(河北专版)2020年中考数学复习第三单元函数第15课时二次函数的实际应用课件
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图15-5
| 考向精练 |
1.[2014·河北9题]某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边
长为x厘米,当x=3时,y=18,那么当成本为72元时,边长为 ( A )
A.6厘米
B.12厘米
C.24厘米
D.36厘米
2.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图15-6所示的直角墙角(两边足够 长),用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边).设AB=x m,花园的面积为S. (1)求S关于x的函数解析式; (2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花 园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积的最大值.
源自文库
②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式.
销售价格x(元/千克)
2
4
…
10
市场需求量q(百千克)
12
10
…
4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克.
(3)在(2)的条件下,当x为
元/千克时,利润y有最大值;若要使每天的利润
不低于24(百元),并尽可能地减少半成品食材的浪费,则x应定为 5 元/千克
解:(1)∵AB=x m, ∴BC=(28-x)m, ∴S=AB·BC=x(28-x)=-x2+28x.
图15-6
2.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图15-6所示的直角墙角(两边足够 长),用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边).设AB=x m,花园的面积为S. (2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花 园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积的最大值.
图15-4
考向二 利用二次函数解决销售利润问题（7年1考）
例2[2019·武汉]某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是
售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如
下表:
售价x(元/件)
50
60
80
周销售量y(件)
100
80
40
周销售利润w(元)
例2[2019·武汉]某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是 售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如 下表:
售价x(元/件)
50
60
80
周销售量y(件)
100
80
40
周销售利润w(元)
1000
1600
1600
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)
述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工
时间为( )
A.3.50分钟
B.3.75分钟
C.4.00分钟
D.4.25分钟
图15-3
5.一个小球向斜上方抛出,它的行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的 关系是y=-x2+4x+1,则小球能到达的最大高度是 5 m.
题组二 易错题 【失分点】 求实际问题中的最值时,忽略自变量取值范围的限制.
1000
1600
1600
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)
(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
②该商品进价是
元/件;当售价是
元/件时,周销售利润最大,最大
利润是
元;
(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不
得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关
(2)由题意,可知x≥6且28-x≥15,∴6≤x≤13. 由(1)知S=-x2+28x=-(x-14)2+196. ∵当6≤x≤13时,S随x的增大而增大, ∴当x=13时,S最大=195. 故花园面积的最大值为195 m2.
图15-6
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)
(1)②该商品进价是
元/件;当售价是
最大利润是
元;
1600
1600
元/件时,周销售利润最大,
[答案] 40 70 1800 [解析]设进价为t元/件,由题意知,1000=100×(50-t),解得t=40, ∴进价为40元/件; 周销售利润w=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70)2+1800, 故当售价是70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1800元. 故答案为40,70,1800.
.
考向三 利用二次函数解决面积问题（7年1考）
例3 [2017·义乌]某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足 够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m.设饲养室长为x(m),占地面 积为y(m2). (1)如图15-5①,当饲养室长x为多少时,占地面积y最大? (2)如图15-5②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最 大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.” 请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.
第 15 课时
二次函数的实际应用
考点聚焦
考点一 建立二次函数模型解决问题
常见类型
关键步骤
建立方便求解析式的平面直角坐标系,找到图象上三点的坐标, 抛物线形问题
用待定系数法求二次函数的解析式
理清各个量之间的关系,找出等量关系求得解析式,根据要求确 销售利润问题
定函数的最值或建立方程求解
利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的 图形面积问题
(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不
得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关
系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.
| 考向精练 |
销售价格x(元/千克)
2
4
…
10
市场需求量q(百千克)
12
10
…
4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克. (1)直接写出q与x的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.
2.图文类 根据图文,借助图形上的关键点,提取信息,建立二次函数模型解题.
对点演练
题组一 必会题 B
图15-1
2.某品牌钢笔每支进价8元,按10元1支出售 [答案] D
时每天能卖出20支,市场调查发现,如果每支 [解析]设每天的利润为w元,涨价x元.
涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最 由题意得,每天利润为:
图15-4
图15-4
例1[2019·石家庄质检]跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要 两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线.如图15-4是 小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4 m,离 地面的高度为1 m,以小明的手所在位置为原点,建立平面直角坐标系.
①当每天的半成品食材能全部售出时,求x的取值范围;
销售价格x(元/千克)
2
4
…
10
市场需求量q(百千克)
12
10
…
4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克. (2)当每天的产量小于或等于市场需求量时,这种半成品食材能全部售出,而当 每天的产量大于市场需求量时,只能售出符合市场需求量的半成品食材,剩余 的食材由于保质期短而只能废弃.
最值或建立方程求解
【温馨提示】 (1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称 轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值在自变量取值的端点处取得. (2)建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式.
考点二 图象信息类问题 1.表格类 观察点的特征,验证满足条件的二次函数的解析式及其图象,利用二次函数的性 质求解.
大利润,其售价应定为( )
w=(2+x)(20-2x)=-2x2+16x+40
A.11元
B.12元
=-2(x-4)2+72.
C.13元
D.14元
所以当涨价4元(即售价为14元)时,
每天利润最大,最大利润为72元.
3.如图15-2,一边靠校园围墙,其他三边用总长为80米的铁栏杆围成一个矩形花
圃,设矩形ABCD的边AB的长为x米,面积为S平方米,要使矩形ABCD的面积最大
元/千克时,利润y有最大值;若要使每天的利润
不低于24(百元),并尽可能地减少半成品食材的浪费,则x应定为
元/千克
.
销售价格x(元/千克)
2
4
…
10
市场需求量q(百千克)
12
10
…
4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克. (2)当每天的产量小于或等于市场需求量时,这种半成品食材能全部售出,而当 每天的产量大于市场需求量时,只能售出符合市场需求量的半成品食材,剩余 的食材由于保质期短而只能废弃.
(2)当每天的产量小于或等于市场需求量时,这种半成品食材能全部售出,而当每
天的产量大于市场需求量时,只能售出符合市场需求量的半成品食材,剩余的食
材由于保质期短而只能废弃.
①当每天的半成品食材能全部售出时,求x的取值范围;
②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式.
(3)在(2)的条件下,当x为
考向一 利用二次函数解决抛物线形问题（7年1考）
例1[2019·石家庄质检]跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要 两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线.如图15-4是 小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4 m,离 地面的高度为1 m,以小明的手所在位置为原点,建立平面直角坐标系. (1)当身高为1.5 m的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子的手1 m处时,绳子 刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式;
[答案] 24
7.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克
, 小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则每天平均可卖出200千克,若价格每上涨
0.1元,则每天少卖出20千克,则蔬菜售价定为
元/千克时,每天获利最大,
最大利润为
元.
[答案] 4.5 48 [解析]设售价定为x元/千克,则每千克获利(x-4.1)元. ∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克, ∴每天的销售量为200-20(x-4.1)÷0.1=-200x+1020(千克). 设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1) =-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50. ∵a=-2<0,∴当x≤4.6时W随x的增大而增大. ∵物价局规定该种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克, ∴4.1≤x≤4.5,∴当x=4.5时,W有最大值,即获利最大, 最大获利=-2(10×4.5-46)2+50=-2+50=48(元).
,则x为( C )
A.40米
B.30米
C.20米
D.10米
图15-2
4.[2019·房山一模]加工爆米花时,爆开且不 [答案] B
糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定
条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)
满足的函数关系为p=at2+bt+c(a,b,c是常数
), 如图15-3记录了三次实验的数据.根据上
图15-5
例3 [2017·义乌]某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足 够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m.设饲养室长为x(m),占地面 积为y(m2). (2)如图15-5②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最 大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.” 请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.
系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.
