数字信号处理-王雪梅老师

时域离散随机信号处理及实现（王雪梅老师）作业1

（1）按下表整理复习离散傅立叶变化相关内容

作业2

（1）用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器，要求通带和阻带具有单调下降特性。具体指标参数：πω2.0=p ，dB p 1=α，πω35.0=s ，dB s 10=α. （2）用双线性变换法设计上述数字低通滤波器。 （3）对上述两种方法所求结果进行分析、比较。

(1)脉冲响应不变法

相应的模拟滤波器的指标，取采样周期T=1s ，

0.2,1p

p p rad s db

T

ωπαΩ===

0.35,10s

s s rad s db

T

ωπαΩ=

==

题设要求通带和阻带具有单调下降特性，所以选择巴特沃斯滤波器。

通带波纹幅度参数：0.5088ε==

阻带波纹幅度参数：20

10 3.1623s A α==

过度比：

47p s k =ΩΩ=

偏离参数：

10.1696

k ==

巴特沃斯滤波器阶数：()()1lg lg 3.1704

N k k ==，可取N=4

3db 截至频率：)

1210.2659N

c s

A rad s

πΩ=Ω-=

根据：

()()121221

,k N

i N N c k k k D s s p p e

π-⎛⎫+ ⎪⎝⎭

==-Ω=∏

查表

可得p 1=-0.3827+j0.9239,p 2=-0.3827-j0.9239,p 3=-0.9239+j0.3827,p 4=-0.9239-j0.3827 归一化系统函数：

()()()()()12341

G p p p p p p p p p =

----

去归一化，得到模拟低通滤波器的系统函数：

()()()()()()1234|c c

a p s c c c c H s G p s p s p s p s p =ΩΩ==

-Ω-Ω-Ω-Ω

将H a (s)化为：()4

1k

a k k A H s s s ==-∑

形式。

其中

k c k s p =Ω⨯

A 1=0.094+0.0939i, A 2=0.094-0.0939i,A 3=-0.227+0.2221i,A 3=-0.227-0.2221i 可以得到脉冲响应不变法所求数字滤波器

()324

1

4

3210.04560.10270.01541 1.9184 1.65460.68530.1127k k s T k A z z z

H z e

z z z z z -=++==--+-+∑

脉冲响应法设计的数字滤波器频率无非线性畸变，耗损函数与模拟滤波器相似，在接近采样频率处衰减明显小于模拟滤波器，出现混叠失真。

(2)双线性变换设计数字低通滤波器 取T=2s

非线性预畸变

()tan tan 0.10.3249,1p p p rad s db

T ωπα⎛⎫

Ω==== ⎪⎝⎭ ()tan tan 0.1750.6128,10s s s rad s db

T ωπα⎛⎫

Ω==== ⎪⎝⎭

通带波纹幅度参数：0.5088ε==

阻带波纹幅度参数：20

10 3.1623s A α==

过度比：

0.5302

p s k =ΩΩ=

偏离参数：

10.1696

k ==

巴特沃斯滤波器阶数：()()1lg lg 2.7966

N k k ==，可取N=3 3db 截至频率：

()

12210.4249N

c s

A rad s

Ω=Ω-=

去归一化，得到模拟低通滤波器的系统函数：

()()()()()()

32220.07671|0.42490.42490.1805c c

a p s c c c H s G p s s s s s s =ΩΩ===

+Ω+Ω+Ω+++

双线性变换：

()()11123

123

110.033530.10060.10060.03353|10.42490.88270.19a z s z

z z z H z H s z z z ---------=++++==-+-

由图可见频率非线性畸变会造成数字滤波器的耗损函数与模拟滤波器耗损函数不同，双线性变换没有频谱混叠。

作业

3

（1）对模拟信号进行低通滤波处理，要求通带KHz f 5.10≤≤内衰减小于dB 1，阻带∞≤≤f KHz 5.2上衰减大于dB 40。希望对模拟信号采样后用线性相位FIR 数字滤波器实现上述滤波要求，采样频率KHz F s 10=。用窗函数法设计满足要求的FIR 数字滤波器，求出)(n h ，并画出损耗函数曲线和相频特性曲线。为了降低运算量，希望滤波器阶数尽量低。

数字滤波器指标

2/2 1.5/100.3p p s f F ωπππ

==⨯=

2/2 2.5/100.5s s s f F ωπππ==⨯=

为了使滤波器的阶数尽量低，选择凯塞窗，由

40s dB α=，则

()()0.4

0.5842210.07886 3.3953

21s s βαα=-+-=

数字滤波器过度带宽度：

0.2s p βωωπ

∆=-=

滤波器阶数：

8

2.28522.2887

s M B

α-=

=∆，取M=23

所以窗长度取N=24

理想低通滤波器的通带截止频率()20.4c s p ωωωπ

=+=

希望逼近的频率响应函数

(),0,j c

j d c e H e ωτ

ω

ωωωωπ-⎧≤⎪=⎨

<≤⎪⎩

其中

()1211.5

N τ=-=

傅里叶反变换得到

()()()

sin 0.411.51.2151c

c

j i n d n h n e e d n ωωτωω

πωπ

π--

-⎡⎤⎣⎦

=

=

-⎰

对理想响应函数加窗可得满足要求的线性相位FIR 数字滤波器

()()()()()

()

2411.5sin 0.1154.d n h n h n n n n πωωπ-⎡⎤⎣⎦

==

-