第一型曲线曲面积分

x 2 y 2 z 2 2Rz.
z
解: 在球面坐标系下， 球面 x2 y2 z2 2Rz 化为 r2Rcos ，
(0,0,R)
xo y
{(r, , ) 0 2 , 0 , 0 r 2Rcos },
2
z( x 2 y 2 z 2 )dxdydz
2 d
2 d
2R cos r cos r 2 r 2 sin dr
.
10.1.2 第一型曲线积分的性质
性质1 (线性性质) 设 f , g 可积, 又, 为常数, 则有
L[ f ( x, y) g( x, y)]ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds .
性质2 (可加性) 设 L1 与 L2 首尾相接成 L, 则有
L f ( x, y)ds L1 f ( x, y)ds L2 f ( x, y)ds ,
n
长. 任取 (i ,i ) si ，作和式 f ( i ,i )si ，设
i 1
d max {si } ，如果当d 0时 ，和式的极限总存在，
1in
则称此极限为 f ( x, y) 在曲线弧 L 上的第一型曲线积分
或对弧长的曲线积分，记作 f ( x, y)ds ，即 L
被积函数
弧长元素
n
其体积元素是 dV r 2 sindrdd ，不要记错.
2．第一型曲线积分的定义
设 L 为oxy 面上的一条光滑（或分段光滑）曲线弧， f ( x, y) 在 L 上有界.任取点列 M1 , M 2 , , M n1 ，把 L 分为 n 小 段 li (i 1, 2, , n) ，并以si 表示 li 的弧
三组坐标面为: r 常 数,即 以 原点 为 球 心 的球 面;
常数,即以原点为顶 点, z 轴为轴的圆锥 面;
常数,即过 z 轴的半平面.
z
直角坐标与球面坐标的关系为:
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
x
r M(x,y,z)
O
y
P(x,y,0)
z
体积元素
ds x2 (t) y2 (t)dt,
L f (x, y)ds
f [x(t), y(t)]
x2(t) y2 (t)dt.
2. 若 L由 方程 y y( x) (a x b) 给 出, 则 取 x 为 参数,
ds 1 y2 ( x)dx,
b
L f ( x, y)ds a f [ x, y( x)]
dV r 2 sin dr d d .
d
dr
rsin r rd
把 三 重 积 分 的 变 量 从 直角 坐
r sin d
标变换为球面坐标的公式 :
d
O
y
f ( x, y, z)dxdydz
x
d
f (r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sin drd d
例11. 计算 z( x 2 y2 z 2 )dxdydz,其中 为球体
L
f (x, y)
ds lim f (i ,i )si
d 0i1
注：
积分弧
（1）当 f ( x, y) 在光滑曲线 L 上连续时， f ( x, y)ds 存在. L
（2）将上述定义推广，可得空间曲线 L 上的第一型曲线
n
积分：
L
f
( x,
y, z)ds
lim
d 0i1
f
( i
,i
,
i
)si
简记为 L f ( x, y)ds L1 L2 .
性质 3 L ds L的长度.
f ( x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为L f ( x, y)ds.
10.1.3 第一型曲线积分的计算
1．设 f ( x, y) 在曲线 L 上连续，L 的参数方程为 x x(t) ，
y y(t) ( t ) ，其中 x(t) ， y(t) 在[ , ]上有 连续的一阶导数，且 x2(t) y2(t) 0，则
1
y2 ( x)dx.
若 L由 方 程 x x( y) (c y d ) 给 出, 则 取 y 为 参 数,
ds 1 x2 ( y)dy,
d
L f ( x, y)ds c
f [x( y), y]
1 x2 ( y)dy.
3．若 L由方程 ( ) ( ) 给出，则取 为参数，
ds 2 ( ) 2 ( )d ,
f ( x, y)ds f [( )cos, ( )sin] 2 ( ) 2 ( )d
L
4. 若空间光滑曲线 L的参数方程为
x x(t) ， y y(t) ， z z(t) ( t ) ，则
ds x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt ，
平面z 1化为r 1 .
o
y
cos
x
{(r, , ) 0 2 , 0 , 0 r 1 }.
4
cos
1
dxdydz
2
d
4 d
1
cos 1 r 2 sindr
x2 y2 z2
0
0 0r
2
1
d 4 sind cos rdr
0
0
0
2 4
sin
d
0 2cos2
0
00
2 d
2 sin cosd
2R cos r 5dr
0
0
0
8R6 . 3
例 12．计算三重积分
1
dxdydz ，其中
x2 y2 z2
是 由圆锥面 z x2 y2 与 平面z 1所围成的闭区域.
z
解：在球面坐标系下，圆锥
面 z x2 y2 化为 ， z1
4
z x2 y2
1
4 ( 2 1) .
cos 0
小结
（1）积分区域 或被积函数 f ( x, y,z) 的表达式中含有 x2 y2 因子，一般用柱面坐标计算三重积分；
若积分区域 或被积函数 f ( x, y,z) 的表达式中含有 x2 y2 z2 因子，一般用球面坐标计算三重积分； （2）用球面坐标计算三重积分，不需要求 的 投影区 域，只需求出 r,, 的取值范围.
9.3.4 用球面坐标计算三重积分
设点M( x, y, z) R3 , 点 M 在oxy面 上 的 投 影 为P . 源自文库 : 原点O到点M的距离,
:OM 与 z 轴正向的夹角,
x
z
M(x, y, z)
rz
O x
y
yP
: 从 x 轴正向按逆时针方向旋转到OP的角.
则称三元有序数组(r, , ) 是点 M 的球面坐标. 规定 0 r , 0 π, 0 2π.