大连理工大学《工科数学分析基础》多元数量值函数积分学复习3.docx

例1设D 是xOy 平面上以（1, 1）、（-1, 1）和（一1, -1）为顶点的三角形区域, 卩是D 在第一彖限的部分，若

/ = jj (xy + cos x sin y^dxdy ,

D

试问下列等式是否成立，并说明理由.

(1) / = 2jj xydxcly ; (2) I = cosxsin yclxdy ；⑶ / 二 (xy + cosxsin y^dxdy

解 画出区域D 的图形（如图9-43）,将区域D 分为四个子区域°,0,2,2。

显然0与D?关于），轴对称，和关于兀轴对称，将/分为两个二重积分,

I = Jj xydxdy, I 2 = jj cos x sin ydxdy D D

由于xy 关于兀和关于y 轴都是奇函数，因此

Jj xydxdy - 0,

JJ xydxdy - 0

D {+D 2

0+2

所以 人=0,而cos x sin y 是关于y 的奇函数，关于x 的偶函数，故有

jj cos % sin ydxdy = 0

D3+D44

综上分析可知，等式（1）、（3）不成立，等式（2）式成立.

通过上面的讨论，可利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化重积分的计算•通 常有如下几种情况:

（1） 设平而有界闭区域D =

up 与0关于y 轴（兀=0）对称，/（兀，刃

为£＞上的可积函数，则

jjcosxsin D \+D

2

ydxdy = 2 JJ cosxsin 02

ydxdy

因此

I = 2|jcosxsin ydxdy

D\

即/(一兀,y) = /(x,刃) (当/为D上关于兀的奇函数,

即/(一兀,刃=—/(兀,刃)

(2)设平面有界闭区域D =+ 2，且q与2关于X轴(y = 0)对称，./G,y)

为D上的可积函数，则

2fjf(x9 y)加/y(当/为D上关于y的偶函数，

BI J/(x-J)=/(^, y))

(当/为D上关于y的奇函数,

即/(兀，一刃=—/(兀刃)

例2计算fj(3x3 + y^dxdy ,其中Q是由两条抛物线y = x2,y = 4x2之

间、直线y = 1

以下的闭区域.

解积分区域如图9-44所示，D关于y轴对称，3/ + y中3疋是关于兀的奇函数, y是关于兀的偶函数，依对称性有

例3计算二重积分jj y~x2 \dxdy ,其中D是由直线x = l,x = -l,y = 2和x轴所

围成的闭区域.

解为计算积分，首先要将被积函数JG二H屮绝对值符号去掉，如图所示，抛物线y = x2将D分成两个子区域D|、D2,其屮

D}:-1

D2 : -1 < X <1,A:2 < ^ < 2.

Jy —异((%, y) G D2).

被积函数/(兀y)在D上是关于X的偶函数，积分区域D关于y轴对称，D』也是关于y轴对称的，故

JJ Jl 跑y =

例4设/(无)在区间［⑦b ］上连续，证明—— b-a

证/(x)在区间[a,b]上连续，故F(x, y) = [f(x)

一 /(y)]2

在矩形区域D:a

d (J>0.

D

显然

\\[fM-f(y)]2d (y

D

= \\f{x)-d (y 一 2JJ

+ JJ /(y)? d”

D

D

D

=ff f 2Mdxdy - 2 f C /(x)/(y)如y + f f f 2 (y)dxdy Ja Ja Ja Ja Ja Ja =2(b - a) C f\x)dx - 2「[b f(x)dx\ > 0

两端同乘以一厶并开方得—[b

f{x)dx < J —!— \b f 2

(x)dx

(b-a)^

b-a Ja

\ b-a Ja

例5求rtl 曲线)“ =x 与直线兀=1所围成的平面均匀薄片对于通过坐标原点的任一直 线的转动惯量，并讨论转动惯量在哪种情况下，取得最大值或最小值. 解 设过原点的任一直线为y =

平面薄片上任一点(x,y)到该直线的距离为

dJ

&则由转动惯量的计算公式’有

<(b-a)^f 2(x)cbc

一2砂 + /兀

2)d (r

r b

I f^dx < J

所以

fMdx 其中°为均匀薄片的面密度.

05y 51,)，

被积函数y 2 - 2cixy + a 2x 2中，b , //是关于丿轴的偶函数，一2仏。是关于y 的

4p 32p

刁-一

( 1 + /)・105

4 显然当a = 0时，平面

薄片绕x 轴的转动惯量最小，即/ min = —/?.当dToo 时，即平

1

4

面薄片绕y 轴的转动惯量最大，/max =^p ・

例6计算三重积分JJJ （兀+y+z ）2加，其中Q 是由抛物ffiz = x 2+y 2和球面 z 二』2-/一歹2所围成的空间闭区域.

解 被积函数O+y + z)? = x 2 + y 2 4- z 2 +2(xy + yz + xz).

由于积分区域Q 关于兀Oz 坐标而对称，兀y+yz 是关于y 的奇函数，所以

+ yz ）dv = 0:

如图所示,

奇函数，于是

+ a 2x 2

)dy