第二章矢量分析ppt

Stocke’s定理
• 矢量函数的线积分与面积分的互换。
• 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间
图 2.4.3 斯托克斯的定关理系 在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。
2.5 亥姆霍茨定理
亥姆霍茨定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。
标量场
如温度场,电位场,高度场等;
矢量场
如流速场,电场,涡流场等.
形象描绘场分布的工具--场线 标量场--等值线(面). 其方程为
h (x, y, z) const
矢量场--矢量线
其方程为
Adl 0
图2.1.2 矢量线
图2.1.1 等值线
在直角坐标下:
二维场wk.baidu.com
Ax Ay dx dy
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？三维场
二•. 标梯量度场的的物梯理度意是义一个矢量,是空间坐标点的 函数;
• 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方
向，它指向函数的增加方向.
例1 三维高度场的梯度
例2 电位场的梯度
图2.2.1 三维高度
场的梯度 高度场的梯度 • 与过该点的等高线垂直； • 数值等于该点位移的最大变化
球坐标系的体积元
1.矢量加减运算
矢量运算
设

A Axeˆx Ay eˆy Az eˆz
B Bxeˆx Byeˆy Bzeˆz
则 A B (Ax Bx )eˆx (Ay By )eˆy (Az Bz )eˆz
A B (Ax Bx )eˆx (Ay By )eˆy (Az Bz )eˆz
1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都 相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。
2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同， 即 F=f(r,)，则称这个场为轴对称场。
3,球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即 F=f(r)，则称这个场为球面对称场。
2. 矢量点乘与叉乘
A B Ax Bx Ay B y Az Bz
A B ABcos
eˆx eˆ y eˆz A B Ax Ay Az
B x By Bz
A B eˆn AB sin
单位矢量点乘与叉乘
eˆx eˆy eˆz eˆz
eˆz eˆz
2.2 标量场的梯度
一. 梯度
设一个标量函数(x,y,z),若函数 在点P可微,则 在点P沿任意l 方
向 的方向导数为: ( , , )(cos ,cos ,cos ) l x y z
设
el (cos ,cos ,cos )
式中 ， ， ，分别是与x,y,z轴的夹角
• 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡 旋 • 若源矢)；量场处处A=0，称之为无旋场。
四、斯托克斯(Stockes)定理
A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的
环量。因此，其面积分后，环量为
liA dli ( A) dSi
l A dl S ( A ) dS
净通量的大小判断闭合面中源的性质:
图2.3.1 矢量场的通量
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
图0.3.2 矢量场的通量
> 0 (有正源)
二、散度
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时, 通量
与体积之比的极限存在，即
divA

lim
v0
1
v
A dS
S
计算公式
率• 指；向地势升高的方向。
图2.2.2 电位场 的梯度 电位场的梯度
• 与过该点的等位线垂直；
• 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位增加的方向。
2.3 矢量场的通量与散度 一、通量
矢量 E 沿有向曲面S 的面积分
E dS S
若S 为闭合曲面 E ds ，可以根据 s
则有:

l
当 ( g,el ) 0
g el | g | cos(g, el )
,即el g与 方向一致时l,
为最大.
g


x
ex


y
ey


z
ez


grad
梯度(gradient)
式中 ( , , )
x y z
哈密顿算子
作业 .
试证明下列各题
1.

1 rr ,
rr , r r , 3
2. 0 3. A 0
式中： r xex yey zez r xex yey zez
( x,y,z )
A Axex Ayey Azez
第二章 矢量分析
曲线正交坐标系 dl
单位矢量
，ex
e，y
ez
任意矢量A在直角坐标系下的表达式
A Axex Ayey Azez
长度元矢量
dl dlxex dlyey dlzez
长度元
dlx=dx
dly=dy dlz=dz
面积元
体积元
单位矢量
• 矢量函数的面积分与体积分的互换。
高斯公式
• 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。
2.4 矢量场的环量与旋度
一、环量 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分
LA dl
环量
该环量表示绕线旋转趋势的大小。
例：流速场
图2.4.1 环量的计算
图0.4.2 流速场
水流沿平行于水管轴线方向流动 =0，无涡旋运动
它与环量密度的关系为
rot A A
d rot A en
dS
在直角坐标系下
ex ey ez
A
x
y
z
Ax Ay Az
旋度(curl)
三、旋度的物理意义 • 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 • 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 • 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。
已知
矢量A的通量源密度 矢量A的旋度源密度 场域边界条件
在电磁场中
电荷密度
电流密度J （矢量A唯一地确定） 场域边界条件
例：判断矢量场的性质
F ? =0 F ? =0
F ? 0 F ? =0
F ? =0 F ? 0
2.6 三种特殊形式的场
四、高斯公式(散度定理)
divA

lim
v0
1
v
A dS
S
由于 A 是通量源密度，
即穿过包围单位体积的闭合面的
通量，对 A 体积分后，为穿
出闭合面S的通量
图2.3.3 散度定理


A dS
S

lim
n Vn 0

n1
AVn

AdV
V
SA dS V AdV
计算题
1.已知一半径为 0 ，载电流为I的无限长直导线产生的磁场强度
H的分布为
0 时，
试求：

H dl
H

I 2
eˆ
2. 已知点电荷q所产生场分布为
试求: D dS
D

q 4r 2
eˆr
2.1 标量场和矢量场 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点 都有一个确定的标量值或矢量. 例如,在直角坐标下,
divA A
Ax x

Ay y

Az z
三、散度的物理意义
散度(divergence)
• 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
• 散度代表矢量场的通量源的分布特性
• A= 0 (无源）
• A= 0 (正源)
• A= 0 (负源)
在矢量场中，若• A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场 中处处• A=0，称之为无源场。
流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源
二、旋度 1. 环量密度
过点P作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手 螺旋法则。当S点P时,存在极限
d lim 1 Α dl 环量密度
dS S P S L
取不同的路径，其环量密度不同。
2. 旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。
e e ez
任意矢量A在直角坐标系下的表达式



A Ae Ae Azez
长度元 面积元 体积元
柱坐标系的体积元
球坐标系
单位矢
量 er e e
任意矢量A在直角坐标系下的表达式
A Arer A e Ae
长度元 面积元 体积元