7线性空间与线性变换
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类似地可以验证所有实多项式集合R[x], 对多项式的 加法和数乘运算也是一个线性空间.
但是，所有n次实多项式的集合，即
Pn {a0 a1x an xn | a0 , a1, an R, an 0}
对多项式的加法和数乘运算不是线性空间. 因为不满足线 性空间定义中规律(3), 即集合中没有零元素.
性质7.4 若k=0, 则 k=0或=0. =1=(1/kk)=1/k(k)=1/k0=0
三. 子空间 定义7.2 设U是线性空间V的一个非空子集. 如果U 对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间, 则称U是V的 子空间. 按定义可见, 集合{0}是V的子空间, 称之为零子空间, V也是V的子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间, 其它 的称为非平凡子空间. 定理7.1 设U是线性空间V的一个非空子集. 则U是V 的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算 是封闭的. 即 , U, kR, 都有+U, kU
(1) +=+ (加法交换律); (2) (+)+=+(+) (加法结合律); (3) V中有零元素0, 使V有 +0= ; (4) V, -V, 使 +(-)=0, 称-为的负元素; (5) 1= , V, 1R; (6) (kl)=k(l ) , V, k, lR; (7) (k+l)=k+l , V, k, lR; (8) k(+)=k+k , , V, kR;
R+中有零元素1, 使得对任意aR+有a1＝a·1＝a. 对任意aR+, R+中有负元素a－1, 使得有aa－1＝1. 对任意a, bR+, k, lR, 满足： 1a=a1＝a, aR+, 1R. (kl)a=akl＝(al)k＝k(la); (k+l)a=ak+l＝akal＝kala; k(ab)=(ab)k=akbk＝kakb; 所以, R+对所定义的加法和数乘运算构成线性空间. 如果将满足八条运算规律的加法和数乘运算称为线性 运算, 那么, 线性空间就是定义了线性运算的集合.
例7.2 记R[x]n为所有次数小于n的实多项式集合, 即
R[x]n {a0 a1x an1xn1 | a0 , a1, an1 R}
证明R[x]n对多项式的加法和数乘运算是一个线性空间.
证明 容易验证R[x]n对这两种运算是封闭的，
而且多项式的加法和数乘运算满足线性空间定义中八 条规律, 所以R[x]n是一个线性空间.
则称V是(实数域上的)线性空间(或向量空间), V中的元素 (不论其本来的性质如何)称为(实)向量.
在第四章中, 我们介绍了向量空间Rn, 以及Rn的子空间 V. 容易验证, 当集合V对向量的加法和数乘两种运算封闭 时, V中的运算就满足上述八条规律. 显然, 那里的向量空 间只是现在定义的的特殊情形. 比较起来, 现在的定义有了 很大的推广. 向量空间中的向量是更广义的向量, 不一定是 n元有序数组. 向量空间中加法和数乘两种运算只要求满足 八条运算规律, 也不一定是有序数组的加法和数乘运算.
类似地, 容易验证区间[a, b]上所有连续函数的集合 C[a, b]对函数的加法和数乘运算是一个线性空间.
实数域R对于数的加法和乘法运算是一个线性空间.
以上各例中, 虽然向量的含义各不相同(可能是实矩阵, 也可能是实多项式或连续函数, 还可能是实数), 向量的加 法和数乘运算也是不同的. 但对各自的向量, 加法和数乘两 种运算都满足八条运算规律, 所以, 都是线性空间.
下面举一些线性空间的例子. 例7.1 验证所有mn实矩阵集合Rmn对矩阵的加法和 数乘运算是一个线性空间. 证明 容易验证Rmn对这两种运算是封闭的，
而且矩阵的加法和数乘运算满足线性空间定义中八条 规律, 所以Rmn是一个线性空间.
特别地，取n=1, 说明Rm是一个线性空间. 如果记V是所有n阶奇异矩阵集合, 虽然V中矩阵的加 法和数乘运算仍满足上述八条规律, 但V不是线性空间, 因 为V对加法运算不封闭.
