数值分析法

(x x(k) )
dx x x( k )
这是一个线性方程，记其根为 x(k1)，则有
x(k 1) x(k ) f ( x(k ) ) df dx x x( k )
数值分析法
牛顿法具有明确的几何解释。式(4.5.1)的根 x*
可解释为曲线 y f (x) 与x轴的交点的横坐标，见 下图：
y
f (x)
数值分析法
求解非线性方程根的牛顿法，是基于围绕某一近 似解 x(k )对函数 f (x) 进行泰勒展开给出的，即
f (x)
f
(x(k) )
df dx
xx(k )
(x
x(k) )
1 2
d2 f dx2
(x x(k) )2
xx( k )
如果 x x(k ) 很小，则可取一阶近似，得到
f (x) 0 f (x(k ) ) df
Pk
x*
x(k)
0
x(k 1)
x
设 x(k )是 x*的某个近似值，过曲线 y f (x)上横 坐标为 x(k 的) 点Pk 引切线，并将该切线与x轴的交 点的横坐标 x(k1) 作为 x* 的新的近似值。
数值分析法
注意到切线方程为：
y f (x(k ) ) df
(x x(k))
dx x x( k )
这样求得的值 x(k1) 必然满足式(4.5.2)。由于这
种几何背景，牛顿法也称为切线法。
实际进行计算时，可选取合适的初始值 x(0) ，
由上式计算得到 x(1) ，依此反复迭代，直
至 x(k1) x(k) ， 称为收敛精度，是一个非常
小的正实数，如10-5等。此时 x(k1) 可以作为非
线性方程的解。
数值分析法
数值分析法
求解非线性电阻电路方程，可以采用数值分析法。 数值分析法一般采用逼近的方法，使用迭代的点 序列逐步逼近非线性方程的解。逼近的方法有牛 顿法、共轭梯度法等。本节主要介绍牛顿法。
含有一个非线性电阻电路的方程，最终可归结为 一个一元非线性方程，假设电路方程的形式为：
f (x) 源自文库0
式中x为待求的电路变量，一般为电压或电流。