固体物理(第6课)一维双原子链

这个原子离开平衡位置的位移记作：
r r r u(l, m) = R(l, m) − R0 (l, m)
晶格谐振理论
原子的平衡位置在对应的晶格格点上。 位移与原子间距比是小量，可以用简谐近似。 平衡位置由原子结合势决定，
r r 两个原子之间的结合势可用对势函数 U(ri − rj ) 表示
r r r r r0 r0 2 U(ri − rj ) = U0 + K( ri − rj − ri − rj ) / 2
表示所有原子均以频 率ω振动，波矢为q。
− mω2 A = β eiqa + e−iqa B − 2βA ⇒ 2 iqa −iqa − Mω B = β e + e A− 2βB
( (
) )
2β − mω2 A−[2β cos(qa)]B = 0 −[2β cos(qa)]A+ 2β − Mω2 B = 0
(
)
(
)
(
)
ω 当q →0时， 2 →
2β (m+ M) A M ， →− mM m B 2 x2n+1 = Aei[ω2t −q(2n+1)a] x2n+1 = Aα ⇒ i[ω2t −q(2n+2)a] x2n+2 = Be x2n+2 = Bα
同一原胞内的两个原子以相反的位相、 同一原胞内的两个原子以相反的位相、不同的 振幅振动，而原胞的质心保持不动。 振幅振动，而原胞的质心保持不动。所以长光学波 描述了原胞中原子相对质心的运动。 描述了原胞中原子相对质心的运动。
波矢k在FBZ中取值，共有NL种取值，等于原胞数。 总简正模式数是3naNL。
长声学波（q→0）反映了原胞的整体振动，长光学波 反映了原胞内各原子之间的相对振动。 一般情况下，原子的振动方向既不平行，也不垂直于 q（格波前进方向），只在一些特殊方向（通常是布里 渊区的对称轴方向）格波才可以分解成两个频率简并 的横波（振动方向与格波行进方向垂直）和一个纵波 （振动方向与格波行进方向垂直） 。 如果晶体是简单晶格（原胞只含一个原子），则只有 3 支声学波，而无光学波。 由于晶体的对称性，如ω（q）=ω(-q)，只要计算FBZ 中的一部分就可得到全部的ω。
π
Na
⋅l
N N Q− <q≤+ ⇒− < l ≤ + 2a 2a 2 2 l只能取 个不同的整数 N ∴q只能取 个不同的分立值，即： N个不同的分立值， 波矢的数目＝ 目 波矢的数目＝原胞的数
π
π
N个原胞，2N个原子 个原胞，2N个原子
3.2.3 声学波和光学波
(1)声学波 声学波
ω = (m+ M ) − m + M + 2mM cos(2qa) mM
2 1 2 2 1 2 1 2 4mM β 2 (m+ M)1− 1− = sin (qa) 2 mM (m+ M ) 4mM 1 2 令 则 当 ， sin (qa) = x， ： q →0时 x →0， − 1− x ≈ x 1 2 2 (m+ M)
M 设 > m，则：
2β ω2min = m 2β (m+ M) ω 2m = ax mM
色散曲线
ω(q)为周期函数，周期为 ←倒易原胞长度 为周期函数，
a
π
π π + 将q限制在－ ， ←第一布里渊区 2a 2a
周期性边界条件
N 设晶体中有 个原胞 x1 = x2N+1 ⇒ Aei(ωt−qa) = Aei[ωt −q(2N+1)a] ⇒e−i 2qNa =1 ∴2qNa = 2π ⋅ l(l ∈Z) ⇒ q =
复式面心立方） 硅晶体晶格振动的色散（复式面心立方） 纵 光 学 波
纵 声 学 波 2 2
5.三维晶格振动模型
Nl：原胞数，na:原胞中原子数，Mm：原子质量 波的数学形式可以表示为波动函数 晶格振动模型可以看作是三维的弹簧模型，第l个原胞 r 中的第m个原子的位置记为 R(l, m)
r r 此原子的平衡位置记为 R0 (l, m) = Rl + rm v r 其中 Rl是原胞顶点的格矢量， r 是原胞内某个原 m 子的中心与原胞顶点的距离。
