大学物理2-1第九章(热力学基础)习题答案

大学物理2-1第九章(热力学基础)习题答案
习 题 九
9-1 一系统由图示的状态a 经acd 到达状态b ，系统吸收了320J 热量，系统对外作功126J 。

(1)若adb 过程系统对外作功 42J ，问有多少热量传入系统? (2)当系统由b 沿曲线ba 返回状态a ，外界对系统作功84 J ，试问系统是吸热还是放热? 热量是多少?
[解] 由热力学第一定律A E Q +∆= 得
A
Q E -=∆
在a <b 过程中，E E E a b
∆=-J
A Q 19412632011=-=-= 在adb 过程中 J
A E Q 236421942=+=+∆=
在ba 过程中 J
A E A E E Q b a 27884194333-=--=+∆-=+-=
本过程中系统放热。

9-2 2mol 氮气由温度为 300K ，压强为5
10013.1⨯Pa
(1atm)的初态等温地压缩到 5
10026.2⨯Pa(2atm)。

求
气体放出的热量。

[解] 在等温过程中气体吸收的热量等于气体对外做的功，所以
J P P RT M m A Q mol T 3211046.32
1
ln 30031.82ln ⨯-=⨯⨯⨯==
=
即气体放热为J 3
1046.3⨯。

9-3 一定质量的理想气体的内能E 随体积的变化关系为E - V 图上的一条过原点的直线，如图所示。

试证此直线表示等压过程。

[证明] 设此直线斜率为k ，则此直线方程为
kv
E =
又E 随温度的关系变化式为T
k T C M M E v mol
'=⋅=
所以T k kV '=
因此C k
k T V ='
=(C 为恒量) 又由理想气体的状态方程知，C T
pV '= (C '为恒量)
所以 p 为恒量 即此过程为等压过程。

9-4 2mol 氧气由状态1变化到状态2所经历的过程如图所示：(1)沿l →m →2路径。

(2)1→2直线。

试分别求出两过程中氧气对外作的功、吸收的热量及内能的变化。

[解] (1) 在1→m →2这一过程中，做功的大小为该曲线下所围的面积，氧气对外做负功。

()()J V V P A 4
3
5
2
1
2
1
101.81010013.1105020⨯-=⨯⨯⨯-⨯-=--=
由气体的内能公式T C E V
ν=和理想气体的状态
方程RT pV ν=得
pV i R RpV
i
R pVC R pV C E V v 2
2====νν
对于氧气i =5，所以其内能的变化为 ()()()J 103.11010013.150510202
5254
3
5
1
12
2
⨯-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=-=∆-V p V p E 此过程吸收的热量为
()
J 104.9101.8103.1444111⨯-=⨯-⨯-=+∆=A E Q
(2)在从1→2过程中，由图知氧气对外作功为
()()()()J V V p p A 4
3
5
2
1
1
2
2
101.51010013.110505202
1
21⨯-=⨯⨯⨯-⨯+⨯-=-+-= 内能的变化 ()
J 103.14122⨯-=-=∆E E E
吸收的热量 ()
J 104.6101.5103.1444222⨯-=⨯-⨯-=+∆=A E Q
9-5 10mol 单原子理想气体在压缩过程中外界对它作功209J ，其温度上升1K ，试求：(1) 气体吸收的热量与内能的增量。

(2) 此过程中气体的摩尔热容量。

[解] (1) 内能的增量为 ()
J 7.124131.82
3
10=⨯⨯⨯=∆=∆T C E V ν
气体吸收的热量 ()
J 3.842097.124-=-=+∆=A E Q
(2) 由气体摩尔热容量知 ()K mol J 43.83.8410
11⋅-=-⨯=∆=T Q C ν
9-6 将压强为1atm ，体积为3
3
m 10
1-⨯的氧气(2
5R C
V
=)
从0℃加热到100℃。

试分别求在等体(积)过程和
等压过程中各需吸收多少热量。

[解] 由理想气体状态方程
RT
pV ν=
0RT V
p RT pV ==
ν
在等容过程中吸收的热量为
()
J 93100273
10110013.125253
5000=⨯⨯⨯⨯⨯=∆=∆=-T R RT V p T C Q V V ν
在等压过程中吸收的热量为 ()J 130935
7
5727=⨯==∆=∆=V
p
p
Q T R T C Q νν
9-7 已知氢气的定体(积)比热为)
K kg J 314⋅=V
c ，若
将氢气看作理想气体，求氩原子的质量。