例如 n<m时, K[x]n是K[x]m的子空间. K[x]n是K[x]的子空间，C(1)[a, b]是C[a, b]的子空间.
虽然所有n次多项式集合Pn是R[x]的子集合, 但是Pn不 是R[x]的子空间.
又如, Rn对通常意义下向量的加法和数乘运算是一个 线性空间.
但如果取Rn中向量通常的加法, 对R中任意数k与Rn中 任意向量, 定义数乘运算k =0. 容易验证, Rn对这两种 运算是封闭的, 但是不满足线性空间定义中运算规律(5): (1 = )，所以Rn对这两种运算不是线性空间.
二、线性空间的基本性质 性质7.1 向量空间的零向量是唯一的.
第七章 线性空间与线性变换
线性空间和线性变换是线性代数的中心内容之一，它 广泛应用于自然科学和工程技术各个领域. 在第四章中, 我 们已经介绍了以Rn中向量为元素的向量空间, 这一章中我 们要把这些概念推广, 使向量和向量空间的概念更具一般 性.
§1 线性空间的概念与性质
一. 线性空间的定义
定义7.1 设பைடு நூலகம்是一个非空集合, R是实数域, 如果在V 上定义了加法和与R中数的乘法两种运算, 即, V, k R, 都有=+, =kV与之对应, 且满足
为了对线性空间中向量的运算的理解更具一般性, 再 看一个比较抽象的例子.
例7.3 用R+表示所有正实数集合, R为实数域, 对任意 a, bR+, kR, 定义a与b的和为ab＝abR+, 定义数k与a 的积为 ka＝ak R+, 验证R+对所定义的加法和数乘两种 运算构成线性空间.
解 由于ab＝ab , 所以加法满足交换律和结合律.
01=01+02=02 性质7. 2 向量空间中每个向量的负向量是唯一的.
-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2)) =((-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2
性质7.3 0=0, (-1)=-, k0=0, V, kK 0+=0+1=(0+1)=, 得 0=0 . +(-1) =(1-1)=0, 得 (-1)=- . k0=k(-)=k -k=(k-k) =0 =0
但是，所有n次实多项式的集合，即
Pn {a0 a1x an xn | a0 , a1, an R, an 0}
对多项式的加法和数乘运算不是线性空间. 因为不满足线 性空间定义中规律(3), 即集合中没有零元素.
性质7.4 若k=0, 则 k=0或=0. =1=(1/kk)=1/k(k)=1/k0=0
三. 子空间 定义7.2 设U是线性空间V的一个非空子集. 如果U 对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间, 则称U是V的 子空间. 按定义可见, 集合{0}是V的子空间, 称之为零子空间, V也是V的子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间, 其它 的称为非平凡子空间. 定理7.1 设U是线性空间V的一个非空子集. 则U是V 的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算 是封闭的. 即 , U, kR, 都有+U, kU
(1) +=+ (加法交换律); (2) (+)+=+(+) (加法结合律); (3) V中有零元素0, 使V有 +0= ; (4) V, -V, 使 +(-)=0, 称-为的负元素; (5) 1= , V, 1R; (6) (kl)=k(l ) , V, k, lR; (7) (k+l)=k+l , V, k, lR; (8) k(+)=k+k , , V, kR;
R+中有零元素1, 使得对任意aR+有a1＝a·1＝a. 对任意aR+, R+中有负元素a－1, 使得有aa－1＝1. 对任意a, bR+, k, lR, 满足： 1a=a1＝a, aR+, 1R. (kl)a=akl＝(al)k＝k(la); (k+l)a=ak+l＝akal＝kala; k(ab)=(ab)k=akbk＝kakb; 所以, R+对所定义的加法和数乘运算构成线性空间. 如果将满足八条运算规律的加法和数乘运算称为线性 运算, 那么, 线性空间就是定义了线性运算的集合.
例7.2 记R[x]n为所有次数小于n的实多项式集合, 即
R[x]n {a0 a1x an1xn1 | a0 , a1, an1 R}
证明R[x]n对多项式的加法和数乘运算是一个线性空间.
