y o fP o s i t i v e S o l u t i o n s f o rB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m s o f aC l a s s o fN o n l i n e a rF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sw i t hD e r i v a t i v e sC HU L i m i n１,２a,HU W e i m i n２a,２b,S U Y o u h u i１(１．S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s,X u z h o uU n i v e r s i t y o fT e c h n o l o g y,X u z h o u２２１０１８,C h i n a;２．a．S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s;b．I n s t i t u t e o fA p p l i e d M a t h e m a t i c s,Y i l iN o r m a lU n i v e r s i t y,Y i l i８３５０００,C h i n a)㊀㊀A b s t r a c t:T h e c o r r e s p o n d i n g G r e e n＇s f u n c t i o na n d i t s p r o p e r t i e sa r eo b t a i n e db y c a l c u l a t i o n,a n dt h e n t h ee x i s t e n c e o f o n e a n d t h r e e p o s i t i v e s o l u t i o n s t o t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m a r e o b t a i n e d b y G u oＧK r a s n o s e l＇s k i i＇s f i x e d p o i n t t h e o r e ma n dL e g g e t tＧW i l l i a m s f i x e d p o i n t t h e o r e m．A n e x a m p l e i s g i v e n t o i l l u s t r a t e t h e r a t i o n a l i t y o f t h e c o n c l u s i o n．K e y w o r d s:f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s;G r e e nf u n c t i o n;b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m;f i x e d p o i n t t h e o r e m０２。
一类泛函微分方程边值问题的多重正解
７６ ３
工 程 数 Nhomakorabea学 学
报
第 ２ 卷 ４
妒３ ≯３ （） （ ， ， ）且 ｌ Ｊ
（） ３。假设算子 ： 丽 ，
一 Ｐ 全连续，３， ｃｄ∈Ｒ１ 满足 ０＜
ｃ＜ ｄ＜ ｅ ． 当 ０ ｋ １ ，ｓ ． ｔ ，Ｙ∈卯 ，）时 ，有 妒 幻） ｅ （ 妒（） ３；且满 足 下列条 件 ：（ ， ｉ ） （ ， ｅ ’ ｅ；（） （ ，＜ ｄ ＶＹ∈ａ 妒 ｄ；（ｉ ≯ Ｃ ，且 ≯ ３ ３ ）＞ ，ＶＹ∈ （ ） ｉ 妒 ３ ， ｉ ） ， Ｐ（ ，） ｉ）Ｐ（，）≠ ｉ （ ， ）＞ ｃ ＶＹ∈ａ ≯ｃ。则 Ａ 至少存在两个 不动 点 Ｙ，２∈ ， Ｐ（，） ｌＹ ｃ Ｐ，满足 ｃ＜ ≯ ） 妒（１ ＜ （１， ３） ， ｄ＜妒（２， （２ ＜ｅ ３） ３） 。 ， ，
设 Ｐ 是实 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空间 Ｅ 中的一个锥 ， ： 一 『， Ｐ ０＋∞）连续 ，对 Ｖ ｄ＞ ０记 Ｐ（ ｄ ，）＝
｛ ∈Ｐ ｌ （） ） （ ，） ∈Ｐ Ｉ （） ｄ ，ａ （ ，） ∈Ｐ ｌ （） ） ＜ｄ ，Ｐ ｄ ＝｛ ） Ｐ ｄ ＝｛ ＝ｄ 。