例2[2019·武汉]某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是 售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如 下表:
售价x(元/件)
50
60
80
周销售量y(件)
100
80
40
周销售利润w(元)
1000
| 考向精练 |
1.[2014·河北9题]某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边
长为x厘米,当x=3时,y=18,那么当成本为72元时,边长为 ( A )
A.6厘米
B.12厘米
C.24厘米
D.36厘米
2.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图15-6所示的直角墙角(两边足够 长),用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边).设AB=x m,花园的面积为S. (1)求S关于x的函数解析式; (2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花 园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积的最大值.
源自文库
②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式.
销售价格x(元/千克)
2
4
…
10
市场需求量q(百千克)
12
10
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4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克.
(3)在(2)的条件下,当x为
元/千克时,利润y有最大值;若要使每天的利润
不低于24(百元),并尽可能地减少半成品食材的浪费,则x应定为 5 元/千克
解:(1)∵AB=x m, ∴BC=(28-x)m, ∴S=AB·BC=x(28-x)=-x2+28x.
图15-6
2.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图15-6所示的直角墙角(两边足够 长),用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边).设AB=x m,花园的面积为S. (2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花 园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积的最大值.
图15-4
考向二 利用二次函数解决销售利润问题（7年1考）
例2[2019·武汉]某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是
售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如
下表:
售价x(元/件)
50
60
80
周销售量y(件)
100
80
40
周销售利润w(元)
例2[2019·武汉]某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是 售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如 下表:
售价x(元/件)
50
60
80
周销售量y(件)
100
80
40
周销售利润w(元)
1000
1600
1600
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)
述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工
时间为( )
A.3.50分钟
B.3.75分钟
C.4.00分钟
D.4.25分钟
图15-3
5.一个小球向斜上方抛出,它的行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的 关系是y=-x2+4x+1,则小球能到达的最大高度是 5 m.
题组二 易错题 【失分点】 求实际问题中的最值时,忽略自变量取值范围的限制.
1000
1600
1600
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)
(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
②该商品进价是
元/件;当售价是
元/件时,周销售利润最大,最大
利润是
元;
(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不
得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关
(2)由题意,可知x≥6且28-x≥15,∴6≤x≤13. 由(1)知S=-x2+28x=-(x-14)2+196. ∵当6≤x≤13时,S随x的增大而增大, ∴当x=13时,S最大=195. 故花园面积的最大值为195 m2.
图15-6
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)
(1)②该商品进价是
元/件;当售价是
最大利润是
元;
1600
1600
元/件时,周销售利润最大,
[答案] 40 70 1800 [解析]设进价为t元/件,由题意知,1000=100×(50-t),解得t=40, ∴进价为40元/件; 周销售利润w=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70)2+1800, 故当售价是70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1800元. 故答案为40,70,1800.
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考向三 利用二次函数解决面积问题（7年1考）
例3 [2017·义乌]某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足 够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m.设饲养室长为x(m),占地面 积为y(m2). (1)如图15-5①,当饲养室长x为多少时,占地面积y最大? (2)如图15-5②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最 大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.” 请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.
第 15 课时
二次函数的实际应用
考点聚焦
考点一 建立二次函数模型解决问题
常见类型
关键步骤
建立方便求解析式的平面直角坐标系,找到图象上三点的坐标, 抛物线形问题
用待定系数法求二次函数的解析式
理清各个量之间的关系,找出等量关系求得解析式,根据要求确 销售利润问题
定函数的最值或建立方程求解
利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的 图形面积问题
(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不
得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关
系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.
| 考向精练 |
销售价格x(元/千克)
2
4
…
10
市场需求量q(百千克)
12
10
…
4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克. (1)直接写出q与x的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.
2.图文类 根据图文,借助图形上的关键点,提取信息,建立二次函数模型解题.
对点演练
题组一 必会题 B
图15-1
2.某品牌钢笔每支进价8元,按10元1支出售 [答案] D
时每天能卖出20支,市场调查发现,如果每支 [解析]设每天的利润为w元,涨价x元.
涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最 由题意得,每天利润为:
图15-4
图15-4
例1[2019·石家庄质检]跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要 两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线.如图15-4是 小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4 m,离 地面的高度为1 m,以小明的手所在位置为原点,建立平面直角坐标系.
①当每天的半成品食材能全部售出时,求x的取值范围;
销售价格x(元/千克)
2
4
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10
市场需求量q(百千克)
12
10
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4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克. (2)当每天的产量小于或等于市场需求量时,这种半成品食材能全部售出,而当 每天的产量大于市场需求量时,只能售出符合市场需求量的半成品食材,剩余 的食材由于保质期短而只能废弃.
最值或建立方程求解
【温馨提示】 (1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称 轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值在自变量取值的端点处取得. (2)建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式.
考点二 图象信息类问题 1.表格类 观察点的特征,验证满足条件的二次函数的解析式及其图象,利用二次函数的性 质求解.
大利润,其售价应定为( )
w=(2+x)(20-2x)=-2x2+16x+40
A.11元
B.12元
=-2(x-4)2+72.
C.13元
D.14元
所以当涨价4元(即售价为14元)时,
每天利润最大,最大利润为72元.
3.如图15-2,一边靠校园围墙,其他三边用总长为80米的铁栏杆围成一个矩形花
圃,设矩形ABCD的边AB的长为x米,面积为S平方米,要使矩形ABCD的面积最大
元/千克时,利润y有最大值;若要使每天的利润
不低于24(百元),并尽可能地减少半成品食材的浪费,则x应定为
元/千克
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销售价格x(元/千克)
2
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…
10
市场需求量q(百千克)
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…
4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克. (2)当每天的产量小于或等于市场需求量时,这种半成品食材能全部售出,而当 每天的产量大于市场需求量时,只能售出符合市场需求量的半成品食材,剩余 的食材由于保质期短而只能废弃.
(2)当每天的产量小于或等于市场需求量时,这种半成品食材能全部售出,而当每
天的产量大于市场需求量时,只能售出符合市场需求量的半成品食材,剩余的食
材由于保质期短而只能废弃.
①当每天的半成品食材能全部售出时,求x的取值范围;
②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式.
(3)在(2)的条件下,当x为
考向一 利用二次函数解决抛物线形问题（7年1考）
例1[2019·石家庄质检]跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要 两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线.如图15-4是 小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4 m,离 地面的高度为1 m,以小明的手所在位置为原点,建立平面直角坐标系. (1)当身高为1.5 m的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子的手1 m处时,绳子 刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式;
[答案] 24
7.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克
, 小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则每天平均可卖出200千克,若价格每上涨
0.1元,则每天少卖出20千克,则蔬菜售价定为
元/千克时,每天获利最大,
最大利润为
元.
[答案] 4.5 48 [解析]设售价定为x元/千克,则每千克获利(x-4.1)元. ∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克, ∴每天的销售量为200-20(x-4.1)÷0.1=-200x+1020(千克). 设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1) =-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50. ∵a=-2<0,∴当x≤4.6时W随x的增大而增大. ∵物价局规定该种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克, ∴4.1≤x≤4.5,∴当x=4.5时,W有最大值,即获利最大, 最大获利=-2(10×4.5-46)2+50=-2+50=48(元).
,则x为( C )
A.40米
B.30米
C.20米
D.10米
图15-2
4.[2019·房山一模]加工爆米花时,爆开且不 [答案] B
糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定
条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)
满足的函数关系为p=at2+bt+c(a,b,c是常数
), 如图15-3记录了三次实验的数据.根据上
图15-5
例3 [2017·义乌]某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足 够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m.设饲养室长为x(m),占地面 积为y(m2). (2)如图15-5②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最 大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.” 请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.
系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.
例2[2019·武汉]某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是 售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如 下表:
售价x(元/件)
50
60
80
周销售量y(件)
100
80
40
周销售利润w(元)
1000