3.2 一维双原子链的振动(一维复式格子的振动 一维复式格子的振动) 一维复式格子的振动 3.2.1运动方程及色散关系 运动方程及色散关系
d 2 x2n+1 = β (x2n+2 + x2n − 2x2n+1 ) m 2 dt 2 M d x2n+2 = β (x2n+3 + x2n+1 − 2x2n+2 ) 2 dt 设其试探解为： 设其试探解为： x2n+1 = Aei[ωt −q(2n+1)a] x2n+2 = Bei[ωt −q(2n+2)a]
1 3. E = ∑εi =∑(ni + )hωi 2 i=1 i=1
硅晶体的倒易原胞
硅晶体（ 硅晶体（FCC）的原胞中含两个原子，故n=2，倒易点 ）的原胞中含两个原子， ， 阵为体心立方，其维格纳-塞茨原胞（布喇菲原胞）6个 阵为体心立方，其维格纳 塞茨原胞（布喇菲原胞） 个 塞茨原胞 正方形的面中心对应于倒易点阵的6个 矢量， 个 正方形的面中心对应于倒易点阵的 个<001>矢量，8个 矢量 正六边形的面对应于倒易空间的8个 矢量。 正六边形的面对应于倒易空间的 个<111>矢量。 矢量
β
[
]
2β 2β 2β 2 2 ∴ω ≈ sin (qa) ≈ (qa) ⇒ω1 = ⋅ q ⋅a m+ M m+ M m+ M
2 1
2β ∴u1 = = ⋅a =常 数 长声学波可看成是在连续介 q m+ M 质中传播的弹性波。
ω1
2β − mω2 A− [2β cos(qa)]B = 0 ⇒ 2β − mω12 A− [2β cos(qa)]B = 0 − [2β cos(qa)]A+ 2β − Mω2 B = 0
(
)
(
)
(
)
A 2β cos(qa) ∴ = >0 2 B 1 2β − mω1 A 当q →0时， 1 →0 →1 ω ， B 1
π π − <q≤ 2a 2a ω1m = 2β ax M
x = Aei[ω1t−q(2n+1)a] 2n+1 ⇒ x2n+1 ≈ x2n+2 i[ω1t −q(2n+2)a] x2n+2 = Be
这个晶格振动的波动函数只在分立的格点R0处有值。
r i (ωt −kna)
r r R0 (l, m) = Rl + rm
其中k为波矢量，即波传播的方向。在三维情况下， 每个允许的波长，都有两个横波和一个纵波。横波的速 度相同，纵波的速度大于横波，是由于纵向弹性系数大 于横向弹性系数。 上式中j,k是晶格平面波解的参数，其中j代表3na支具 有不同频率ωj(k)的晶格振动波。。 当波矢K在FBZ中取值时，每个K对应3na振动模式， 故格波分为3na支，每一支有自己的色散关系，它们分为 3na –3只光学支和3 只声学支，其中声学支的特点是在 FBZ的中心，谐振频率为零，即 ω（q=0）=0。
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M mx = M(L − x) ⇒ x = ⋅L m+ M m(x′ + x2n+1 ) = M(L − x′ + x2n+2 ) ⇒ m(x′ + Aα ) = M(L − x′ + Bα ) A M ≈ − ⇒m A = M B B m M ⇒ mx′ = M(L − x′) ⇒ x′ = ⋅L m+ M
v h v h2 v h3 v 1. q = 1 b + b2 + b3, h、h2、h3 ∈Z 1 1 N1 N2 N3 v q点占据的体积： 平均一个 点占据的体积：示意图 v v v 3 3 b2 b3 1 (2π ) b 1 (2π ) 1 ⋅ × = ⋅ Ω* = ⋅ = N N N N1 2 N Ω V 3 1 V v v q的分布密度（单位体积 q点的数目）： 3 = 的分布密度（ 中 点的数目）： (2π ) (2π )3 V v q被限制在第一布里渊区
此时长声学波描述了原胞质心的运动,即晶体的平动. 此时长声学波描述了原胞质心的运动,即晶体的平动. 运动
