数列的极限知识点-方法技巧-例题附答案和作业题

数列的极限
一、知识要点
1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．
某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作
lim n n a a →∞
=．
（注：a 不一定是｛a n ｝中的项） 2几个重要极限：
（1）01
lim
=∞→n n （2）C C n =∞
→lim （C 是常数） （3）()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧-=>=<=∞
→1,11,110lim a a a a a n n 或不存在，
（4）⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧<=>=++++++++----∞→)()()(0lim 0
11101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在
3. 数列极限的运算法则:
如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞
→∞
→那么
B A b a n n n +=+∞
→)(lim B A b a n n n -=-∞
→)(lim
B A b a n n n .).(lim =∞
→ )0(lim
≠=∞→B B A
b a n
n n 4．无穷等比数列的各项和
⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞
=
⑵1
lim ,(0||1)1n n a S S q q
→∞
==
<<- 二、方法与技巧
⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.
⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形） ⑶求数列极限最后往往转化为
()N m n
m ∈1或()1<q q n
型的极限.
⑷求极限的常用方法： ①分子、分母同时除以m n 或n a .
②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限. ③利用已知数列极限（如() 01
lim
,10lim =<=∞→∞
→n
q q n n n 等）. ④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.
⑤∞－∞,
∞
∞
,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限
题型讲解
例1 求下列式子的极限： ①n
n
n )1(lim
-∞
→； ②∞→n lim 112322+++n n n ； ③∞→n lim 11
22++n n ； ④∞→n lim 757222+++n n n ; （2） ∞
→n lim （n n +2－n ）;（3）∞
→n lim （
22n +24n + (22)
n
） 例2 ()B A b a B b A a n n n n n n n +=+==∞
→∞
→∞
→lim lim ,lim 是的（ ）
A 充分必要条件
B 充分不必要条件
C 必要不充分条件
D 既不充分又不必要条件
例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且n
n n b a ∞→lim =3,求n n
n nb a a a 221lim +++∞→ 的
值为
例4 求n
n n
n n a a a a --∞→+-lim （a >0);
例5 已知1)1
1
(
lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值;
例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞
→n lim （
q a +11－q n ）=2
1
,求a 1的取值范围
例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．
（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；
（2）求∞
→n lim 1
122+-+-n n n n a a 的值．
数列极限课后检测
1下列极限正确的个数是（ ）
①∞→n lim αn 1
=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞→n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞
→n lim C =C （C 为常数） A 2 B 3 C 4 D 都不正确 3下列四个命题中正确的是（ ）
A 若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝A
B 若a n ＞0，∞
→n lim a n ＝A ，则A ＞0
C 若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2
D 若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞
→n lim b n
5若数列{a n }的通项公式是a n =2
)
23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）
等于（ ） A 2411 B 2417 C 2419 D 24
25
6数列{a n }中,n a 的极限存在，a 1=51
,a n +a n +1=15
6+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ）
A 52
B 72
C 41
D 25
4 7．∞→n lim n n ++++ 212=__________ ∞→n lim 3
2222-+n n
n =____________
∞
→n lim ［n （1－
31）（1－41）（1－51）…（1－2
1+n ）］= 8已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn c
an ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim a
cn c an ++22的值是（ ）
9 {a n }中a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则
∞
→n lim
2
)
1(+n a n =_____________
10等比数列{a n }公比q =－
21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=3
8
,则a 1=_____________
11已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）
（1）求{b n }的通项公式；（2）求∞
→n lim （
212-b +213-b +214-b +…+2
1
-n b ）的值 12已知{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞
→n lim
n n b a =2
1, 求极限∞
→n lim （
111b a +221b a +…+n
n b a 1）的值
∞－∞=0;②原式=∞
→n lim
n n +2－∞
→n lim n =∞－∞不存在
对于（3）要避免出现原式=∞
→n lim 22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim 22n
n =0+0+…+0=0这样的错误 例2 B
例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且n
n n b a ∞→lim =3,求n n
n nb a a a 221lim +++∞→ 的
值为
解：由n
n
n b a ∞→lim
=3⇒d 1=3d 2 ，
∴n n n nb a a a 221lim +++∞→ =212
11
14])12([2)
1(lim d d d n b n d n n na n =-+-+
∞→43 点评：化归思想 例4 求n
n n
n n a a a a --∞→+-lim （a >0);
解：n
n
n
n n a a a a --∞→+-lim =⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<-=+-=>=+-∞→∞→).