３ 主 要 结 果
设 Ｇ（ ｓ 是 Ｆ ｔ） ， 列二阶微分方程边值 Ｉ越 的 Ｇｒｅ 司 ｅｎ函数
ｆ一 ） ， ３（＝０ ，￡ ｔ 【１ ∈０ 】 ，， ｛ａ（ 一 （ ＝０ ｙＯ 励，） ， ） ０
（ ２
【７（ ＋ｙ１＝ ． Ｙ ） ５（ ０ １ ，）
即
Ｇ ｓ＝ ，，
分类号： ＡＭＳ２０ ） ７ ０； ７ １； ４ １ （００ ４Ｈ ７ ４Ｈ ０ ３Ｂ ８
中图分类号： ７ ． ； １５１ Ｏ１７９ Ｏ ７． １ ５
一类泛函微分方程周期解的存在性及其表达式
（ ．Ｉｓｔｔ ｏ ｔｅ ａｉ ， ｉｎＵ ｉｒｉ ， ｈ ｎｃｕ ３０ ２ ｈｎ ； １ ｎｔｕｅ ｆＭａｈｍ ｔｓ Ｊｌ ｎ ｅ ｔ Ｃ ａ ｇｈ ｎ１０ １ ，Ｃ ｉａ ｉ ｃ ｉ ｖ ｓｙ ２ ｏｌ ｅｏ Ｍａｈｍ ｔｓ Ｂ ｉｎ ｎ ｅ ｉ ， ｉｎ１２ １ Ｊ ｉ Ｐｏｉｃ ， ｈｎ ； ．Ｃｌｇ ｅ ｆ ｔｅ ｉ ， ｅ ａ Ｕ ｉ ｒｔ Ｊｌ ３０ ３， ｉｎ ｒｖ ｅ Ｃ ｉ ａ ｃ ｈ ｖ ｓｙ ｉ ｌ ｎ ａ
摘 要 ：利 用 周 期 解 配成 恰 当微 分 方 程 产 生 法 ，给 出一 类 泛 函微 分 方 程 周 期 解存 在 的充 分 条 件 ，并利 用分 步 求解 法给 出 了相 应 的周 期解表 达 式．
关 键词 ：周 期解 ；恰 当微 分 方 程 ；分 步 求解 法
中 图分 类号 ：０ ７ ．３ １５ １ 文 献标 识 码 ： Ａ 文章 编号 ：１７ －４ ９ ２ ０ ） ４０ ６ －４ ６ １５ ８ （ ０ ８ ０ －６ １ ０
Ｋ ｙ ｗｏ ｄ ：ｐ ｒ ｄｃ ｓｌｔ ｎ；ｅ ａ ｔｄｆ ｒｎｉｌｅ ｕ ｔ ｎ；ｆａ ｔ ｎ ｌｓｅ ｔｏ ｅ ｒ ｓ ｅｉ ｉ ｏｕｉ ｏ ｏ ｘ ｃ ｉ ｅｅ ｔ ｑ ａｉ ｆ ａ ｏ ｒｃｉ ａ ｔｐ ｍｅｈ ｄ ｏ
泛 函微分方 程
（） ＝一厂． ｔ ，７ｔ ） ｔ ． １ ） ． 一１ ） （７ （ １ （
３ ｉ凡Ｐｏｉ ｅＥ ｏｏ ｃ ａ ｄＭａ ｇ ｍ ｎ ａｒ ｏｌ ｅ ｈ ｎ ｃｕ ３０ ２ ｈｎ ） ．Ｊ ｌ ｒ ｎ ｃｎｍｉ ｎ ｎ ｅ ｅｔ ｄｅ Ｃ ｌｇ ，Ｃ ａ ｇｈ ｎ１０ １ ，Ｃ ｉａ ｌ ｖｃ ｓ ａ Ｃ ｓ ｅ
一阶脉冲微分方程解的存在性及稳定性
一阶脉冲微分方程解的存在性及稳定性王军霞;王晓【摘要】脉冲微分方程广泛地应用于理论力学、化学、生物学、医学、控制理论等诸多学科领域.近年来脉冲泛函微分方程解的存在性及稳定性的研究受到了越来越多的研究者的重视,普遍的方法是利用李亚普诺夫泛函方法和比较方法.利用迭代分析方法获得了一类非线性脉冲微分方程解的存在性和稳定性,结果表明,所讨论问题的解与时滞变量和脉冲条件密不可分.【期刊名称】《南阳师范学院学报》【年(卷),期】2010(009)012【总页数】5页(P11-15)【关键词】脉冲;时滞;存在性;稳定性【作者】王军霞;王晓【作者单位】中国地质大学(武汉)数理学院,湖北,武汉,430074;中国地质大学(武汉)数理学院,湖北,武汉,430074【正文语种】中文【中图分类】O177.2一阶非线性脉冲泛函微分方程解的存在性及稳定性近年来已引起众多研究者的重视,文献[1]利用逐点分析及不动点定理得到了脉冲泛函微分方程(1)(2)(3)解的存在性结果.文献[2-4]中利用迭代分析法获得了一类偏泛函微分方程平凡解的稳定性结果.本文将这种方法应用到一类非线性脉冲微分方程解的存在性及稳定性的研究,并得到了相应的存在性及稳定性结果.考虑以下问题:假设X是一个Banach空间,xt=x(t+θ),-r≤θ≤0.我们记函数空间PC([-r,∞),X)={x|x(t)在t≠tk时连续并且在t=tk时左连续且右极限存在,,令PC=PC([-r,∞),X),对于φ∈PC,我们取以下是基本假设:H1)t0<t1<t2<…<tk<…,k=1,2,…H2)f:R+×PC→X连续,且f(t,0)=0,对于φ1,φ2∈PC,以下的不等式成立:其中,P(t,x1,x2)>0是连续函数,且关于x1,x2单调非减;连续,Ik(φ(0))=0,Ik(0)=0,存在qk>0使得其中,级数收敛,我们记而且假设0<Q<1成立;H4)存在一个对于第二个变元单调非减的函数F∈C(R+×R+,R+)使得H5)存在h(t,α)∈C([-r,∞)×R+,R+)使得对于每一个确定的α≥0,h(t)∶=h(t,α),以下不等式组成立:其中,ht=sup-r≤θ≤0h(t+θ),δ=1-Q.