第五章不定积分sect51不定积分的概念和性质

d[ f ( x)dx] f ( x)dx;
dF( x) F( x)+C.
二、 基本积分表
积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一 个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。
将基本导数公式从右往左读，（然后稍加整理） 可以得出基本积分公式（基本积分表）。
(1) kdx kx C (k是常数);
第五章 不定积分
§5.1 不定积分的概念和性质
1. 原函数与不定积分的概念 2. 基本积分表 3. 不定积分的性质 4. 小结
{ { 导数
微分学 微分
不定积分 积分学
定积分
求导数与求微分统称为微分运算，记为“d”:
d
F( x) F( x) f ( x), dF( x) f ( x)dx
其逆运算称为（不定）积分运算，记为“ ”
一、原函数与不定积分的概念
定义 若在 I 上恒有 F(x)=f(x)（即 dF(x)=f(x)dx），
称 F(x) 为 f(x) 在 I 上的一个原函数。
例 sin x cos x , x (,),
sin x 是 cos x 在I (,)上的一个原函数。
ln | x | 1 ( x 0),
f ( x)是sec2 x sin x的一个原函数。
由 sec2 x sin x dx tan x cos x C,
及 f (0) 5, 得 C 6,
所求曲线方程为 y tan x cos x 6.
四、小结
1. 原函数的概念：F( x) f ( x) ；
2. 不定积分的概念： f ( x)dx F ( x) C ；
x ln | x | 是 1 在(0, )上的一个原函数,
x 也是 1 在( ，0)上的一个原函数。
x
考虑原函数的表达式：
设 F( x) 为 f ( x) 在 I 上的一个原函数，则G( x) 为 f ( x) 在 I 上的一个原函数 G( x) f ( x) F( x) x I (G( x) F( x)) 0 G( x) F( x) C
G(x) F(x) C.
f ( x) 在 I 上的原函数全体为 {F( x) C | C R},
其中F( x) 为 f ( x) 在 I 上的任一个原函数,
f (x) 在 I 上的原函数具有一般表达式：F ( x) C.
不定积分（或原函数）的存在性与唯一性：
1、存在性：
（1）不是每个函数在定义区间上都有原函数； （2）在 I 上的连续函数一定有原函数（即：一定有 不定积分），
x C1, x 0
假设有原函数F ( x) 则 F ( x) C2 ,
x0
由 F ( x)在x 0连续
x C3 , x 0
F (0 ) F (0 ) F (0) C1 C3 C2
x C , x 0,
F ( x) C
x 0, | x | C,
x C , x 0.
基 (2)
x dx
x1 C
1
( 1);
本 积 分
(3)
(4)
dx x
ln |
x|
C;
1
1 x
2dx
arctanx
C
arccot
x
C;
表
1
(5)
1
dx x2
arcsinx
C
arccos
x
C;
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
(8) sec2 xdx tan x C;
(9) csc2 xdx cot x C;
基 本
(10)
sec x tan xdx sec x C;
积 (11) csc x cot xdx csc x C;
分 表
(12)
(13)
e xdx e x C;
a
xdx
ax ln a
C;
(14) shxdx chx C;
(15) chxdx shx C.
求不定积分的基本思想（仍然）是化繁为简— —将所求积分化为基本积分表中的积分。
例4 求 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
根据幂函数的积分公式
x dx
x 1
1
C
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
（恒等变形法）
2
三、 不定积分的（线性）性质
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx. （k 是常数，k 0)
例5
( 1
3 x2
1
2
x
2
)dx
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C.
例6 (an xn an1 xn1 a1 x a0 )dx (an 0)
an xndx an1 xn1dx a1 xdx a0 dx
an xn1 n1
an1 n
xn
a1 2
x2
a0 x C
例7
1 x x2 x(1 x2 )
dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln x C.
例8
1 2x2
x2 (1
x
2
dx )
（1 x2） x2 x2(1 x2 ) dx
例11
5x 3e x 2x1
dx
( 1 ( 5 )x ( 3)( e )x )dx 22 2 2
1 2
(
5)x 2
dx
(
3 2
)
(
e )xdx 2
1
(5)x 3 (e)x C.
2(ln 5 ln 2) 2 2(1 ln 2) 2
例12 ( x x )(3x 3 x ) dx 2xx
3. 基本积分表； 4. 求微分与求积分的互逆关系； 5. 不定积分的（线性）性质； 6. 求不定积分的基本方法：将所求积分转化为 基本积分表中的积分。
思考题
1, x 0 符号函数 f ( x) sgn x 0, x 0
1, x 0
在 (, ) 内是否存在原函数？为什么？
解答： 不存在.
1 x2
dxBaidu Nhomakorabea
1
1 x
2
dx
1 arctan x C. x
例9
1
1 cos
2x
dx
1 2 cos 2
x
dx
11
2 cos2
dx x
1 2
sec2 xdx 1 tan x C . 2
例10 cot2 xdx (csc2 x 1)dx csc2 xdx dx cot x x C.
y=F(x)+C y=F(x)
微分运算与求不定积分的运算是互逆的:
d
F( x) F( x), dF( x)
= =
F ( x) C f ( x), f ( x)dx
由此可知：
(1)
d dx
f ( x)dx
f ( x),
(2) F( x)dx F ( x)+C,
( 2)
例3 dx x C.
1
5
7
3
1
(3 x 4 x12 3 x 4 x12 )dx
2
1(
3
5 1
x4
2 51
1
7 1
x12
3
3 1
x4
7 1
3 1
1
1
1
1
x 12
1
)
C
4
12
4
12
*例 13 已知一曲线 y=f(x) 在点(x, f(x))处的切线斜率为 sec2x+sinx，且此曲线与 y 轴的交点为(0, 5)，求此曲线 的方程. 解 f ( x) sec2 x sin x,
但F ( x)在x 0处不可微， 故假设错误。
所以 f ( x) 在 (, ) 内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.
2、唯一性：
（1） f ( x)dx 作为 f 的原函数族是唯一的；
（2） f ( x)dx F ( x) C作为 f 的原函数的一般表达式,
在形式上不唯一。
例1 求 dx ( 1dx).
解 x 1 , x I ( , ),
x 为1 在 I (,)上的一个原函数 ,
dx x C, x (,).
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
注 f ( x)的一个原函数的图形称为 f ( x) 的一条
积分曲线.
求不定积分得到一个积分曲线族 y=F(x)+C.
斜率f(x) x
( 又 ( x 1) 1, x (,),
dx ( x 1) C, x (,).)
注 检验积分结果正确与否的基本方法是：
积分结果的导函数 被积函数。
例2 设曲线通过点（1, 2），且其上任一点处的切线 斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 f ( x) 2x,