(定体(积)
摩尔热容V
mol V
c M C
=)。

[解] 由定容摩尔热容量的定义知 R R i C V
232== 因此 V
V V mol
c R
c C M 23
==
氩
原子
的
质量
为
()kg 1059.6314
1002.631.823232623
-⨯=⨯⨯⨯===
V A A
mol
c N R
N M m
9-8 为测定气体的λ (V
p
C
=)值有时用下列方
法：一定量的气体的初始温度、体积和压强为0
T 、0
V 和0
p ，用一根电炉4对它缓慢加热。

两次加热
的电流强度和时间相同，第一次保持体积0
V 不
变，而温度和压强变为1
T 和1
p 。

第二次保持压强0
p
不变，而温度和体积变为2
T 和1
V 。

试证明
()()0
01001p V V V p p --=
γ
[证明] 两次加热气体吸收的热量相同，等容过程吸收的热量为()011
T T C
Q V
-=ν
等压过程吸收的热量为 ()
022T T C Q p -=ν
由
2
1Q Q =可得 ()()0201T T C T T C
p V
-=-νν
所以
20
1T T T T C C V
p --==
γ
由理想气体状态方程 0
00RT V p ν=
1
01RT V p ν=
2
1
RT V p ν=
因此
101V R
p p T T ν-=
-
102p R
V V T T ν-=
-
所以得到 ()()0
01001p V V V p p --=
γ
9-9 已知1mol 固体的状态方程为bp
aT v
v ++=0
，内
能apT cT E +=，式中0
v 、a 、b 、c 均为常量，求该固体的p
C 、V
C 。

[解] 由热力学第一定律可得
pdV
dE dA dE dQ +=+= (1)
由已知条件可得 bdp
adT dV +=
(2)
apdT
aTdp CdT dE ++=
(3)
将(2)、(3)代入(1)得 ()
bdp adT p apdT aTdp CdT dQ ++++=
(4)
在等压过程中，0=dp 所以
()dT
ap C dQ 2+= 因此
ap
C C p 2+= 在等容过程中 0=dV
代入(2)式得 0=+bdp adT 因此 dT
b
a dp -=
代入(4)式得
dT b T a ap c dT b a b adT p apdT dT b a aT CdT dQ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2
所以
b
T
a ap c C V 2-
+=
9-10 已知范德瓦尔斯气体的内能：0
E V a
T C E V
+-=。

其中V
C 、a 、0
E 为常数，试证明其绝热过程方程为()常数=-V
C R b V T
[证明] 范德瓦尔斯气体的状态方程为
()RT
b V V a p =-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+2 (1)
又由已知条件可得 dV V a
dT C dE V 2
+
=
(2)
绝热过程
=dQ ，由热力学第一定律得
pdV
dA dE -=-= (3)
由(2)、(3)式可得 pdV dV V a
dT C V -=+
2
(4) 由
(1)
式
可
得
2
V
a
b V RT p --=
(5)
将(5)代入(4)式有 dV b
V RT dV V a dV V a dT C V --=+
22
解得 b
V RT dT C V --
=
积分得
()常数=-+b V T R
C V
ln ln 即 ()常数
=-R
C
V
T b V
这就是范德瓦尔斯气体的绝热过程方程。

9-11 如图所示是氮气循环过程，求：(1)一次循环气体对外作的功；(2)循环效率。

[解] (1) 一次循环过程气体对外作功的大小为闭合曲线所包围的面积，由图知，其包围的面积为
()()
1412V V p p S --=
()()()
J 100.2101015510335⨯=⨯⨯-⨯-=-
该循环对外作功为正，所以 ()
J 100.23⨯=A
(2) 该循环过程中，从2→3，1→2为吸收热量过程
其中2→3为等压过程，吸收热量为
()()223322332312
727V p V p R V p R V p R T T C Q p -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ννν
ν
()()J 104.110101105102
7
435⨯=⨯⨯⨯-⨯=
-
1→2为等容过程，吸收热量为
()()1122113221212
5
25V p V p R V p R V p R T T C Q V -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ννν
ν
()()J 1025.11010151102
5
335⨯=⨯⨯⨯-⨯=
-
因此吸收的总热量为 ()
J 10525.1421⨯=+=Q Q Q 该循环的效率为 %1.13%10010
525.1100.24
3
=⨯⨯⨯==Q A η
9-12 一理想气体的循环过程如图所示，其中ca 为绝热过程，点 a 的状态参量为
()11,V T ，点
b 的状态参量为()2
2
,V T ，理
想气体的热容比为γ，求(1)气体在ab 、bc 过程中与外界是否有热交换?数量是多少?(2)点c 的状态参量；(3)循环的效率。

