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极限证明精选多篇-证明范本

第一篇：极限证明

极限证明

1.设fx在??,??上无穷次可微，且fx??xnn???，求证当k?n?1时，?x，limfkx?0．x???

2.设fx??0sinntdt，求证：当n为奇数时，fx是以2?为周期的周期函数；当n为

偶数时fx是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和．x

fnx?0．?{xn}?3.设fx在??,??上无穷次可微；f0f?0?0xlim求证：n?1，???

?n，0?xn?xn?1，使fnxn?0．

sinf(x)?1．求证limfx存在． 4.设fx在a,??上连续，且xlim???x???

5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。

6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x. n??xn??n

7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.

8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。an?1

t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，

为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。

10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?. n??2n2

11.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。

12.证明：若???

af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.

11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?

n

14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.

15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.

16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0

??

?r?0?.

i

?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2

r??

d

r

17.设f?x?于[a,??)可导，且f'?x??c?0?c为常数?,证明：

?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。

18.设limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n语言证明lim

ana?.

n???bbn

?sn?x??19.设函数列?sn?x??的每一项sn?x?都在x0连续，u 是以x0为中心的某个开区间，

在u??x0?内闭一致收敛于s?x?,又limn??sn?x0????,证明：lims?x????.

x?x0

20.叙述并证明limx???f?x?存在且有限的充分必要条件?柯西收敛原理?

??a

23.设?

fx= 0. 证明xlimfxdx收敛,且fx在?a,???上一致连续，???

24.设a1 0，an?1＝an＋，证明＝1 nan25.设f?x?在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?h?与m?h?分别表示f?x?在

?a?h,a?h?上的上、下确界，又设?hn?是一趋于0的递减数列，证明：

1）limn??m?hn?与limn??m?hn?都存在；

2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;

27.设an?a,用定义证明:limn???an?a

28.设x1?0，xn?1?

31?xn

,n?1,2,?，证明limxn存在并求出来。

n??3?xn

??

29.用“???语言”证明lim30.设fx?

x?2x?1

?0

x?1x?3

x?2

，数列?xn?由如下递推公式定义：x0?1，xn?1?fxn，n?0，x?1 n??

1，2，?，求证：limxn?2。

31.设fnx?cosx?cos2x???cosnx，求证：

（a）对任意自然数n，方程fnx?1在[0,?/3)内有且仅有一个正根；

（b）设xn?[0,1/3)是fnx?1的根，则limxn??/3。

n??

32.设函数ft在a,b连续，若有数列xn?a,yn?axn,yn?(a,b)使

limfxn?an??及limfyn?bn??，则对a，b之间的任意数?，可找到数列xn?a，使得limfzn??

33.设函数f在[a,b]上连续，且

f?0,记fvn?fa?v?n,?n?

?exp{

b?a

，试证明：n

1b

lnfxdx}n??并利用上述等式证明下?ab?a

式

2?

?

2?

ln1?2rcosx?r2dx?2lnrr?1

fb?fa

?k

b?a

34.设f‘0?k,试证明lim

a?0?b?0?

35.设fx连续，?x??0fxtdt，且lim

x?0

论?'x在x?0处的连续性。

fx

，求?'x，并讨?a（常数）

x

36．给出riemann积分?afxdx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛

i1

lim?s。n??ni?0n

?x322

,x?y?0?2