定义1 函数x(t)称为问题(1)(2)(3)的解,如果x(t)满足以下条件:(1)当-r≤t≤0时,x(t)=φ(t),当t≥0,t≠tk(k=1,2,…)时,x(t)连续;(2)当t≥0,t≠tk(k=1,2,…)时,x(t)满足(1)且连续可微;(3)均存在,同时满足(2).定理1 如果f:R+×PC→X连续,则脉冲初值问题(1)(2)(3)的解x(t)满足下列积分方程:其中,当t+θ≤0时,xt(θ)=φ(t+θ).证明当t∈[t0,t1],在此区间上没有脉冲作用当t∈(t1,t2],我们令在区间(t1,t2]上考虑柯西问题(1)(5),我们有在区间(t2,t3],(t3,t4],…上重复以上的步骤很容易得到(4)成立.定理2 若假设条件H1)～H5)成立,则问题(1)(2)(3)存在唯一的全局解x(t)且有以下不等式成立证明取则对于t∈[-r,0]有对于t≥0,由于Ik(φ(0))=0和x(0)(t)=φ(0),可得由假设条件H2)和H4)我们可得到因此可得或我们定义以下的迭代格式:当j=1时,对于t≥0,由(7)可得对于t∈[-r,0]有因此我们可得或假定对于任意的正整数j,以下不等式成立:则由迭代格式的首个等式可得利用数学归纳法我们可得不等式(8)成立.接下来我们证明:对于任意固定点T＊>0,序列{x(k)(t)}在区间[0,T＊]上是一致收敛的.当0≤t≤T＊时,我们有又因为h(t),P(t,ht,ht)均是连续函数,因此对于t∈[0,T＊],存在常数M>0,N>0有≤M.结合不等式(9)有显然也有同理有按照以上步骤,我们可以由数学归纳法易得以下不等式成立:综上所述,函数序列{x(j)(t)}在区间[0,T＊]上一致收敛,我们设其极限为x(t),即显然x(t)是问题(4)的解.现在我们证明x(t)是唯一的.假设y(t)是(1)(2)(3)的另外一解且‖yt‖PC≤ht,则当0≤t≤T＊时,由(7)和(10)同理也有由数学归纳法易得同样也可得到由于无穷级数是收敛的,因此我们有从而可得所以我们有x(t)≡y(t),唯一性得证. 由假设条件H2)和H3)可知x(t)≡0是(1)(2)(3)的一个解,这个解我们称其为问题(1)(2)(3)的平凡解.定义2 问题(1)(2)(3)的平凡解被称为(s1)稳定的;如果对于任意的ε>0,存在某个使得对于和问题(1)(2)(3)的任一解(s2)渐近稳定的;如果(s1)成立且η与ε无关,即存在某个使得对于且定理3 如果定理1的假设条件成立,且同时有则问题(1)(2)(3)的平凡解是稳定的.更进一步,若对于足够小的常数α>0则问题(1)(2)(3)的平凡解是渐近稳定的.该定理的证明很容易由(6)式得到,故在此忽略.【相关文献】[1]BenchohraM,Henderson J,Ntouyas S K,Ouahab A. Impulsive Functional Differential Equations with Variable Times[J]. Computers and Mathematics withApplications,2004,47:1659-1665.[2]HeMengxing,Liu Anping,Ou Zhuoling.Stability for large systems of partial functional differential equations:iterative analysis method[J]put,2002,132:489-503.[3]HeMengxing.Global Existence and Stability of Solutions for Reaction Diffusion Functional Differential Equations[J].J. Math.Anal.Appl.,1996,199:842-858.[4]HeMengxing and Luo Ronggui.Asymptotic Behavior and Convergence of Solutions of a Semilinear Transport Equation with Delay[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2001,254:464-483.[5]申建华.脉冲积分微分方程的几个渐近稳定性结果[J].数学年刊:A辑(中文版),1996(6):753-758.[6]申建华,戴祥斌.非线性时滞差分方程的全局稳定性条件[J].湖南师范大学学报:自然科学版,1998(3):1-6.[7]郭大钧.非线性泛函分析[M].济南:山东科学技术出版社,2003.[8]王明新.非线性抛物型方程[M].北京:科学出版社,1997.。