[解] (1) ab 过程是等温过程，系统吸收热量为
1
2
1ln
V V RT A Q T ν==
bc 过程是等容过程，系统吸收热量为 ()2
T T C Q c
V
V
-=ν
因 c
T <2
T ，故该过程是放热过程。

(2) 从图上可看到 2
V V
c
=
又 ac 为绝热过程，故根据绝热方程
1
1
2
1
11
1T V
V T V V T c c --⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=γγ
又有 γ
γ
1
1V p V p c c =
得到 1
21
21112121
1-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=γγ
γ
ννV V V
RT V RT V V V
V p p c
(3)
()()[]
()⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⋅
-=--=--=-=--12
121121112121212ln 11ln 1ln 11V V V V R C V V RT T V V T C V V RT T T C Q Q V V C V T V γγννη
9-13 图中闭合曲线为一理想气体的循环过程曲线，其中ab 、cd 为绝热线，bc 为等体(积)线，da 为等压线，试证明其效率为
b
c a
d T T T T ---=γ
η1
式中了a
T 、b
T 、c
T 、d
T 分别为a 、b 、c 、d 各状
态的温度，v
p
C C
=γ。

[证明] da 为放热过程，其放出的热量为 ()a
d
p
T T C Q -=ν2
bc 为吸热过程，其吸收的热量为
()
b c V T T C Q -=ν1
所以其效率为 ()()b
c a
d
b c V a d p T T T T T T C T T C Q Q
---=---
=-=γννη1111
2
9-14 如图所示，AB 、BC 为绝热线，COA 是等温线。

已知系统在COA 过程中放热J 100，OAB 的面积是J 30，ODC 的面积为 J
70，
试问在BOD 过程中系统是吸热还是
放热?热量是多少?
[解] 因COA 是等温线，COA 过程中
J Q A CA
CA
100-==
又因AB 、DC 为绝热线，AB
AB A E -=∆
DC
DC
A E -=∆
OAB 过程系统作负功，ODC 过程系统作正功，整个循环过程系统作功
30
70-=+++CA DC BD AB A A A A
BOD
过
程
中
系统吸热
A
B BD D
C AB B
D BD
E E E E E E A Q -+=∆+∆+∆+=∆+=140140
由于COA 是等温过程，过程中系统内能变化为零，即
=-A B E E
因此BOD 过程中系统吸热 140
=Q
9-15 一致冷机进行如图所示的循环过程，其中ab 、cd 分别是
温度为1
T 、2
T 的等温线，bc 、da 为等压过程，设工
作物质为理想气体。

证明这致冷机致冷系数为：
1
2
1
2
1ln
22
p p i T
T T ++
-=ω [证明] ab 为等温过程，吸收热量为
1
2
111ln
p p RT A Q ν==
cd 为等温过程，其放出的热量大小为
1
2222ln
p p RT A Q ν==
bc 为等压过程，吸收的热量为
()
123T T C Q p -=ν
da 为等压过程，放出的热量大小为 ()1
2
4
T T C Q p
-=ν
所
以致冷
系数
()()1
2
121314231ln 22
p p i T T T Q Q Q Q Q Q Q Q Q A Q ++
-=+-++=
-=
=
吸
放吸吸ω
9-16
mol
1理想气体，初态压强为1
P ，体积为1
V ，
经等温膨胀使体积增加一倍，然后保持压强不变，使其压缩到原来的体积，最后保持体积不变，使其回到初态。

(1)试在V P -图上画出过程曲线；
(2)求在整个过程中内能的改变，系统对外作
的净功、从外界吸收的热量以及循环效率。

[解] (1) 过程曲线
(2) 系统经过循环又回到初态，所以其内能改变量0=∆E
a →
b 为等温过程，系统对外作正功
2ln ln
111
2
1V p V V RT A ==ν
b →
c 为等压过程，系统对外作负功，其数值大小为()()122
1
11222
V V V V p V V p A
-=
-=
过程中总功
()1
1122
1
111219.02ln V p V V V V p V p A A A =--
=-=
系统从外界吸收的净热量 1
119.0V p A Q ==
a →
b 过程吸热为
2
ln 1111V p A Q ==
1
2
p p
c →a 过程中吸收的热量为
()⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=-=R V p R
V
p C T T C Q V c a V νννν12112
()V p V V V p p V p p 1121111214
3
2323=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=
所以 %2.13132.04
3
2ln 19.01
1111
12
1
==+=
+
=V p V p V p Q
Q A
η
9-17 一可逆卡诺热机低温热源的温度为27℃，热机效率为 40％，它的高温热源的温度是多少?今欲将热机效率提高到50％，若低温热源保持不变，则高温热源的温度应增加多少度?
[解] 可逆卡诺循环的效率为1
21T
T -=η 所以
()K 5004
.01300
121=-=-=
ηT T
若 %50='η，则 ()K 6005
.01300
121=-='-=
'ηT T
所以 ()
K 10050060011=-=-'=∆T T T
9-18 有一卡诺热机，用29kg 空气为工作物质，高温热源和低温热源的温度分别为27℃和-73℃，求此热机的效率。

