2.5逆命题和逆定理

请说出逆定理：
（1）两直线平行，内错角相等. 有逆定理 内错角相等，两直线平行. （2）全等三角形的对应角相等. 没有逆定理 没有逆定理 （3）同角的余角相等.
如果有两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角。 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。
（4）等腰三角形底边上的高线与中线互相重合.
如果一个三角形的高线与中线互相重合，那么这个三角形是 等腰三角形.
有逆定理
辨一辨
下列说法哪些正确，哪些不正确？ （1）每个定理都有逆定理。 （2）每个定理都有逆命题。 （3）逆定理一定是真命题。 （4）定理的逆命题是真命题。
× √ √ ×
D
例1、按要求作答：
⑴任意作一条线段，并画出它的中垂线.
P
比如: 对顶角相等.
一个命题经证明是真命题，就可称为定理；
定理：等边三角形三个内角都相等。
请说出其逆命题，并判断是真命题还是假命题：
三个角都相等的三角形是等边三角形
这是一个真命题 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题， 那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫
互逆定理。
请说出三对互逆定理
做一做:下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，
证明: ⑴当点P不在 线段AB上时， 作PC⊥AB于点O ∵PA=PB，PO⊥AB， ∴OA=OB（等腰三角形三线合一） ∴PC是AB的垂直平分线。
A
O C P P P
B
A
∴点P在线段AB的垂直平分线上. ⑵当点P在线段ＡＢ上，结论显然成立；
P P P
B
显然，上述两个命题可称为互逆定理.
Fra Baidu bibliotek
(1)线段垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. (2)线段垂直平分线性质定理的逆定理(判定定理)： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线上. 几何语言： ∵PA=PB(已知) ∴点P在AB的垂直平分线上. (线段垂直平分线性质定理)
两直线平行 a2＝b2 a＝b
⑴两直线平行，同位角相等 两直线平行
⑵同位角相等，两直线平行 同位角相等 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b
a＝b a2＝b2
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关 系？命题⑶与命题⑷呢？
命题 ⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
A
O
B
⑵线段的中垂线（垂直平分线）有什么性质？
C
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
⑶请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
解:
这个定理的逆命题是: 到一条线段两个端点距离
相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且ＰＡ＝ＰＢ
P
求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直平分线上
逆命题的真假：
1.长方形有两条对称轴.
有两条对称轴的图形是长方形.
真命题
假命题
2.等边三角形的三个角都是600.
三个角都是600的三角形是等边三角形.
真命题
真命题
3.磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的 真命题 交通工具.
高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车. 假命题
4.如果
如果
a b ，那么 a b
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每一个命题都有逆命题，只要将 原命题的条件改成结论，并将结论改 成条件，便可得到原命题的逆命 题．但是原命题正确，它的逆命题未 必正确．
注意:
例如:真命题“如果a＝b，那么a2＝b2.”的逆命 题为“如果a2＝b2，那么a＝b.”，此命题就是一 个假命题．
做一做:说出下列命题的逆命题，并判定原命题和
对某件事作出正确或不正确判断的句子叫做命题. 命题的结构：命题由条件、结论组成. 命题有真有假。 正确的命题是真命题，错误的命题是假命题
下列句子是命题的是（ D ） A.画∠AOB=45° C.连结CD B. 小于直角的角是锐角吗？ D. 三角形的中位线平行且等于第三边的一半
命题
条件
结论 同位角相等
A P
B
例2
说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命
题，判断这个命题的真假，并说明理由.
解 逆命题是 “ 如果两个三角形的面积相等，那么这两个 三角形全等.”
这个逆命题是假命题.举反例如下：
思考：
求证：三角形的三条角 平分线相交于一点 B F
A E O D C
1.在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个 命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题 的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把 其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做 它的逆命题． 2.如果一个定理的逆命题被证明是真命题（定 理），那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一 个定理叫做另一个定理的逆定理．
假命题
真命题
a b ，那么 a b
判断下列说法是否正确？请说明理由
（1）假命题没有逆命题； （2）真命题没有逆命题； （3）每个命题都有逆命题； （4）真命题的逆命题是真命题 思考：每个命题都 有逆命题吗？
× × √ ×
一个命题的逆命题是真命题还是假命题？
请举例说明一个原命题是真命题，逆命题也是真命题的例子； 有没有原命题是真命题，而逆命题是假命题的例子？
条件
结论
两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b a2＝b2 两直线平行 a2＝b2 a＝b
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命 题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件， 那么这两个命题叫做互逆命题。 我们把其中的一个叫做原命题（original statement）， 另一个叫做它的逆命题（converse statement）。