一类三阶泛函微分方程周期解的存在性
Ｉ ＝ ａ｛ Ｉ ， Ｉ ， Ｉ ， Ｉ ｝ Ｉ ｍｘ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ
Ｙ＝｛ ∈ Ｃ Ｒ， ， ｔ ７ ＝ ｔ，Ｖｔ Ｉ （ Ｒ） （ ＋２ｒ （） ∈Ｒ｝ ）
＝Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ
（） ２
（） ３
显然 ， Ｙ均为 Ｂｎｃ 空间。在 Ｘ上定义算子 ： Ｘ， ａａ ｈ
彭向阳教授推荐 收稿 日期：Ｏ７年 ｌ ３ ２Ｏ Ｏ月 ０日
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一
类三阶泛 函微分方程周期解 的存 在性
８ ３
Ｘ＝｛ Ｉ Ｃ （ Ｒ） （ ＋２ｒ ＝ ｔ， ∈Ｒ｝ ∈ Ｒ， ， ｔ ７ （） Ｖｔ ）
定义范数为 ： 定义范数为 ：Ｉ Ｉ
１ 引 言及 引理
考虑三阶泛函微分 方程 ：
’ ｍ
（） ｔ ＋∑０ “ （ ） ６ ｔ ｌ ’ｔ ＋ （ —ｔ） ＋
（ ｔ ） ＝Ｐ ｔ （ 一 ） （ ）
（） １
的２ 周期解的存在性。其 中 ｒ ＝ 。 ０ ａ（ 一１２ ， ｉ ０ １２ …， 为常数 ， （ ＝１ 丌一 。 ｄ ＝ ， ｉ ，）ｂ（ ＝ ，，， ｍ） ｉ ，
ｌ
Ｕ
ｌ ＝ Ｕ
易得 Ｋｒ ＝ ， Ｌ Ｉ ， （）ｔ ０ ｅ Ｒ Ｉ ＝｛ ∈Ｙ ｌ ￡ｄ： ｝ Ｌ ｍ
Ｊ ０
．
因此 是指标为零的 Ｆ ｄｏ ｒ ｈｌ ｅ ｍ算子。令投影算子 Ｐ， Ｑ为
Ｐ： － ｘ－ ￣Ｋｅ ， ｒ ＝ ｙ， ＝
则 Ｉ ｍＰ＝Ｋ ｒ Ｋ ｒ ｅＬ，ｅＱ＝Ｉ 。 ｍＬ
令 ＝Ｌ 毗 ） ， ｎ 易证 是可逆的， Ｉ 且其逆
： ｌ — Ｄ（ ｎＫ ｒ ｈｌ ） ｅＰ
ｙ￡ ￡＋ ＝ ＋￡ ３ ２
一类二阶中立型泛函微分方程周鞋解的存在性
的周 期解 的存 在 性 ， 中 ＞０，ｃ ≠１ ∈Ｃ（ 其 １ ｌ ， ｌ Ｒ×
，
Ｒ） ｇ∈Ｃ Ｒ× Ｒ） ｒ∈Ｃ（ Ｒ）Ｐ∈Ｃ Ｒ， 且 ， （ Ｒ， ， Ｒ， ， （ Ｒ）
／ｔ ， ／ｔ ， ｔ ， ＋Ｔ ）＝ ， ｇ（ ＋Ｔ ）＝ｇ ｔ ， （ ＋ ） ） （， ｒ ｔ ）
的周 期解 ， 中 ｒ 其 ≥０， ≥０，ｃ ＜１ｇ∈Ｃ（ ×Ｒ， ｌ ｌ ， Ｒ
Ｒ ， ） Ｐ∈Ｃ（ Ｒ） ｇ ｔ ， Ｒ， 且 （ ＋Ｔ ）＝ （ ， ， （ ＋ ｇｔ ）Ｐ ｔ ）＝ ｐ
（ ｔ （ 一 ） ＋ （ ， ｔ ） ）＝ （） （ ） （）一 ｔ ） ｇ ｔ （ — ） ｐ ｔ ２
— ｙ是指 标 为 零 的 Ｆｅｈｌ 算 子 ， ｃ 为有 界 开 ｒｄｏ ｍ 集 ， — ｙ在 上 是 一紧 的 ， 果 下 列 条 件 成 Ⅳ： 如
立 ，
２０ ＳｉＴ ｃ． ｎｎ ． ０７ ｃ． ｅｈ Ｅ ｇｇ
一
类二阶中立型泛 函微分方程 周期 解 的存 在 性
秦 发金
（ 四川大学数学学院 ， 成都 ６ ０６ ； １ ４ 广西柳 州师范高等专科学校数学与计算机科学系 ， ０ 柳州 ５５ ０ ） ４ ０ ４
摘
要
利用重合度理 论和更精确的先验估 计， 讨论 了一类二 阶中立型泛函微分方程周 期解的存在 性问题； 在更 弱的条件下 二 阶中立型泛函微分方程 周 期解 存在 性 重合度理论
在 不满足 【 （ ｄ＝ 及ｇｔ ） Ｐｔ ｔ ０ （， 满足Ｌ ｓ ｉ 的 ） ｉ ｃ ｔ 条 ｐ ｈｚ
Ｊ ｕ
一类中立型泛函微分方程的概周期解的存在唯一性与稳定性
Ｄ ， （ 一 ＿Ｊ ＿ ｘ一 ￡ ） 去１∞ ｅ ‘ ．一 厶
（）ｓ ｓｄ ，
一 ． ￡ 当 一 时 ， ｔ ０ Ｄｘ ，
都无 法 满足 此 条 件 的要 求 ．事实 上 ， 取 （） ｉ￡ 于是 Ｄｘ一 ￡一ｓｎ ， ，
一
而 （） ｓ 一 ￡一 ｉ ｎ
Ｉ ￡ｌ （） ≤ ｌ Ｉ Ｄｘ
ｒｒ
（ ∈ Ｒ） Ｖｔ ，
其中 Ｄ （） ｌ Ｂ ￡ｓｘ ｓｄ． ｘ一 ￡一 （， （ ｓ 此条件既荷刻且又十分难 以验证． ） ） 因为在一般情况下 ， 此