若在等温膨胀过程中工作物质的体积增大到2.718倍，则此热机每一
循环所作的功是多少?
[解] 此热机的效率为 %3.33300
200
111
2
=-
=-=T
T
η
在等温膨胀过程中，吸收的热量为
()
J 1049.2718.2ln 30031.829
1029ln 43
1211⨯=⨯⨯⨯⨯==V V RT Q ν
又 1
Q A
=η
所以 ()J 1031.81049.23
1
54⨯=⨯⨯=A
9-19 在高温热源为127℃、低温热源为27℃之间工作的卡诺机，一次循环对外作净功为8000J ，今维持低温热源温度不变，提高高温热源的温度，使其一次循环对外作功10000J ，若两次循环该热机都工作在相同的两条绝热线之间，试求：
(1)后一卡诺循环的效率。

(2)后一卡诺循环的高温热源的温度。

[解] (1) 设前一卡诺循环从高温热源吸收热
量为1
Q ，则有1
1
Q A =η
又 4
1
400300111
2
=-
=-=T T
η
所以
()
J 320004800011=⨯==ηA Q
后一卡挪循环从高温热源吸收热量为 ()J 34000800010000320001
2
1
1
=-+=-+='A A Q Q
所以第二个卡诺循环的效率为
%4.29%10034000
1000012=⨯='=
'Q A η
(2) 第二个卡诺循环的高温热源温度为
()K 425294
.01300
121=-='-=
'ηT T
9-20 一台家用冰箱，放在气温为300K 的房间内，做一盘-13℃的冰需从冷冻室取走J 1009.25
⨯的热
量。

设冰箱为理想卡诺致冷机。

(1)求做一盘冰所需要的功；
(2)若此冰箱能以J 1009.25
⨯的速率取走热量，求
所要求的电功率是多少瓦? (3)做一盘冰需时若干?
[解] (1) 致冷系数为 2
1
22
T
T T A Q -=
=ω 得到
()()()
J 1022.3260
2603001009.2452212⨯=-⨯⨯=-=T T T Q A
(2) 取走制一盘冰的热量所需要的时间为
()s 1010
09.21009.23
2
5
=⨯⨯=t 所以电功率为
()s 2.32101022.33
4
=⨯==t A P
(3) 做一盘冰所需要的时间为 3
10s 。

9-21 绝热容器中间有一无摩擦、绝热的可动活塞，如图所示，活塞两侧各有mol ν的理想气体，
5
.1=γ，其初态均为0
P ，0
V 、0
T 。

现将
一通电线圈置入左侧气体中，对气体缓慢加热，左侧气体吸热膨胀推
动活塞向右移，使右侧气体压强增加为0
375.3P ，求；
(1)左侧气体作了多少功? (2)右侧气体的终态温度是多少? (3)左侧气体的终态温度是多少? (4)左侧气体吸收了多少热量?
[解] (1) 右侧气体所发生的过程为绝热过程。

它对外所做的功的负值就是左侧气体所作的
功。

所以左侧气体作功为1
2
2
---='-=γV p V p A A 又对右侧气体：γ
γγ
202200
375.3V p V p V
p == 因此 γ
10
2
375.3V
V =
所以
00
00
0122001
375.3375
.31V p V p V p V p V p A =--=---=γγγ
(2) 对右侧气体，由绝热方程知
()γγγ
γ---=2
10
10375.3T p T p
得到
0325.1375.3T T T ===
(3) 左侧气体末态体积为
γ
1
02001375.32V V V V V V -
=-+=
得
到
00000010011125.525.212375.3375.312375.3T T T V p V V p R V p T =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫
⎝⎛-==γ
ν
(4) 左侧气体吸收热量
()()0
000011125.5V p T T C A T T C A E Q V V +-=+-=+∆=νν 由0
RT V
p ν= 知
R
V p T ν0
00=
又由 5.1=+=
=
V
V V
p C R
C C C γ，得到R
C
V
2=
所以 0
0000
015.925.42V p V p R
V p R Q =+⨯
⨯⋅=νν
9-22 如图所示，在刚性绝热容器中
有一可无摩擦移动而且不漏气的导热隔板，将容器分为A 、B 两部分，各盛有1mol 的e
H 气和2
O 气。

