整合提升密码114

专训1 实数大小比较的八种技巧

名师点金：

实数的大小比较，可以根据实数的特征灵活地选择恰当的方法，除了常规的方法外，还有几种特殊的方法：开方法、平方法(立方法)、取近似值法、放缩法、作

差法、作商法等．

比较绝对值法

1．比较－－2与－－2的大小．

开方法

2．比较7与的大小．

平方法或立方法

3．比较－和－π的大小．

4．(1)比较2，3，的大小；

(2)比较与2.3的大小．

取近似值法

5．比较＋2与4.3的大小．放缩法

6．比较＋2与－2的大小．

作差法

7．比较和的大小．

作商法

8．比较和的大小．

特殊值法

2，按从小到大的顺序排列为．x，，x，将9．已知－1＜x＜0

专训2 全章热门考点整合应用

名师点金：

本章知识多考查实数的有关概念及实数的性质和运算，是初中数学的基础知识，常见的热门考点有平方根和立方根的概念、求法及应用，算术平方根的性质与应用，实数的分类、比较大小和运算等．其热门考点可概括为：三个概念，三个性质，一个关系，一种运算，一个技巧，两种思

想．

三个概念

概念1算术平方根与平方根

1．分别求出下列各数的平方根和算术平方根：

(1)0.022 5；(2)；(3)196.

立方根2概念．

2．(1)(中考·茂名)－8的立方根是；

(2)－0.027的立方根是；

(3)1是的立方根；

(4)6是的立方根．

概念3实数

3．在，，，－，3.14，0，－1，，－1|中，整数有；有理数有；无理数

有．

一个关系——实数与数轴的对应关系

4．实数m在数轴上对应的点的位置在表示－3和－4的两点之间且靠近表示－4的点，这个实数可能是( )

A．－3 B．－2 C．－D．－

三个性质

性质1平方根的性质

2＋＋1|＝0，那么a－＋5)b－c的值为．(b5．已知＋6．已知一个正数的两个平方根分别是x＋3和x－1，求这个正数的立方根．

性质2立方根的性质

7．若与互为相反数，求的值．

性质3实数的性质

8．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，计算－π|＋－的结果为( ) A．π＋B．π－

－πD．π－2

(第8题)

(第9题)

＝，则化简－－－的结果为b＝－，a在数轴上的位置如图，且b，a．实数9) (

2

．－A2 B．D．C．－2 0

实数的运算——一种运算

3÷|－2|×(－7．计算：－102＋5)．

一个技巧——比较实数大小的技巧

11．比较－与－的大小．

12．比较5和8的大小．

两种思想

思想1数形结合思想

13．(中考·资，则33，－，1，2，分别表示数－，)如图，已知数轴上的点AB，C，D，E2阳)

－的点P应落在线段( 表示数4

)

(第13题D．上．上B．上C．上A

分类讨论思想思想2 ，，的大小．14．比较a

答案

＝＋2，2||解：1．因为－－，2＝＋2|－－|

而＜，所以＋2＜＋2，

根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，

可知－－2＞－－2.

点拨：比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小．2．解：7＝＝＝.

因为56＞56, 所以＞，即7＞.

点拨：当要判断大小的两个数中只有一个数带根号时，可以给另一个数添加根号，然后比较根号下两个数的大小．2, 2. ，所以－＜－10＞ππ所以＞()3．解：因为π＝10，而点拨：把两个数都平方，然后比较大小．333，8＜20＜，3()＝27，27＝20，而4．解：(1)因为2＝83.

＜＜所以2332.3. ，所以＜，而10()＜＝10，2.312.167＝12.167(2)因为：点拨比较含立方根的几个正数的大小，一般先将各数同时立方，然后依立方后各数的大小来判断原来几个数的大小． 2.236, 5．解：因为≈ 4.236. 所以＋2≈4.3.

又因为4.236＜4.3，所以＋2＜点拨：先求出无理数的近似值，再比较两个数的大小．因为2＜＜8, ＜＜3, 76．解：2. 22，所以＋＜－3所以＋2＜＋2＝5＜－比较两个无理数的大小可以采用放缩法．点拨：. ，所以＜，所以＜．解：因为－＝，而－4＝－＜00，即－＜07 0点拨：先作差，然后与比较大小，最后确定这两个数的大小．8．解：因为÷＝×＝，而＜，

.

，所以＜1所以＜先作商，然后与点拨：1比较大小，最后确定这两个数的大小．2法拨点：本题可以用特殊值xx9＜＜＜22.

x x，＝－，则＝－求解，例如取x8x＝，＝－，因此＜＜＜

2＝0.022

5(±0.15)，所以0.022

1．解：(1)因为5的平方根是±0.15，即±＝±0.15；

0．022 5的算术平方根是0.15，即＝0.15.

(2)因为＝，所以的平方根是±，

即±＝±；的算术平方根是，即＝.

2＝196，所以196的平方根是(±14)±14，(3)因为即±＝±14；196的算术平方根是14，即＝14.

点拨：注意一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数．一个正数的算术平方根一定是正数．(4)216

(3)1 －2 (2)－0.3 2．(1) ，，－1|；，，－13.143．0，－1|；，－，，0：拨点型的无理数；是开方开不尽的数，所以是无理数；π是分数，所以是有理数；是是整数，3.14－＝－，是分数，所以是有理数；是有限小数，所以是有理数；0是无理数与有理数的差的形式，所以是无理数；是开方开不尽也是有理数；－1 1|＝1，所以是整数，也是有理数．的数，所以是无理数；－1|＝|2－4．D8

5．1，x因为一个正数的两个平方根分别是x＋3和－6．解：1. ＝－x－1＝0，解得3所以x＋＋x24. 所以这个正数是(x＋3)＝. 所以这个正数的立方根是因为与互为相反数，7．解：1－2b互为相反数，所以3a－1与2b. 3a＝2b－1＝－1，所以3a所以. ，所以＝b又因为≠0 8．B910. ＝(－28÷2×－2)原式＝．10解：：11．解＝，而＞，所以根据“两个负数，绝对值大的数反而小”，可|－|＝，|－|因为

知－＜－.

22＝64，所以5＞＝75，8解：12．因为(5)8.

点拨：当两个实数比较大小时，若有无理数，除了用平方法，也可以先把根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小．C13．. a＞＞a时，＝＝a；当＞1时，1aa解：14．当0＜＜1时，＞＞；当a＝：点拨＞0，综合得a≥≠，，的大小，必须知道要比较aa的取值范围，由知a0，由知a三＞；③＝；②＜＜的取值范围分为①，此时仍无法比较，因此可将0a0a1a1a1 种情况进行讨论．