条件 是 无法 满 足 的 ， 非在 Ｂ（，） Ｏ的特 殊情 况下 ．例 如 ， 常 简单 的算子 除 ￡ｓ三 非
（） １
其中 ｔ ∈Ｒ， ∈Ｒ ， Ａ（） Ｂ（，） Ｃ（，） ， ２ 续 函数 矩 阵 ， ￡ 是 Ｒ 到 上 的连 续 函 ｚ 而 ￡ ， ￡ｓ ， ｔｓ 为 ２ 连 ×， ，（） 数 ． Ｃ ］ Ｂ（，） Ｏ且 一１的情 况 下 ， 文 １在 ￡Ｓ三 研究 式 （ ） １ 的周 期解 的存 在性 问题 ．文 ［ ，］ Ｂ（， ２３在 ￡ Ｓ 三 ０的情 况 下 ， 究 式 （ ） 概 周 期解 的存 在 性 问题 ．文 （ １ 究 式 （ ） 概 周 期 解 的 存 在 ） 研 １的 ４研 １的 性、 唯一 性 、 定性 等 问 题 ， 它需 要 的条 件 为 （ ） 在 常数 ｍ＞０ 使 得 稳 但 Ｈ。存 ，
第 ３期
王 全 义 ： 类 中 立 型 泛 函 微 分 方 程 的 概 周 期 解 的存 在 唯 一 性 与 稳 定 性 一
２３ ２
１ 主 要 结 果
对 于方 程 （ ） 假 设 下 述条 件 ： １， （ ）Ａ（） ｔ Ａ。 ｆ是 的概 周 期 函数 矩 阵． （ ，＋Ｓ ， ｆｆ 关 于 ｔ ｆｆ ）Ｃ（，＋ ） 对 ∈Ｄ。Ｄ。 Ｒ 中 的任 一 （ 为 紧子 集 ） 是 一 致 概周 期 函数矩 阵 ． （） ｔ ， ｆ ｔ是 的概 周 期 函数 向量 ． （ Ａ ）概 周期 函数 ｂ ｆ 的平 均值 （）
一类具有分布时滞的p-Laplacian中立型泛函微分方程周期解的存在性
２ 存 在 常数 ｒ ） Ｉ＞０ ｒ ，２＞０ ｍ ＞０和 ｄ≥ ０， 得 ， 使
（） 。“ ≤ ｇ ／ ≤ ｒ ｌ Ｉ， ／ ＞ｄ ｉ ｒＩｌ （， ） ｕ Ｖ Ｉ ｌ ； ，
（ｉ ｇ Ｈ ＞０ （ ｕ （， ｉ ）ｕ （ ） 或 ｇＩ １ ）＜０ ， １Ｊ ； ） Ｖ Ｉ ＞ｄ １ ，
３ 存 在 常数 ｓ ＞０ 使 得 ） ，
【 （）Ｉ＋ｄ２ 一 ＋ ６］ ） 一 ｔ Ｊ
Ｄ ＝
【’）卢 ｚ ＞ ［二ｔＩ＋ｄ ＜… （ ＋Ｉ ） ’ ｒ卢 。 】 ｍ 。（ Ｊ ． Ｊ
４） 卜歹 条 件 之 一 成 立 ： Ｕ
ｃ ＝・ ｐ， ｉ 一旦 』 ， ｎ
其 ， ｆ． 中 ＝ １
、Ｘ２Ｉ
再将 方程 （ ）改为下 列形式 ２
ｒＡ 。 （）＝ （ｚｔ ）＝ ｌ （） （ｘ ） ｔ （） ｔ
（） ｔ
㈤ ：－ ） （） ｃ（ 一 ） 厂 （ （ ｃ） ）『 ） ｇ０
．
）ｅ ）（ ＋
其 中 ， ＋一 ：１ 得 出 ￡ １ （）： （ （） （ ） 是方程 （ ）的一个 周期 解 ， ．￡ ， ￡ ） ３ 则 。ｔ 是方 程 （ ）的一个 （） ２
ｃ ｎ中立 型泛 函微 分 方程 ｌ ａ
（，（ 一 ￡ ｏ） 十 （ ） ￡＋ （ ｆ ｓ ｍｓ ＝ （ （ ￡ ｃ 一９ （ ｇｆ ＋） （ ） ｅ ） ， ） （ ） ） （ ｄ ）
（ １ ）
的周期 解 的存 在性 问题 ， Ｐ＞ 在 ２的条 件下 ， 用 重 合 度理 论 获 得 了方程 （ ） 少存 在 一 个 周 期解 的充 分 利 １至
从 而推 广 和改进 了文献 ［ ］的相 关结 果． ５
１ 准 备 知 识
一类具有多个变参数的中立型泛函微分方程的反周期解的存在性
ｎ ｕ ｒ ｌ ｕ ｃｉｎ ｌ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌ ｑ ａｉｎ ｗｉ ｌ ｐ ｅ ｖ ｒ ｂ ｅ ｐ ｒ ｍｅｅ ｓａ ｄ ｄ ｌｙ ｙ ｍｅ ｎ ｆＬ ｒｙ ｅ ｔ ｎ ｔ ａ ｆ ｒ ｎ ｉ ｕ ｔ ｔ ｍｕｔ ｌ ａ ｉ ｌ ａ ａ ｔ ｒ ｎ ｅ ａ ｓｂ ａ ｓｏ ｅ ａ ・ ａ ｆ ｏ ｄ ｆ ａ ｅ ｏ ｈ ｉ ａ Ｓ ｈ ｕ ｅ ｘ ｄ ｐ ｉ ｔ ｈ ｏ ｅ ． Ｓ ｍｅ ｓ ｆ ｃｅ ｔ ｏ ｄｔ ｎ ｏ ｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｎ ｉｐ ｒｏ ｉ ｓ ｌ ｔ ｎ ａ ｅ ｃ ａ ｄ ｒｆ ｅ ｏｎ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｏ ｕ ｉｎ ｎ ｉ ｏ ｓｆｒｔ ｘｓｅ ｃ ｆａ ｔ－ ｅ ｄ ｃ ｏｕ ｉ ｒ ｉ ｃ ｉ ｈ ｉ ｏ
徐 建 中 ， 宗福 周
