利用导数研究不等式

利用导数研究不等式

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利用导数研究不等式

利用导数证明不等式在区间上恒成立的基本方法：

（1）构造函数（2）根据函数的单调性，或函数的值域、最值

证明注意：

（1）适用于不等式两边都含有单个变量时，

证明不等式（2）不适用于不等式两边分别是两个不相关

的变量的情况，

如：（如果不存在最值则使用值域的端点值比较）

1、教材99页B 组

利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：

(1)

)()(x g x f >)

()()(x g x f x h -=0

)(>x h x D

x x g x f ∈>),()(max

min 2121)()(,),()(x g x f D x x x g x f >⇔∈>),0(,sin π∈

（2）（3）（4）

)1,0(

,0

2∈

>

-x

x

x

,

1≠

+

>x

x

e x

,

ln>

<

e

x

x x

3

4

2、设

为实数，函数，(1)求的单调区间与极值.

(2)求证：当且时，

a a x e x f x 22)(+-=R

x ∈)(x f 12ln ->a 0>x

5

1

22+->ax x e x

6附加题：1、（2011新课标文）

（21）（本小题满分12分）已知函数

，曲线在点处的切

ln ()1a x

b

f x x x =++()y f x =(1,(1))f

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线方程为。

（Ⅰ）求、的值；

（Ⅱ）证明：当，且时，.

230x y +-=a b 0x >1x ≠ln ()1x

f x x >-

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利用导数研究方程解（函数零点）的情况

研究函数的零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化：

（1）已知含参函数存在零点（即至少一个

)(x f 0)( x f )(x f

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零点），求参数范围问题，一般可作为代数问题求. 即对方程参变分离，得到的形式，则所求的范围就是的值域.

（2）当研究函数的零点个数问题，即方程

的实根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解.

1、已知函数（1）求的单调区间；

（2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围.

0)(=x f )(x g a =a )(x g )(x f 0)(=x f )(x g a =0

,13)(3≠--=a ax x x f )(x f )(x f 1-=x m y =)

(x f y =m

10的取值范围

求实数有两个不同的交点，与若曲线的解析式求取得极值函数时，和且当是常数，、已知函数m x m x x g x f y x f x f x x a b a R x x bx ax x f )02(,3)()()2(;

)()1(.

)(21),0,,(,)(223≤≤---====≠∈-+=

不等式恒成立与存在性问题

题型一：

在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造函数.

（1）若函数在区间D 上存在最小值和最大值，则不等式在区间D 上恒成立；不等式在区间D 上恒成立；

)(x f min )(x f max

)(x f a x f >)(a x f >⇔min )

(a x f ≥)(a x f ≥⇔min

)(

不等式在区间D 上恒成立；不等式在区间D 上恒成立；（2）若函数在区间D 上不存在最大（小）值，

且值域为，则不等式（或）在区间D 上恒成立；不等式（或）在区间D 上恒成立；提醒：

（1）“分离参数法”，使得构造的函数中不含参数，避免了对参数的分类讨论；

（2）对于不等式验证区间端点值成立的情形，一般采用“不分离参数法”，它比“分离参数法”操作上简单.

希望同学们视不同情形，选择不同方法。

1、已知函数b x f <)(b x f <⇔max )

(b x f ≤)(b x f ≤⇔max )

()(x f ),(n m a x f >)(a x f ≥)(a m ≥⇔b x f <)(b x f ≤)(b n ≤⇔x

x x f ln )(=

（1）求的最小值；

（2）若对于所有都有，求实数的取值范围.

)(x f 1≥x 1)(-≥ax x f a

2、已知函数（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若在区间上，恒成立，求实数的取值范围.

)

(,ln )(R a x a x x f ∈+=1=a )(x f 1=x )(x f [)+∞,e 1)(≥x f a

3、设函数（1）证明：的导数；

（2）若对所有都有，求实数的取值范

围.x

x e e x f --=)()(x f 2)(/≥x f 0≥x ax x f ≥)(a