初态e
H 、2
O 的温度各为K
300=A
T
，K
600=B
T
；压强均为
atm
1。

求：
(1)整个系统达到平衡时的温度T 、压强P (氧气可视为刚性理想气体)； (2)
e
H 气和2
O 气各自熵的变化。

[解] (1) 因中间是导热隔板，过程中两部分气体热量变化和作功的数值都相等，所以内能变
化量的数值也相等，且由于初温度不同而末温度相同所以一正一负。

因此 ()()
T T C T T C B VB B A VA A
'-=-'νν
解得
K
5.48753600530032
5232523
=+⨯+⨯=++
=
++='R R RT RT C C T C T C T B
A
VB
VA B VB A VA
因平衡时温度、压强都相等，且都是1mol ，所以体积也相等。

()A B A A B B
B A A A B A B A
p R
T T p R p RT p RT V V V V 45021212=+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=+='='νν
根据理想气体状态方程得到压强为
()atm 08.11450
5.478450=⨯=⋅'=''='A
p T R V T R p ν (2) He 气熵变
⎰⎰⎰⎰
'''
+=+==∆T T V V A
VA A He He He A
A
A
T RdV T dT V T pdV
dE T dQ S νν
()K J 45.92ln ln 23=++'
=
A
B A A T T T R T T R
氧气熵变
⎰
⎰
⎰
⎰
'
''
+=+==∆T T V V B VB B O O O B B
B
T RdV
T
dT V T
pdV
dE T dQ S νν2
2
2
()K J 68.62ln ln 23-=++'
=
B
B A B T T T R T T R
9-23 已知在0℃1mol 的冰溶化为0℃的水需要吸收热量 6000 J ，求：
(1)在0℃条件下这些冰化为水时的熵变；
(2) 0℃时这些水的微观状态数与冰的微观状态数的比。

[解] (1) 温度不变时，熵变为
()K J 0.22273
6000
1
==
==∆⎰⎰
dQ T T dQ S
(2) 根据波尔兹曼熵公式 冰
冰Ω=ln k S
水
水
Ω=ln k S
冰水冰水冰水ΩΩ=Ω-Ω=-=∆ln
ln ln k k k S S S
根据上问结果，得24
23
10
6.11038.10
.22⨯⨯∆===ΩΩ-e e
e
k
S 冰
水
9-24 把2mol 的氧从40℃冷却到0℃，若(1)等体(积)冷却；(2)等压冷却。

分别求其熵变是多少?
[解] 在等容压缩过程中dT C dQ V
ν=
因此()K J 2.0313
273
ln 252273
313
-=⨯====∆⎰⎰⎰R T dT C T dT C T dQ S V
V
νν 在等压冷却过程中，dT C dQ p
ν=
()K J 28.0313
273
ln 272273313-=⨯====∆⎰⎰⎰
R T dT C T dT C T dQ S p p νν
9-25 取1mol 理想气体，按如图所示的两种过程由状态A 到达状态C 。

(1)由A 经等温过程到达状态 C ；
9-21 (2)由A 经等体(积)过程到达状态B ，再经等压过程到达状态C 。

按上述两种过程计算谊系统的熵变A C S S -。

已知A C V V 2=，A
C p p 21=。

[解] (1) 根据理想气体状态方程得 R V p R V p
T A
A A A A
==ν 因此等温过程中熵变为
⎰⎰⎰⎰====∆dV V RT T T pdV T dQ T dQ S A A A C A ν1
2ln ln R V V R V dV T RT A C V V A A C A ===⎰
(2) A →C 与A →B →C 两过程初末状态相同，熵是状态函数，只与初末位置有关，因此两过程熵变相同等于2ln R 。

或：根据理想气体状态方程得 A
A B B B V p R R V p T 211⋅==ν A →B →C 过程熵变等于A →B 等容过程和B →C 等压过程中熵变的和
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=+=∆C B p B A V C B B A C B B A T dT C T dT C T dQ T dE T dQ T dQ S S S νν21
2ln 2ln 2ln R C C p V =+-=。