（． １毫州师范高等专科学校 数学系 ， 安徽 亳州 ２６ ０ ２ 安徽大学 数学科 学学院 ， ３ ８０； ． 合肥 ２ ０ ３ ） ３０ ９
摘
要： 应用 Ｌｒｙ Ｓ ｈｕ ｅ 不 动点定理 ， ｅ － ｃａｄｒ ａ 讨论 了一类具有 多个变 时滞 和变参 数 的ｐ Ｌ ｐａ ｎ中立型 泛 函微分 － ａｃｉ ａ
泛 函微分 方程 的周期 解一 直是 广大 科研 工 作 者感 兴 趣 的话 题 ， 已经 取得 了许 多 丰硕 的成 果 （ 文 现 见 献 ［— ］ ， １ ４ ） 而泛 函微分方 程 的反周 期现象 也广 泛存 在 于各类 数学 和物理 问题 中． 近年来 ， 大家 对泛 函微分
方程的反周期解也给予了广泛 的关注（ 见文献［ — ］ ， ５ ８ ） 但是研究具有多个变时滞和变参数的 Ｐ Ｌｐａ ｎ — ａｃｉ ａ 中立 型泛 函微 分方 程 的反 周期 解存 在性 的文 章还很 少见 ， 于文献 ［— ］本 文考 虑 了一类 具 有多 个 变时 基 ６７ ，
一类泛函微分方程多个周期正解的存在性
第５ 第期 ２卷 ２
２ ０ 年０ 月 ０８ ４
工
程
数
学
学
报
Ｖ１２ Ｎ ． ０ ５ ｏ２ ．
Ａｐ ． ０ ８ ｒ ２０
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ Ｅ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
，ｔ ＋
Ｔｙ ） ／ Ｇ （ｓ （ ｓ ｓ） ￣（ ＝ ，ｇｓ （— （） ｓ ｔ ） ， ）ｄ
汁
ｓ
及
ｓ） ） ）
ｓ ｓ
ｓ） ｓ ）ｄ ）
Ｔｔ Ｊ Ｇ，ｓ —ｓｓ ｏＬ￣，—ｓｓ Ａ ＝／ ） ） ２ 夕 （ （ｄ ｙ ． （ｇ （ （ｄ ＇ （ｓ ）． （ ｔ （ｓ ） — ｊ ｓ ） Ｇ ， ） Ｌ Ｊ ） ） ｓ ＋ 一 （ １０ －
Ｔｙ ＋ ＝ ／ Ａ（ ） ｔ
， ＋ ｔ
＝
Ｇ （ ｓ （ ｓ （ ） ｓ ＋ ， ｇ ，（— ｓ ） ）ｓ ）ｄ
／ Ｇ （ｅ （，（— ） — （． ，） ｅｕｅ （ ） ｖ ）ｄ ）
另一方面，对 ∈ Ｋ， ∈［ ，有 ｔ ０ 】 ，
所 以
（ ）
Ｏ ￣ １ Ｏ
ｌ． Ｊ 训
因此 ， （ ｃ Ｋ。显然 ，据 Ａ ｚｌ Ａ ｃ ｌＳ ） ｒｅ － ｓｏｉ 定理 ， ａ ’
文章．－ ｌ０—０ ５２ ０ ）２０ ０—５ ￣ Ｎ： ５３ ８ （０ ８０—３ ２０ Ｏ
一
类泛 函微分方程 多个周期正解 的存在性木
武 跃 祥
（ 山西 财经 大 学 应 用 数 学 系 ，太 原 ０ ０ ０ ） ３ ０ ６
摘
要： 本文利用 Ｋｒｓ ｏｅ ｋｉ 映象 不动 点定理讨论 了某类一阶泛函微分方程周期正解的存在性 、非 ａｎ ｓｌ ｉ锥 ｓ
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又因 １ ｉｆ ｎ ｉ ｎ ｍ
，
（） ３
（ “ 【（ 口 ） ） １ 则存在常数ｒ＞ｏ ０ 使得ｇｆ ） （ 口ｆ ， ｆ ）厂“ （ ＞ ， ， ／ ） ｆ】 ２ ｒ＞ ， （ “ （ 其中ｕ ２ ， ） ｒ ，
， ∈ＰＮａ ， ＞０ 其中 ，而 ＝ ｕ ：ｕ＜２． ∈ Ｉ ｒ 否则， ｌｌ ） Ｉ 存
引理 １ ：设 Ｅ是 Ｂ ｎ ｃ ａａ ｈ空 间 ， 尸是 Ｅ中的一个锥 ，
∈ Ｐ，有Ｕ ０ ＝ ．
Ｐ是 全连续 算
假设 ２ 以ｆ （ ： （ ）、 ｆ ）、ｇ ｆ 都 是 周期泛 函 ， 为 一大 于零 的常数 ， ｆ ｘ 为有 界泛 函． （ ） ， （）
是 Ｅ中的有 界开集 ，Ａ： Ｐｎ
（ ） ） ｌｍＩ ｘＩ ６ ｝ 所以 ， （ ） （ ｐｉ ｆ Ｉ ｌ ｆ － Ａ ＝ ， Ｐ ｃＰ．
下面证 明定理 １ ．
证 明 ：由于 ｌ ｉｆ ｎ （“ ［ （ ） ， ｉ ｎ ｆ ）厂 ，／ ｆ ＞１ 则存在常数ｒ＞ｉ ，使得ｇｆ ） ｆｕａｔ ］ ｏ， ＞０ （“≥ （）（ｕ，其中 ， ）
（ ｅ ａｔ ｎ ｆ ｔｅ ｔ ｓ ｎ ｈ ｓｃ， ｈ ｎ ｚ ｏ ｓ ｔｔ ｆ ｒｎ ｕｉａ ｏ ｄ ｓ ｙＭａ ａｅ ｎ， Ｄ ｐｒ ｍｅｔ ｈ ｍａｉ ｄＰ ｙ ｉｓＺ ｅ ｇ ｈ ｕＩ ｔｕｅｏ ｏ ａ ｔ ｌ ｆ ｎ ｕｔ ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｏ Ｍａ ｃａ ｎｉ Ａｅ ｃ Ｉ ｒ
