圆的弧长和图形面积的计算

∴点 A 所经过的路线 AA′ 的半径为 1 的小圆在半径为 9 的大圆内滚动， 且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为( ) A．17π B．32π C．49π D．80π
答案 B 解析 如图，可知外圆的半径为 9， 内圆的半径为 7，S 圆环＝S 外圆－S 内圆 ＝π×92－π×72＝81π－49π＝32π.
基础知识 自主学习
要点梳理
1．弧长及扇形的面积： (1)半径为r，弧为n°的圆心角所对的弧长公式：
l＝n18π0r
(2) 半径为r，孤为n°的圆心角所对的扇形面积公式：
S＝n3π6r02＝12lr
2．圆锥的侧面积和全面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为 l，底面 半径为 r，那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2πr. (1)圆锥侧面积公式： S 圆锥侧＝πrl； (2)圆锥全面积公式： S 圆锥全＝πrl＋πr2； (3)圆锥侧面展开图扇形圆心角公式： θ＝rl·360°.
再由图②到图③，∠O＝60°，OA＝1.求O点所运动的路 径长．
解 点 O 运动路径第一段弧长为901π8×0 1＝12π；第二段路径的弧长为601π8×0 1＝13π； 第三段路径的弧长为901π8×0 1＝12π. 即点 O 所运动的路径长为12π＋13π＋12π＝43π.
探究提高 本题中所求点O经过的路线是由三条不同的弧组 合而成的，在求每段弧长时，要注意确定每段弧的半径及 所对圆心角的度数．
S 阴影＝S 扇 AOB－S 扇 COD ＝14π(OA2－OC2) ＝14π×(652－152)＝1000π. 答：刮雨刷 BD 扫过的面积是 1000π (cm2)．
弦 BC∥OA，则劣弧 BC 的弧长为( )
3 A. 3 π
3 B. 2 π
C．π
3 D. 2π
解析 连接 OB、OC，则 OB⊥AB，
在 Rt△AOB 中，OA＝2 3，AB＝3，
则 OB＝ 3，∠AOB＝60°.
∵BC∥OA，∴∠OBC＝60°.
∴△OBC 是等边三角形．
∴∠COB＝60°.∴ BC 的长是16800π×
知能迁移1 (1)已知矩形ABCD的长AB＝4，宽AD＝3，按如 图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转动一周 时(A→A′)，顶点A所经过的路线长等于________．
解析 19800π(3＋4＋5)＝6π. 答案 6π
(2) (2011·广州)如图，AB 切⊙O 于点 B，OA＝2 3，AB＝3，
3＝
3 3 π.
题型二 扇形面积公式的运用
【例 2】 如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果BO ＝65 cm，DO＝15 cm，当BD绕点O旋转90°时，求刮雨 刷BD扫过的面积．
解 阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常 有两条思路，一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的 割补．此题可利用图形的割补，把图形△OAC 放到△OBD 的位置 (因为△AOC≌△BOD)，则阴影部分的面积为扇环的面积；
∴4×1－π4＝4－π.
5．(2011·台州)如图，图 2 是一个组合烟花(图 1)的横截面，
其中 16 个圆的半径相同，点 O1、O2、O3、O4 是分布在 四个角上的圆的圆心，且四边形 O1O2O3O4 正方形．若圆 的半径为 r，组合烟花的高度为 h，则组合烟花侧面包装
纸的面积至少需要(接缝面积不计)( )
A．26πrh
B．24rh＋πrh
C．12rh－2πrh
D．24rh＋2πrh
解析 因为侧面包装纸的周长＝6r＋14·2πr×4＝24r＋2πr， 高度为 h，所以其面积为(24r＋2πr)h＝24rh＋2πrh.
答案 D
题型分类 深度剖析
题型一 弧长公式的应用 【例 1】 如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，
3．(2011·宁波)如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 2， 若把 Rt△ABC 绕边 AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表 面积为( ) A．4π B．4 2π C．8π D．8 2π
答案 D
解析 如图，可知几何体是两个圆锥复合， l＝2 2，r＝2，∴S 圆锥侧＝πrl＝π×2×2 2＝4 2π， ∴S 表面积＝2×(4 2π)＝8 2π.
B′三点在同一条直线上，则点 A 所经过的最短路线的长为( )
A．4 3cm
B．8 cm
16 C. 3 π cm 答案 D
8 D. 3π cm
解析 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°－∠A＝60°.
∵△A′B′C≌△ABC，
∴∠A′CB′＝∠ACB＝60°.
∵∠ACB′＝180°，∴∠ACA′＝120°.
3．求阴影部分面积的几种常见方法： (1)公式法； (2)割补法； (3)拼凑法； (4)等积变形构造方程法； (5)去重法．
[ 难点正本 疑点清源]
1．有关弧长公式、扇形面积公式的应用 在弧长公式和扇形面积公式中，都涉及了三个变量，弧长(或面积)、 圆心角的度数、弧(或扇形)的半径，知道其中的两个量，就可以求第三个 量．要熟悉各个公式的变形． 扇形面积两公式之间的联系：S＝n3π6r02＝12lr.根据题目的条件，应灵活 选用，但无论利用哪个公式计算扇形的面积，半径 r 必须已知．
4．(2011·衢州)如图，一张半径为 1 的圆形纸片在边长为 a(a≥3)的
正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触
到的部分”的面积是( )
A．a2－π
B．(4－π)a2
C．π
D．4－π
答案 D 解析 如图，可知圆形纸片不能接触到的
部分为四个这样的阴影部分的面积，而
S 阴影＝12－14×π×12＝1－14π，
2．理解圆锥与其展开图之间的关系 在求圆锥侧面积或全面积的时候，常需要借助于它的展 开图进行分析，因此理清圆锥与它的展开图中各量的关系非 常重要，下面图示可以帮助我们进一步理解它们之间的关 系．
基础自测
1．(2011·滨州)如图，在△ABC 中，∠B＝90°， ∠A＝30°，AC＝4 cm，
将△ABC 绕顶点 C 顺时针方向旋转至△A′B′C 的位置，且 A、C、