(集成光电子学导论)第二章光束传输方法
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2k(x)2
1ik(i 2zxk)00(2zx)iW 2 Jz 12Jnnn111 12Jnnn
Axb 思考：对于线性代数里矩阵方 程的一般形式，A、x和b在物理 问题里分别具有何种含义？
激励源（光源、信号源）
边界条件（物理结构）本征解（源激励、受
物理结构约束后的场分布）
基于波动方程差分算法（BPM）的 CAD软件
• BeamProP. • OptiBPM
y x
given: Ψ 0(x)= Ψ(x,z=0) wanted: Ψ(x,z)
Ψ0(x,y)
z i z (x,z) 2 1 k x 2 2k2 (x 2 )k k2 (x,z)
1ik( zx)2 iW1z
i z 2k(x)2
z
i 2k(x)2
z
1i k(x)2
iW2z
0
0
0
0 i z
现在波动方程变成一组线性方程组了
n j 1 a j n j 1 b j n j c j n j 1
1ik( zx)2 iW1z
i z 2k(x)2
z
i 2k(x)2
z
1i k(x)2
iW2z0Biblioteka 000 i z
2k(x)2
1ik(i 2zxk)00(2zx)iW 2 Jz 12Jnnn111 12Jnnn
光束传输方法（beam propagation method, BPM）在光
学中的运用
教师：宋军
数值差分方法（以求波动方程解 为例）
f'x0fx0 xxfx0
f'x0fx0 fxx0x
两式相加
f'x0fx0 x2 xfx0 x
思考： f’’如何表示？
f
''x0
f
'x0
x f
2x
'x0
x
21x
波动方程的近轴差分求解
2E12 2tE2 0 E x ,z,t E x ,ze x p j t时 似谐场近
2 xE 2 2zE 2 kx,z2E0
E x ,zx ,ze x p jz
2 2j2 k220
z2
z x2
对于近轴光这项可被忽略。剩下的方程用差分算 法就可以来较容易的求解了，为什么要忽略？
回顾
2 z 22j z 2 x 2k220
2z2 in12 zinin1
in1 in
z
z
思考：如果不忽略会出现什么问题？
回顾
2 z 22j z 2 x 2k220 2j z 2 x 2k220
in1 in
z
z
2x2 in12 xin
n i1
i n j 1 z n j 2 1 k n j 1 (2 x ) n j2 n j 1 k 2 j2 k k2 n j
f
x0
x
x
f
x0
f
x0
f x0
x
x
f
x0
x2f x0
2x2
f
x0
x
数值差分方法（以求波动方程解为例）
思考：为什么 是约等于
f'x0fx0 x2 xfx0 x
f''x 0 fx 0 x 2 2 f x x 2 0 fx 0 x
2Enx,zk02E0
把上面的关系带入这个二 次方程，那么如果我们已 知 x0 x 和 x 0 处的值， 就能求出E在 x0 x 的 值
i z (x,z) 2 1 k x 2 2k2 (x 2 )k k2 (x,z)
z=zn=z n n+1
n j-1 j
i n j 1 z n j 2 1 k n j 1 (2 x ) n j2 n j 1 k 2 j2 k k2 n j j+1
x=xj=x j
n j 1 a j n j 1 b j n j c j n j 1
1ik(i 2zxk)00(2zx)iW 2 Jz 12Jnnn111 12Jnnn
Axb 思考：对于线性代数里矩阵方 程的一般形式，A、x和b在物理 问题里分别具有何种含义？
激励源（光源、信号源）
边界条件（物理结构）本征解（源激励、受
物理结构约束后的场分布）
基于波动方程差分算法（BPM）的 CAD软件
• BeamProP. • OptiBPM
y x
given: Ψ 0(x)= Ψ(x,z=0) wanted: Ψ(x,z)
Ψ0(x,y)
z i z (x,z) 2 1 k x 2 2k2 (x 2 )k k2 (x,z)
1ik( zx)2 iW1z
i z 2k(x)2
z
i 2k(x)2
z
1i k(x)2
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0
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现在波动方程变成一组线性方程组了
n j 1 a j n j 1 b j n j c j n j 1
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z
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z
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光束传输方法（beam propagation method, BPM）在光
学中的运用
教师：宋军
数值差分方法（以求波动方程解 为例）
f'x0fx0 xxfx0
f'x0fx0 fxx0x
两式相加
f'x0fx0 x2 xfx0 x
思考： f’’如何表示？
f
''x0
f
'x0
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2x
'x0
x
21x
波动方程的近轴差分求解
2E12 2tE2 0 E x ,z,t E x ,ze x p j t时 似谐场近
2 xE 2 2zE 2 kx,z2E0
E x ,zx ,ze x p jz
2 2j2 k220
z2
z x2
对于近轴光这项可被忽略。剩下的方程用差分算 法就可以来较容易的求解了，为什么要忽略？
回顾
2 z 22j z 2 x 2k220
2z2 in12 zinin1
in1 in
z
z
思考：如果不忽略会出现什么问题？
回顾
2 z 22j z 2 x 2k220 2j z 2 x 2k220
in1 in
z
z
2x2 in12 xin
n i1
i n j 1 z n j 2 1 k n j 1 (2 x ) n j2 n j 1 k 2 j2 k k2 n j
f
x0
x
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f
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f x0
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x0
x2f x0
2x2
f
x0
x
数值差分方法（以求波动方程解为例）
思考：为什么 是约等于
f'x0fx0 x2 xfx0 x
f''x 0 fx 0 x 2 2 f x x 2 0 fx 0 x
2Enx,zk02E0
把上面的关系带入这个二 次方程，那么如果我们已 知 x0 x 和 x 0 处的值， 就能求出E在 x0 x 的 值
i z (x,z) 2 1 k x 2 2k2 (x 2 )k k2 (x,z)
z=zn=z n n+1
n j-1 j
i n j 1 z n j 2 1 k n j 1 (2 x ) n j2 n j 1 k 2 j2 k k2 n j j+1
x=xj=x j
n j 1 a j n j 1 b j n j c j n j 1