Ｚ ｅｇ ｈ ｕ４ ０ １ ， ｈｎ ） ｈ ｎ ｚ ｏ ５ ０ ５ Ｃ ｉａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｂｙ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ｆｘ ｄ ｐ ｉ ｔ ｉ ｄ ｘ ｔ ｅ ｒ ｍ ｆｃ ｎ ，ｔ ｅ ａ ｔ ｏ ｓ ｓｕ ｙ ｔ ｅ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｅ ｅ ａ ｅ ｉ ｄ ｃ ｓｎ ｈ ｅ ｏ ｎ ｎ ｅ ｈ ｏ ｅ ｏ ｏ ｅ ｈ ｕ ｈ ｒ ｔ ｄ ｈ ｘ ｓｅ ｃ ｆ ｓ ｖ ｒ ｌｐ ｒｏ：一类泛函微分 方程 多解的存在性
。９ ３ ５’
且 “ｆ满足方程 （） （ ） １，则 称 （ 为方程 （） ｆ ） １的解 ；若 在 （， 上 ｕｔ＞０，则 称 “ｆ为方程 （） ０ （ ） （ ） １的正解 ．
２ 主要 结果
定 ： 假 成 且姆 ｉ ｆ （ ） （ 】 １ ｉ 氍 （ ） 以 ＞， 理Ｉ若 设２ 立， ｎＥ ｆ ／ ）ｆ ｝ ， ｎ ｆ ／ ）ｆ】 １ Ｉａ ， ［ ＞ Ｉ ｍ 【 ｉ “厂 ，［ （ ｝ “厂 ）
一
类泛函微 分方程多解 的存在性
金 爱云 ，王 东晓 ，毛 北行
（ 郑州航 空工业 管理 学院 数 理 系，郑 州 ４ ０ １ ５ ０ ５）
摘
要： 利 用锥 上的 指数 不动 点 定理 研 究 了一 类 泛 函微 分 方程 ｊ（ ＝－ （ ｆ ｘｔ （ ） （ ＋ｇ ｔ （—ｆｆ ） ｃｆ ａｔ （（—ｆｆ ） ｆ （ ｘｔ （ ） ，） ） ） ） ， ）
的 多个周期 解 的问题 ，得 到 了这类 方程 至少存在 两个周 期解． 关键 词： 泛函微 分方程 ；周期 解 ；雏 ；不动点 定理
中图 分类 号 ：０ｌ ５６ ７． 文献 标 志码 ：Ａ 文 章 编号 ： １ ７ — ３ ６２ １） ５ ０ ９ － ３ ６ ４ ３ ２ （０ １ ０ — ３ ４ ０
在 ∈尸ｎａ ， ＞０， 得 ＝如 十 岛 使 ． 令 ＝ｍｉ ￣ ， 对 ∈ 有 ｆ （ ） ＋ 』 （ ） ｎｔ （ 则 ｆ ｘ） ， （＝ （ ＝ ａ， ） ｆ ） ｔ
旭
ｇ，（ ） ≥ Ｇ，厂 （ ） （ ） ＋ （ （） ｓ 一 ｓ） 出＋ ｆ ）（ （） （ ） 一 口） 一 （ ）
第２ ８卷
第 ５期
新 乡学院学报 ： 自然科 学版
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｉｎ ｉｅｓｔ： ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ Ｘｉｘａ ｇＵｎｖ ｒｉ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥ ｉｏ ｏ ｙ Ｓ ｉ
２１年 ｌ ０１ ０月
Ｏｃ ． ０１ ｔ２ ｌ
、０ ＿ ８ Ｎｏ ５ ，ｌ ２ ．
（ ＝－ （ｆ ｘｔ ｆ）（ ＋ｇｔｘｔ （） ｆ ａｔ （（一 ） ｆ （ （— ｆ） ） ） ） ） ， ） 的多个 周期解 的存在性 ， 中 ａｔｅＣ ，Ｏｏ ） 厂∈Ｃ 【，ｏ，Ｏｏ ） （ ∈Ｃ ， ） ｇ 其 （ （ （，ｏ ， ） ） （ ｏ （，ｏ ， ｆ （ ， ∈ ０ ） ） ） 并且 口ｆ （ ）、ｒｔ （ ）、ｇｔ 都是 周期泛 函 ，并得到 了这类方 程至少 存在 两个周 期解． （ ） ，
，
ｎ 】
如果 存在 ｒ＞０，使 得 ｏ ｇ ｔ ＜ｒｏ （ （ ） ／ ， 对任 意 的 ０ ｒ） ， ｔ ≤ｕ ｏ ， （） ２
这里 ＝ｏ￣ ， ｒ ， 【 （ Ｊ 则方程（ 至少有两个正解． ＸＯ １ ）
若证 明定理 ｌ ，首 先 ，我 们指 出方 程（） １的 周期 解 即为积分 方程 （ ＝ ｆ ） Ｇ（ ｓｇｓｘｓ ） 的 ｆ ）（，（— （） ， ）
，
Ｕ
ｔ ｏ 埘ｌ ＥＩ 。
０ ，，因此 ，如果 ∈Ｐ，且 ８ ｆ ｉ ≤ｕ ｉ ｘＩ ，则 有 ｘｔ≥ ． ＝， （ ）
令 】 三１ Ｉ ｆ ，对 ｔ ，则有 ｘ 十 ，其 中 ， ｌ ∈ ≠ ∈Ｐ 码 ， ＞ Ｎａ ０，而 ＝ ｕ ： Ｉ， ． ｛ ∈ Ｉ ｉ 否则 ，存 ＜）
子； ） １如果 Ｉ Ｉ ｌ ｕ Ｐｎ ，则不动点指数 ｆ ， ｎ ， ） ｌ ２如果 Ｉ “＞ Ｕ ，Ｖ ∈ＰＮａ ， ｌ ｌ Ｉ ＜ ，Ｖ ∈ ａ （ Ｐ Ｐ＝ ；） ｌ ＩＩ ｕ １０
