高一-三角形内角和外角平分线定理

A
D
C
证明： 过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
DB
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高， 则：
CD2 ADgDB; AC2 ADgAB; BC2 BDgAB

1gABgADgsin BAD 2
SVDAC

1 gCDgh 2

1gDAgACgsin DAC 2
Fra Baidu bibliotek
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几 节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个 结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中 有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介 绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其 中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度 的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和 “直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开， 难度不大.
D在AB边上,且
AD AC

1 3
, 则DE

5 _____3_______
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F
CD PAB，AD PBC
A
B
DE EF（平行于三角形一边的直线截其他两边，
AE EB 所得的对应线段成比例）
同理可得 : EF DF
EB DC
DE DF AE DC
例2：如图,
在VABC中，E为中线AD上的一点，DE AE

1 2
, 连结BE,
延长BE交AC于点F.求证 : AF=CF
DH DH AF CF
AF CF
例3 如图，已知：AB PCD,AC,BD交于O,OE PAB交BC于E.求证：
11 1 AB DC OE
证明：Q OE P AB
OE CE K K (1) AB BC
Q OE PDC
OE BE K K (2) DC BC
（1）（2）得：OE OE CE BE BC 1 AB DC BC BC BC
(或两边的延长线），所得的对应线段成比例
推论的基本图形:
A E B
A D
D
E
F
D
E
A
A
B
C
C B
CB
CD
E
DE DF AE DC
例1：如图，F是平行四边形ABCD边CD上一点，连结BF，
并延长BF交AD的延长线于点E.求证：DE DF
AE DC
E D
C 证明：Q 四边形ABCD为平行四边形
A
证明：作DH PAC,交BF于点H
HE
F
DH BD （平行于三角形的一边，并且和其他两边

相交的直线所截得的三角形的三边与原三
B
D
C
CF BC 角形三边对应成比例。）
Q D是BC的中点
DH BD 1 CF BC 2
同理可得：DH DE 1 AF AE 2
Q DE 1 AE 2
1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例
定理的基本图形： 如图，因为AD∥BE∥CF， 所以AB：BC=DE：EF; AB：AC=DE：DF； BC：AC=EF：DF 也可以说AB：DE=BC：EF； AB：DE=AC：DF； BC：EF=AC：DF
AD AB
平行线分线段成比例定理推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边
1 1 1 AB CD OE
三角形内角平分线定理：
A
在VABC中，若AD为BAC的
B
D
C
平分线，则：AB BD AC CD
三角形外角平分线定理：
E A
B C
在VABC中，AD为A的外角CAE
的平分线，
则：AB BD
D
AC CD
证明：
设VABC的高为h, 则：SVABD

1 gBDgh 2