利用直线参数方程t的几何性质解题

利用直线参数方程t 的几何性质解题

过定点),(000y x M 、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=α

αsin cos 00t y y t x x （t 为参数），

其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量，由此，易得参数t 具有如下 的性质：若直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为 B A t t ,，则

性质一：A 、B 两点之间的距离为||||B A t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|B A t t

性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为2

B A t t +，若0M 是线段AB 的中点，则 0=+B A t t ，反之亦然。

在解题时若能运用参数t 的上述性质，则可起到事半功倍的效果。

应用一：求距离

例1、直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为

6π，且与圆722=+y x 相交于A 、B 两点。 （1）求弦长AB.

（2）求A P 0和B P 0的长。

解：因为直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为6

π，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=6sin 06cos 4ππt y t x ，即⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21234，（t 为参数），代入圆方程，得 7)2

1()234(22=++-t t ，整理得09342=+-t t （1）设A 、B 所对应的参数分别为21,t t ，所以3421=+t t ，921=t t ，

所以||||21t t AB -=.324)(21221=-+=

t t t t （2）解方程09342=+-t t 得，3,3321==t t ，

所以A P 033||1==t ，B P 0.3||2=

=t

应用二：求点的坐标

例2、直线l 过点)4,2(0P ，倾斜角为

6

π，求出直线l 上与点)4,2(0P 相距为4的点的坐标。 解：因为直线l 过点)4,2(0P ，倾斜角为

6π，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=6sin 46cos 2ππt y t x ，即⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 214232，（t 为参数）， （1） 设直线l 上与已知点)4,2(0P 相距为4的点为M 点，且M 点对应的参数为t ，则 ||0M P 4||==t ，所以4±=t ，将t 的值代入（1）式，

当t ＝4时，M 点的坐标为)6,322(+；

当t ＝－4时，M 点的坐标为)2,322(-，

综上，所求M 点的坐标为)6,322(+或)2,322(-.

点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较容易。

应用三：解决有关弦的中点问题

例3、过点)0,1(0P ，倾斜角为

4π的直线l 和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 点的坐标。

解：直线l 过点)0,1(0P ，倾斜角为4

π，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221，（t 为参数），因为直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 x y 22=中，得：)2

21(2)22(2t t +=，整理得022212=--t t ， 06)2(2

14)2(2>=-⨯⨯--=∆，设这个二次方程的两个根为21,t t ， 由韦达定理得2221=+t t ，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得 22

21=+=t t t M ，易知中点M 所对应的参数为2=M t ，将此值代入直线的参数方程得，M 点的坐标为（2，1）

点评：对于上述直线l 的参数方程，A 、B 两点对应的参数为21,t t ，则它们的中点所对应的参数为.221t t