10(111lim ),1(0),1(11111lim 2222a a a a a a a n n
n n n n 点评：注意分类讨论
例5 已知1)1
1
(
lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 解：1
1
)()1(lim 2++-+--∞→n b n b a n a n =1，
∴ ⎩⎨
⎧=+-=-1
)(0
1b a a ⇒a=1,b=─1
例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞
→n lim （
q a +11－q n ）=2
1
,求a 1的取值范围 解: ∞
→n lim （
q a +11－q n ）=2
1
,
∴∞
→n lim q n 一定存在∴0＜|q |＜1或q =1
当q =1时，
2
1a －1=21
,∴a 1=3
当0＜|q |＜1时，由∞
→n lim （
q a +11－q n ）=21得q a +11=2
1
,∴2a 1－1=q ∴0＜|2a 1－1|＜1∴0＜a 1＜1且a 12
1 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠
2
1
或a 1=3 例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．
（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；
（2）求∞
→n lim
1
122+-+-n n
n n a a 的值．
解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,
∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －
1
∴S n ＝⎪
⎩⎪
⎨⎧≠>--=).
10(1)
1(3)1(3c c c
c c n n 且
（2） ∞
→n lim
1
122+-+-n n
n n a a ＝∞→n lim n
n n n c c 32321
1+--- ①当c =2时，原式＝－
4
1; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim c
c c n n 3)2(23
)2
(11+⋅---＝－c 1;
③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 1
1
)2
(32)2(31--⋅+-n n c c c 21点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用 试卷解析 1 答案:B
3解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ；
取a n ＝
n
1
，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．答案:C
5 解析:a n =⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧-++--+--------),
(2
2323),(2)
23(23为偶数为奇数n n n
n n
n n n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).
3),
(2(
为偶数为奇数n n n n
∴a 1+a 2+…+a n =（2－
1+2－
3+2－
5+…）+（3－
2+3－
4+3－
6+…）
∴∞
→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=
4112
1313
2122
2
21-=-+
-----+9
1191
-
=.2419
答案:C
6 解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =
51
+[256+35
6+…+n 5
6]+a n ∴原式=21［51+5
11256
-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ）
∵a n +a n +1=
1
5
6+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0∴∞
→n lim a n =0 答案:C
7 解析:原式=∞→n lim
2
)1(2
++n n n =∞→n lim 221212n
n
n ++=0
∞→n lim 32222
-+n n n =∞→n lim 2
3221n
n -+2
1 解析: ∞→n lim ［n （1－
31）（1－41）（1－51）…（1－2
1+n ）］
=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］=∞→n lim 2
2+n n
=2 答案:C 8解析: 答案:D 由∞→n lim c
bn c
an ++=2,得a =2b
由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b ∴c
a =6∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 2
2n
a c n c
a ++
=c a =6
9析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）∴{n a }是公差为3的等差数列，1a
∴n a =3+（n －1）·3=3n ∴a n =3n 2
∴∞→n lim 2)1(+n a n
=∞→n lim 12322
++n n n =∞→n lim 2
1
213n
n ++=3
10析:∵q =－
2
1,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4
111-
a =38
∴a 1=2 11 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1
n =2时，a 2=6代入得a 3=15同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n
①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立
那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=1
1
-+k k （a k －1）
=11-+k k （2k 2－k －1）=1
1-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1） ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2
（2）∞
→n lim （
212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161
+…+2
212-n ）
=
21∞→n lim ［
311⨯+4
21
⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =
41∞→n lim ［1－31+21－41+…+
11-n －11+n ］=41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=83
12 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2
∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）,∴2d 2－3d 1=2
又∞
→n lim
n n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =2
1,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2
∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）∴原式=∞→n lim 41（1－1
21+n ）=41。