对偶问题的基本性质

x1
-1 -1
x2
-1 -2
x3
1 0
x4
0 1
-2
-1/2 1/2 -1/2 1 0 0
-3
0 1 0 0 1 0
0
1 0 0 -2 1 -1
0
-1/2 -1/2 -3/2 1 -1 -1
对偶单纯形法步骤：
1.列初始单纯形表，使得所有检验数j 0 ；
2.出基变量：取min {bi<0 }= bl → x(l) cj-zj 3.入基变量：min{—— |alk<0}= → xk
*
x1 2 x 2 2 3 x1 x 2 3
x1 0.8 x 2 0.6
z* 5
例：LP问题 min w 2 x1 3x 2 5 x3 2 x 4 3 y5 s.t x1 x2 2 x3 x4 3x5 4 2 x1 x 2 3x3 x4 x5 3 x1, x 2, x3, x 4, x5 0 4 3 对偶问题最优解为y ( , ), 试用对偶理论找出原问题的最优解 5 5
max z'=-2x1-3x2+0x3 +0x4

s.t - x1-x2+x3=-3 - x1-2x2+x4=-4 xj 0, (j=1,2,3,4)
列单纯表计算：
Cj → CB XB b 0 x3 -3 0 x4 -4 cj - zj 0 -3 x3 x2 cj - zj -2 x1 -3 x2 cj - zj 2 1 -1 2 -2 -3 0 0
Y0AX0 ，
Y0 A C ， ∴ CX0
∴
CX0 Y0 AX0 Y0 b
（2）最优性：
若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解，且 CX0 = Y0 b 则 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证明：设 X* ——原问题最优解， Y* ——对偶问题最优解
则
但
CX0 CX* Y* b Y0 b
∴ CX0 = CX* = Y* b = Y0 b
CX0 = Y0 b 证毕。
（3）无界性 若原问题(对偶问题）最优解无界，则对偶问题 （原问题）无可行解
证：有性质1，C X0 Y0 b，当 CX0 ∞ 时，则不可
能存在Y0，使得 C X0 Y0 b 。
解：对偶问题为
min w 2 y1 3 y 2 5 y3 2 y 4 3 y5 s.t y1 y 2 2 y3 y 4 3 y5 4 2 y1 y 2 3 y3 y 4 y5 3 y1, y 2, y3, y 4, y5 0
y (1, 0, 0, 0,1),由于y1, y5 0,由互补松弛性
*
（6）原问题的检验数行对应对偶问题的一 个基本解
5 对偶单纯形法
例：
min z=2x1+3x2 s.t x1+x23 x1+2x2 4 x10, x20 标准化 max z'=-2x1-3x2+0x3 +0x4 s.t x1+x2-x3=3 x1+2x2-x4=4 xj 0, (j=1,2,3,4)
若 -Y * = -CBB-1 0，则
Y* 0
因此， Y*是对偶问题的可行解， 又 CX* = CB (B-1 b) = CB B-1b = Y* b ∴ Y*是对偶问题的最优解。
原问题和对偶问题解之间关系：
原问题（或对偶问题） 有最优解 无界 对偶问题（或原问题） 有最优解 无可行解
无可行解
无可行解或无界
例 证明如下LP问题无界
min z x1 x 2 x3 s.t x1 x3 4 x1 x 2 2 x3 3 x1, x 2, x3 0
（5）互补松弛性
ˆ, y ˆ分别为原问题和对偶问题的可行解，则 若x ˆ, y ˆ为最优解的充要条件为yx ˆ s 0, ys x ˆ 0 x
i 1
m
例：已知如下问题的对偶问题最优解为 y* (1,0,0,0,1) 求原问题的最优解
max z 4 x1 3 x 2 s.t x1 2 x 2 2 x1 x 2 3 2 x1 3 x 2 5 x1 x 2 2 3 x1 x 2 3 x1, x 2 0
ˆi 0, 则对应着原问题的一个约束为等式， ˆ j bi (1)若y aij x
j 1 n
ˆ j bi，则y ˆi 0 (2)若 aij x
j 1
n
ˆ j 0, 则对应着原问题的一个约束为等式， ˆi c j (3)若x aij y
i 1
m
ˆi c j，则x ˆj 0 (4)若 aij y
3
对偶问题的基本性质
Max z = CX Min w = Y b Y 0 s t . YA C
s t .AX b X 0
(1) 弱对偶性：
若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行 解,则 CX0 Y0 b
证明 ∵ Y0 0，
而
AX0 b， ∴ Y0 AX0 Y0 b，
注：逆定理不成立，即 如果原问题（对偶问题）无可行解，那么 对偶问题（或原问题）“解无界”不成立。
（4）强对偶性（对偶定理） 若原问题有最优解，则对偶问题一定有最优解， 且有 z max = w min
证： 由 = C- CB B-1 A 0 得 Y* A C 令 CBB-1 = Y* ，
alj
4.主元素： [alk] 5.迭代：同单纯形法，新单纯表中pk化为单位向量 说明：
10 使用对偶单纯形法时，初始表中检验数必须全部为j 0，即使得 其对偶问题为可行解，
20 为便于说明，这里采取从原问题角度叙述迭代步骤。
例：解如下规划问题
m i nx1 x 2 x 3 3 x1 x 2 x 3 1 s .t . x 1 4 x 2 x 3 2 x , x , x 0 1 2 3