高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：

1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

一、命题的关系与真假的判断

1、相关链接

（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

（2）四种命题的关系的应用

掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。

2、例题解析

〖例1〗】(1)(2012·苏州模拟)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是______.

(2)(2012·岳阳模拟)命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的否命题是______

(3)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是______.

【解题指导】(1)、(2)先分清原命题的条件和结论，再根据四种命题的概念，写出逆命题、否命题.

(3)在判断四种命题的真假时，可根据原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.

【解析】(1)逆命题是将原命题的结论与条件互换位置，故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故该命题的否命题是“若a≤b，则a-1≤b-1”.

(3)原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题；原命题的逆命题为：若y=f(x)的图象不过第四象限，则函数y=f(x)是幂函数，此命题为假命题，又因为逆命题与否命题同真同假，所以否命题为假命题，故真命题的个数是1.

答案：(1)若一个数的平方是正数，则它是负数

(2)若a≤b，则a-1≤b-1

(3)1

〖例2〗以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．

①内接于圆的四边形的对角互补；

②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；

分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．

解析：对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；

逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；

否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；

逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．

对②：原命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ”，其中“已知a 、b 、c 、d 是实数”是大前提，“a ＝b ，c ＝d ”是条件，“a ＋c ＝b ＋d ”是结论．所以： 逆命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ”；

否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ”(注意“a ＝b ，c ＝d ”的否定是“a ≠b 或c ≠d ”只需要至少有一个不等即可)；

逆否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ≠b 或c ≠d ”．

逆否命题还可以写成：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ＝b ，c ＝d 两个等式至少有一个不成立”

说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假． 二、充分条件与必要条件的判定 1、相关链接 （1）利用定义判断

①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；

注：“p 是q 的充分条件”是指有p 就有q ，但无p 也可能有q ．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件．

②若q p ⇒，则p 是q 的必要条件；

注：ⅰ “q 是p 的必要条件”是指有q 才能有p ，但有q 未必有p ．如，一个偶数未必能被6整除(q ：为偶数，p ：能被6整除)．

ⅱp q ⇒⇔q p ⌝⇒⌝，即无q 必然无p ，可见q 对于p 来说必不可少。 ③若p q ⇒且q p ⇒，p 是q 的充要条件； ④

⑤p 是q 的必要而不充分条件．

⑥

（2）利用集合判断

记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若,A B ⊆则p 是q 的充分条件;

若A

B ，则p 是q 的充分不必要条件；

若,A B p q ⊇则是的必要条件；

若

B A ，则p 是q 的必要不充分条件；

若A=B ，则p 是q 的充要条件； 若

A

B ，且

，则p 是q 的既不充分也不必要条件。

注：p 与q 之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。 2、例题解析

〖例1〗(1)设集合A={x ∈R|x-2>0}, B={x ∈R|x<0},C={x ∈R|x(x-2)>0},则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

(2012·驻马店模拟)已知条件p:(1-x)(x+1)＞0，

条件:+q lg 有意义，则⌝⌝p q 是的( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

【解题指导】(1)求出集合C 及A ∪B ，根据两集合的关系判断.

(2)化简条件p 、q ，求出⌝p 与⌝q 后根据集合间的关系判断.

解析：(1)选C.集合C 的解集是{x|x<0或x>2}, ∵A ∪B={x|x<0或x>2},∴A ∪B=C ，故选C.

(2)选B.由(1-x)(x+1)＞0,得-1＜x ＜1，即条件p:-1＜x ＜1，则:⌝≤-p x 1或x ≥1.

由⎧+≥⎪-≥⎨+>2

1x 01x 00

得-1＜x ≤1. 即条件q:-1＜x ≤1，则:⌝≤-p x 1或x ＞1. ⌝

p

⌝q ，

但.⌝⇒⌝q p ∴⌝p 是⌝q ，的必要不充分条件，故选B.

〖例2〗已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的[ ]

A ．充分但不必要条件

B ．必要但不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

分析：利用韦达定理转换．

解析：∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，