证明 容易验证R[x]n对这两种运算是封闭的，
而且多项式的加法和数乘运算满足线性空间定义中八 条规律, 所以R[x]n是一个线性空间.
则称V是(实数域上的)线性空间(或向量空间), V中的元素 (不论其本来的性质如何)称为(实)向量.
在第四章中, 我们介绍了向量空间Rn, 以及Rn的子空间 V. 容易验证, 当集合V对向量的加法和数乘两种运算封闭 时, V中的运算就满足上述八条规律. 显然, 那里的向量空 间只是现在定义的的特殊情形. 比较起来, 现在的定义有了 很大的推广. 向量空间中的向量是更广义的向量, 不一定是 n元有序数组. 向量空间中加法和数乘两种运算只要求满足 八条运算规律, 也不一定是有序数组的加法和数乘运算.
类似地, 容易验证区间[a, b]上所有连续函数的集合 C[a, b]对函数的加法和数乘运算是一个线性空间.
实数域R对于数的加法和乘法运算是一个线性空间.
以上各例中, 虽然向量的含义各不相同(可能是实矩阵, 也可能是实多项式或连续函数, 还可能是实数), 向量的加 法和数乘运算也是不同的. 但对各自的向量, 加法和数乘两 种运算都满足八条运算规律, 所以, 都是线性空间.
下面举一些线性空间的例子. 例7.1 验证所有mn实矩阵集合Rmn对矩阵的加法和 数乘运算是一个线性空间. 证明 容易验证Rmn对这两种运算是封闭的，
而且矩阵的加法和数乘运算满足线性空间定义中八条 规律, 所以Rmn是一个线性空间.
特别地，取n=1, 说明Rm是一个线性空间. 如果记V是所有n阶奇异矩阵集合, 虽然V中矩阵的加 法和数乘运算仍满足上述八条规律, 但V不是线性空间, 因 为V对加法运算不封闭.
例如 n<m时, K[x]n是K[x]m的子空间. K[x]n是K[x]的子空间，C(1)[a, b]是C[a, b]的子空间.
虽然所有n次多项式集合Pn是R[x]的子集合, 但是Pn不 是R[x]的子空间.
又如, Rn对通常意义下向量的加法和数乘运算是一个 线性空间.
但如果取Rn中向量通常的加法, 对R中任意数k与Rn中 任意向量, 定义数乘运算k =0. 容易验证, Rn对这两种 运算是封闭的, 但是不满足线性空间定义中运算规律(5): (1 = )，所以Rn对这两种运算不是线性空间.
二、线性空间的基本性质 性质7.1 向量空间的零向量是唯一的.
第七章 线性空间与线性变换
线性空间和线性变换是线性代数的中心内容之一，它 广泛应用于自然科学和工程技术各个领域. 在第四章中, 我 们已经介绍了以Rn中向量为元素的向量空间, 这一章中我 们要把这些概念推广, 使向量和向量空间的概念更具一般 性.
§1 线性空间的概念与性质
一. 线性空间的定义
定义7.1 设பைடு நூலகம்是一个非空集合, R是实数域, 如果在V 上定义了加法和与R中数的乘法两种运算, 即, V, k R, 都有=+, =kV与之对应, 且满足
为了对线性空间中向量的运算的理解更具一般性, 再 看一个比较抽象的例子.
例7.3 用R+表示所有正实数集合, R为实数域, 对任意 a, bR+, kR, 定义a与b的和为ab＝abR+, 定义数k与a 的积为 ka＝ak R+, 验证R+对所定义的加法和数乘两种 运算构成线性空间.
解 由于ab＝ab , 所以加法满足交换律和结合律.
01=01+02=02 性质7. 2 向量空间中每个向量的负向量是唯一的.
-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2)) =((-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2
性质7.3 0=0, (-1)=-, k0=0, V, kK 0+=0+1=(0+1)=, 得 0=0 . +(-1) =(1-1)=0, 得 (-1)=- . k0=k(-)=k -k=(k-k) =0 =0