复变函数第七章_傅里叶变换(2)
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§7-2 傅立叶变换的性质
注：在下列性质中，设凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理的条件 一、线性性质
设F ()[]()ωk k F t f =，k c 是常数(k =1,2,……,n)，则有
F ()()()[]()()()ωωωn n n n F c F c F c t f c t f c t f c +++=+++ 22112211 （7-2-1） 即或
F ()()()[]()()()t f c t f c t f c F c F c F c n n n n +++=+++- 221122111ωωω (7-2-1)’ 二、位移性质 ： 设F ()[]()ωF t f = ，则有：
（1） F ()[]()ωωF e a t f a j ±=± （a 为实数）， (7-2-2)
即 F ()[]
()a t f F e a j ±=±-ωω1 (7-2-2)’
（2） F ()[
]
()00ωωω F t f e
t
j =± (7-2-3)
即 F ()[]()t f e
F t
j 001ωωω±-= （0ω为实数）
(7-2-3)’
说明：性质（1）又称为时域上的位移性质。性质（2）又称为频域上的位移性质。
当 F ()[]()ωF t f =时，由欧拉公式t t e t j ωωωsin cos +=和性质（2）还可得到一个推论：F ()[]()()][21
cos 000ωωωωω-++=
F F t t f (7-2-4) F ()[]()()][2
1
sin 000ωωωωω--+=F F j t t f (7-2-4)’
例1
由 F []4
/2
2
ω
π--=
e e t
计算F ()[]
2
a t e --和F []
t e t 2cos 2
-。
解：由时域上的位移性质（7-2-2）式得 F [
])
4/()(22
ωωπ----=
a j a t e
e
由频域上的位移性质（7-2-4）式得
F [
]
()
][2
2cos 4
/24
/)
2(2
2
2
--+--+=
ωωπ
e e t e
t
三．微分性质 已知 F ()[]()ωF t f =，若：
（1） 若±∞→t 时, 0)(→t f ； （2） )('
t f 存在且除有限个间断点外连续。
则 F ()[]
()ωωF j t f ='
(7-2-5)
即 F ()[]()t f F j '1=-ωω (7-2-5)’ 推论：已知 F ()[]()ωF t f =，若：
（1）若±∞→t 时, ()()1,,2,1,00
)(-=→n k t f k ；
（2）())(t f n 存在且除有限个间断点外连续。
则 F ()()[]
()ωωF j t f n n )(= (7-2-6) 即 F ()[]
()()t f F j n n =-ωω)(1 (7-2-6)’ 象函数的微分性质： 已知 F ()[]()ωF t f =，若：
（1）若±∞→ω时, ()()1,,2,1,00
)(-=→n k F k ω ；
（2）())(ωn F 存在且除有限个间断点外连续。
则 F ()()()[]
()t f t F j n n n
)(1=-ω 即 F ()[]
()()()ωn n
n F j t f t = (7-2-7)
对n=1有
F ()[]
()t tf jF =-ω'1 即 F ()[]()ω'jF t tf = (7-2-7)’ 实际上常用（7-2-7）式来计算 F ()[]
t f t n
。
例2
对于指数衰减函数()()⎩⎨
⎧<>>>=-0
0,0,0t A t Ae t f t
ββ， 我们已知()ω
βωj A
F +=（由习题7.1第5题结果），求：F ()[]t tf 和F ()[]
t f t 2 。
显然， ()ωF 满足式（7-2-7）成立的全部条件，故有
F ()[]t tf ()2
2)(ωβωβj A
j jA j
+=
+-=
F ()[]
t f t 2
=()3
2
)
(2''ωβωj A
F j +=
四、积分性质 已知 F ()[]()ωF t f =，
若()()0−−
→−=
+∞
→∞
-⎰t t
dt t f t g ，（即 ()00=F ）,则 F ()[]t g =F ()()ωω
F j dt t f t
1
][
=⎰
∞
- ,即F
()[]()()⎰∞--==t
dt t f t g F ω1
。 (7-2-8)
例3 设()⎪⎩
⎪
⎨⎧><<-<<-=2
/002//22/0/2τττ
ττt t A t A t f 称 ()⎪⎩
⎪
⎨⎧><<-+<<-==
⎰
∞
-2
/002//22
/0/2)(τττ
ττt t At A t At A dt t f t g t
为单个三角形脉冲，见图（7-4）
图7-4
显然 ，并且在()t f 的连续点处有()t f t g =)('且()()0−−
→−=+∞
→∞
-⎰t t
dt t f t g 。又因为()t f 为奇函数，故有
()()⎪
⎭
⎫
⎝⎛-==
=⎰
⎰+∞
∞
--2cos 14sin 42
/0
ωττωωτ
ωτωjA tdt Aj
dt
e t
f F t j
于是由积分性质得 F ()[]t g ()⎪⎭⎫
⎝
⎛-==
2cos 1412ωττωωωA F j 。