全连 续算子 ；若 Ａ ｕ≠２ ， １ ∈Ｊｎａ ，则不 动点指 数 ｆ ， ， ＝ｌ ｕＶ ，Ｕ ｐ （ Ｐｎ ；若 ｕｔｅＣ ［， ， ， ｏ （ （ 叫 ［ ＋ｏ） ） ０ ０ ），
ｔ［ ，， ｅ０ａ ｌ
空 定义Ｅ 的 间． 上 算子ｘ Ａ ， ： ｘ 其中（ （＝ ．６ｔ） ｓ （ ） ∈ ． ）） ｆｄ （ｓ （ｘ —（） ｆ ｔ ，ｇ ，ｓ ） ￣ ｌ ， Ｅ
令Ｐ 扛∈ ： ｔ ０ ｘｔ Ｕ ， ［ 叫｝ ＜ ｍｎ １ 且ｍ＝ ｉ Ｇｔ ）０ ｔ ＞ ， ＝ Ｅ ｘ） ，且 （ ￣ｘ ｔ ０ ，０ ＝ ／＜ ， （≥ ） ｌＥ ， ｍｎ （ ：≤， ｛ ， ≤ ０
０ 引 言
泛 函微分方 程 的周 期解 问题 一直 是人 们广泛 关注 的问题 ［ ，文献 ［］ １ 】 ４证明 了方程 ） 口ｆ ） （ ＝— （ ｆ＋ｇｆ ） ，
ｘｔ （ ）有一 个正解 ．在本文 中 ，笔 者将 利用锥上 的不 动点指数 定理 研究一类 一 阶泛 函微 分方 程 （— ｆ ） ）
ｆ ｒ ｈ ｘ ｓｅ ｃ ｆ ｔｌａ ｔｔ ｅｉｄ ｃｓ ｌｔｏ ｓｔ ｕ ｈｅ ｕ ｔｏ ｒ ｂ ａｎ ｄ ｏ ｅｅ ｉｔｎ ｅｏ ｓ ｔ ａ ｅ ｗｏｐ ｒｏ ｉ ｏ ｕｉｎ ｏｓ ｃ ｑ ａｉｎ ａｅｏ ｔｉｅ ．
Ｋｅ ｒ ｓ ｕ ｃ ｉ ｎ ｌ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌ ｑ ａ ｉ ｎ ｐ ｒｏ ｉ ｏ ｕ ｉ ｎ ｃ ｎ ； ｘ ｄ ｐ ｉ ｔ ｈ ｏ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ：ｆ ｎ ｔ ａ ｆｅ ｅ ｔ ｕ ｔ ； ｅ ｉ ｄ ｃ ｓ ｌ ｔ ； ｏ ｅ ｆ ｅ ｏ ｎ ｅ ｒ ｍ ｏ ｄ ａ ｅ ｏ ｏ ｉ ｔ
Ｔｈ ｉｔ ｎ ｅｏ ｅ ｅ ａ ｒｏ ｉ ｏｕ ｉ ｎ ｅＥｘ ｓｅ ｃ ｆＳ ｖ ｒ ｌ Ｐｅ ｉ ｄ ｃＳ ｌ ｔｏ ｓ ｆ ｒａＣｌ ｓ ｆＦｕ ｃ ｉｎａ ｆｅ ｅ ｉｌ ０ ． ａ ｓｏ ｎ ｔｏ ｌ Ｄｉｆｒ ｎｔａ Ｅｑｕ ｔｏ ａ ｉｎｓ
Ｊ Ｎ － ｕ ， ＡＮＧ ｎ － ｉｏ Ｍ Ａｏ ｉ ｉ ｇ Ｉ Ａｉ ｎ Ｗ ｙ Ｄｏ ｇ ｘａ ， Ｂｅ－ ｎ ｘ
收稿 日期 ：２ １．７１ ０ １ ．２ ０ 修 回 日期 ：２ １－９０ ０ １ —４ ０
基金项 目：河 南省教育厅 自然科 学基金项 目（０ １ １０ ０ ２ １Ｂ１０ ３ ） 作者简介 ：金爱云（９ ８ ，女 ，河北衡水人． １７ 一） 助教，硕士，主要从事非线性分析研 究． － ｉ ａ ｕ ｊ ＠ １３ ｏ Ｅｍａｌ ｉ ｎ ｉ ６ ． ｍ． ：ｙ ｎ ｃ
ｎ ｍ ｘ Ｇｔ ）０ ， ＝ ａ｛ （ ： ｔ ， ｓ ＞ ，易证 尸是 中的一个锥． ０
引理 ４ ：若假 设 ２ 立 ，则 （ ｃ Ｐ． 成
证 ： 任 的 ∈ ， 为０ｘ ｏ（ｘ －（） ， ）州 ｇ ， 一 ） 于 有 明 对 意 Ｐ 因 Ｌ ｌ ｓ （ ｒ） ｓ 且（ （． ） Ａ ｎ ，ｓ ｓ ａ ｇ ） ｃ ］ ） ， 是，
解， 其中Ｇｔ） ｅ ｆ （厂 一 ）ｄ／ｘｆ （厂ｘ 一 （） ｌ （ ＝ｘ （ ） ｏｅ （ ） 一】 ， ｐ ｎ） （ ） ［ｐ 口 ） （ ）ｄ ．
令 Ｅ＝ ｆ：（ ∈ｃ瓜 ） （＋Ｏ＝ （】 并定义 【 ｓｐ｛ （ ： ｝ 则 Ｅ是范数 Ｉｌ Ｂｎｃ ｛（ ｆ （ ， ， ｔ ｃ ｆ ， ） ） ｘ ） ） ＝ Ｉ ｕ ｌ ｔ ∈Ｅ ， ） ｘ １ 下的 ａａｈ ． Ｉ
（） １ ×０ ， ＇ ， ［ ［ ， ０
１ 相 关假设 与引理
为了证 明上 的需要 ，给 出如 下假设及 引理 ．
假设 １ ：设 是实 Ｂ ｎ ｃ 空 间 ， Ｐ是 的一 个非 空闭子 集 ， Ｐ为一个 锥 ，如果 Ｐ满 足 以下条件 ：１ ａ ａｈ ）
对任意的 、 ∈Ｐ，且 、 ≥ ０，有 ＋ ｖ ｌ Ｐ；２若 Ｕ、 ｆＥ ）
ｓｌｔ ｎ ｒ ｌｓ ｆ ｕ ｃｉｎ ｌ ｉ ｅｅｔ ｌ ｑ ａｉｎ ｆ＝－ （ ｆ ｘｔ （） （ ＋ｇ ｔ （—ｆｆ ） Ｓ ｍｅｒｓｌ ｏｕｉ ｓｆ ｃａｓ ｎ ｔ ａ ｄｆ ｒｎｉ ｕ ｔ （ ｏ ｏａ ｏｆ ｏ ｆ ａｅ ｏ ） ａｔ （（—ｆｆ ） ｆ （ ｘｔ （） ． ｏ ｕｔ ） ） ） ， ） ｅ ｓ