关于二项展开式系数最大项的探究

关于二项展开式系数最大项的探究

目录

摘要 (15)

ABSTRACT (16)

引言 (17)

第一章特殊二项式和两个特殊的方程 (18)

1.1二项式简介 (18)

1.2求解二项展开式中系数最大项 (18)

1.3两个特殊的方程 (21)

第二章一般二项式和两个特殊的方程 (22)

2.1求解一般二项展开式中系数最大的项 (22)

2.2与两个特殊方程对应的二项式命题 (24)

第三章规范二项式与标准二项式 (25)

3.1求与两个特殊方程对应的二项式命题 (25)

3.2和两个特殊方程对应的二项式 (26)

3.3规范二项式与标准二项式的区别与联系 (27)

结束语 (28)

致谢 (29)

参考文献 (30)

引言

二项式知识点本身较为简单，但在数列、排列、组合的研究中有重要作用。特别是二项式定理，更是二项式的精华，更巧合的是二项展开式的二项式系数竟然与杨辉三角如出一辙，英国科学家牛顿，德国数学家高斯对二项式体系的形成具有重要贡献。二项式定理的应用较为广泛，求二项展开式中系数最大的项就是其中之一。

本文所研究的内容也源于对二项式的研究，主要研究二项展开式与方程之间的联系。

到目前为止，对二项式的研究已经形成了一个理论体系，特别是在数列，排列组合，分布的研究方面，二项式起到了重要的作用。而本文的发现（方程的标准二项式，规范二项式）则使得二项式的理论体系更加的完备。

本论文主要采用猜想和理论论证的方法对问题进行研究，预期成果是希望发现的理论为公众所认可，甚至写入教科书。

国内外对二项式的研究主要集中在理论方面的研究，早在13世纪阿拉伯人已经知道两项和的N次方的展开结果，1713年,B ERNOULLI证明了二项式定理,1665年牛顿大胆的猜想：二项式定理对于任意有理指数都是正确的。但是牛顿未能给出证明。直到1811年，高斯对此进行了严格的证明。至此，二项式理论体系已近于完备，后来的理论研究大多都围绕二项式定理，二项分布而展开。在实际应用方面，有关二项式应用的研究则相对较少，其中二项式期权定价模型就是二项式最重要的应用之一，随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋于正态分布，其优点是简化了期权定价的计算并增加了直观性，因此现在已经成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。

介于二项式的理论发展近于完备，其发展趋势必然会朝着实际应用方面发展，只有将理论与实际联系起来，理论知识才有可能有新的发展。

第一章 特殊二项式和两个特殊的方程

1.1 二项式简介 在初等代数中，二项式是只有两项的多项式，即两个单项式的和。二项式是仅次于单项式的最简单多项式,二项式定理实际上是初中学习的多项式乘法的继续,是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法,与概率理论中的二项分布有其内在联系,是学习概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识,二项式系数都是一些特殊的组合数,。众所周知，二项式定理是高中数学中的一个较为重要的知识点，那么二项式定理是怎样被发现的呢？通过探索,13世纪阿拉伯人已经知道两项和的n 次方的展开结果：

01222

33224554322345

()1

()()2()33()510105......

a b a b a b

a b a ab b a b a a b ab b a b a a b a b a b ab b +=+=++=+++=++++=+++++

为了便于研究其中的规律, 1544年德国数学家Stifel 把公式中字母的系数提取出来,称为二项式系数。他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和。用公式表示为:

11k k k n n n

C C C -+=+ 这个结果，中国数学家杨辉早在13世纪就发现了。

1654年法国数学家Pascal 发现二项式系数的规律,即通项公式:

k

k n n n n k n k n F k n ⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅--=-=321)1()2)(1()!(!! 1713年,荷兰数学家Bernoulli 对上面的公式给出了证明。于是便得出高中课本上的二项式定理：一般地，对于*∈N n 有：

01122211()n n n n r n r r n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C ab C b -----+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ 1665年牛顿大胆的猜想：二项式定理对于任意有理指数都是正确的。但是牛顿未能给出证明。直到1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。

1.2 求解二项展开式中系数最大项

常见的求二项展开式中系数最大项的题型主要有以下两类（例1，例2）。

例1，求二项式20

12x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭展开式中系数最大的项。

解：二项展开式的通项为2012012r

r r r T C x

-+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，不妨令二项展开式中的第1r +项系数最大。

则： 1120201

1202011221122r r r r r r r r C C C C --++⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎪⎨⎪⎩

由第一个不等式得：7r ≤

由第二个不等式得：6r ≥

故展开式中第7项和第8项得系数最大。

例2，求二项式20

12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中系数最大的项。 解：二项展开式的通项为2012012r

r r r T C x

-+⎛⎫- ⎪⎝⎭＝，故二项展开式中系数最大的项只可能出现在奇数项中。

则： 2120202

1202011221122r r r r r r r r C C C C --++⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎪⎨⎪⎩

且r 为偶数

由第一个不等式得：

()()()220!120!1!20!22!22!2r r r r r r -⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭

即：

23394620r r +-≤

由此我们可以得到方程23394620r r +-＝的判别式

2139434627065∆+⨯⨯＝＝

故:

r ≤≤即：

20.57.5r -≤≤

由第二个不等式得：