长声学波除热激发外，还可以用超声波激发。 应用：超声波点焊机，集成电路。图
(2)Βιβλιοθήκη Baidu光学波
2β − mω2 A−[2β cos(qa)]B = 0 ⇒ −[2β cos(qa)]A+ 2β − Mω22 B = 0 −[2β cos(qa)]A+ 2β − Mω2 B = 0 π π 2 − 2a < q ≤ 2a 2β − Mω2 A ∴ = <0 B 2 2β cos(qa) ω2min = 2β m
v 2π ⋅ nx v 2π ⋅ ny v 2π ⋅ nz v I+ K k= J+ L L L
v k空间 波矢空间 状态空间
声学波 横波 光学波 2. 声学波 纵波 光学 波
3nN 3nN
TA(transvers e acoustical w ave) TO(transvers e optical w ave) LA(longitudin al acoustical w ) ave LO(longitudin al optical w ave)
一对原子产间的净相互作用力，正比于原子间距一对 理想晶格格点之间的偏移： r r r0 r0 Fij = −K( ri − rj − ri − rj )
三维晶格振动系统中每个原子的波函数为：
r r r 1 ua (l, m) = uma (k ) exp(−iωt + ik ⋅ Rl ) Mm
一 单 子 : xn = Ae 维 原 链 r r r r r r em ( j, k ) r u jk (R0 (l, m), t) = exp(−iωj (k )t + ik ⋅ Rl ) Mm
自由度：描述物体的空间位置所需的独立坐标数 自由度=m×n×N
晶体的维数： m 晶体的维数： 原胞中的原子数： n 原胞中的原子数： m：声 格波支数＝ mn 格波支数＝ m(n −1)：光
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4 三维晶格振动
v v v a1、a2、 3 a N N1、N2、 3 v v v b、b2、b3 1 N = N1N2 N3 n
[
]
[
]
1 2 β 2 2 2 (m+ M ) − m + M + 2mM cos(2qa) ω1 = mM 1 β 2 2 ω22 = (m+ M ) + m + M + 2mM cos(2qa) 2 mM
[
]
[
]
ω1 →q: 声学波 →q : 两种色散关系 ω2 →q : 光学波 ω1min = 0 2β ω1max = M
根据玻恩卡门条件，三维晶体中的波矢：
r 3 r∗ r∗ r∗ r∗ k = ∑(la / La )aa = (l1 / L1)a1 + (l2 / L2 )a2 + (l3 / L3 )a3
a=1
la为整数，La为三个方向上的原胞数。 为整数， 当k变动时
r Ghkl为倒易空间中任意矢量
r r r ωj (k ) = ωj (k + Ghkl )
(
)
(
)
⇒
2β − mω2
2β cos(qa)
2
− 2β cos(qa) 2β − Mω
=0
⇒
1 2 β 2 2 2 (m+ M ) − m + M + 2mM cos(2qa) ω1 = mM 1 β 2 2 2 ω2 = 2 (m+ M) + m + M + 2mM cos(2qa) mM
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光学波可用光波的电磁场激发，即称为光学波。
3. 晶格振动的一般结论*
一维单原子链 一维双原子链 N(1) N(2) 波矢数 模式数 格波支数 N N 1(声) 声 N 2N 2 1:声 声 1:光 光 三维晶体 N(n) N 3nN 3n 3:声 声 3(n-1):光 光
(1)晶格振动的波矢数＝晶体中的原胞数 (2)晶格振动的模式数＝晶体中原子的自由度数 (3)晶格振动的格波支数＝晶体原胞的自由度数