光束法平差-基本原理

12 Ys
13 Zs
a d14
a d15
a d16
a d11 X
a d12 Y
a d13 Z
lx
Vy a d21 Xs a d22 Ys a d23 Zs a d24 a d25 a d26 a d21 X a d22 Y a d23 Z ly
…（式 3-11）
1. 光束法平差模型： 在解析摄影测量中，将外方位元素和模型点坐标的计算放在一个整体内进行，此时称其
为光束法。光束法平差是以共线方程式作为数学模型，像点的像平面坐标观测值是未知数的 非线性函数，经过线性化后按照最小二乘法原理进行计算。该计算也是在提供一个近似解的 基础上，逐次迭代来达到趋近于最佳值的。
F F d d d d d d d d d Fy
Fy
Fy
Fy
Fy
Fy
Fy
Fy
Fy
y
y 0 Xs Xs Ys Ys Zs Zs
X X
Y Y
Z Z
式中 FX 0 、 Fy0 为共线方程函数近似值， dXs 、 dYs 、 dZs 、 d 、 d 、 d 为外方位元素 改正数， dX 、 dY 、 dZ 为待定点的坐标改正数。
VX X 权为PVY Y
VZ Z
……（式 3-16）
列出各类点的误差方程式后，按照最小二乘法原理建立法方程式，即按 PVV 为最小建立
的法方程式为（式 3-17）：
AT PA AT PB X AT PL
BT
P
A
BT
PB
*
t
BT
PL
0
……（式 3-17）
也可简写成：
N11 N12 X L1
……（式 3-7）
其中， x0 、 y0 、f 是影像内方位元素；表示像平面中心坐标和摄像机主距。
②.共线方程式的线性化： 该方程式一次项展开式为（式 3-8）
FX
FX 0
Fx Xs
dXs
Fx Ys
dYs
Fx Zs
dZs
Fx
d
Fx
d
Fx
d
Fx X
dX
Fx Y
dY
Fx Z
dZ
…（式 3-8）
①.共线方程式的表达：
设 S 为摄影中心，在世界坐标系下的坐标为（ XS ,YS , ZS ）;M 为空间一点，在世界坐
标系下的坐标为（X,Y,Z），m 是 M 在影像上的构象，其像平面和像空间辅助坐标分别为（x，
y，-f），（ Xm,Ym, Zm ），此时可知 S、m、M 三点共线。可得（式 3-5）
在保证共线条件下有：
, , Fx
Fx Fx
Fx Fx
Fx
X
Xs Y
Ys Z
Zs
, , Fy
Fy Fy
Fy Fy
Fy
X
Xs Y
Ys Z
Zs
此时，根据式 3-7 以及旋转矩阵可得到（式 3-10）：
……（式 3-9）
a11
Fx Xs
1 z
(a1
f
a3Fx)
a12
Fx Ys
1 z
T
t dX dY dZ
T
L lx ly
④法方程式的建立：
根据平差原理可知其法方程式为（式 3-15）：
AT A AT B X AT L
BT A
BT
B
*
t
BT
L
0
……（式 3-15）
此时，对于加密点，只需列出误差方程式，权赋 1； 对于控制点，列出误差方程式，还要列出虚拟误差方程式，权赋 P。 虚拟误差方程式为（式 3-16）：
将误差方程式改写成矩阵形式可为（式 3-13）：
……（式 3-12）
dXs
dYs
dX
VX a11
Vy
a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a15 a25
a16 dZs a11
a
26
*
d
a
21
d
a12 a22
Leabharlann Baidu
a13
a
23
*
dY dZ
lx ly
d
也可简写成：
……（式 3-13）
在该式中有：
V A
B*
X
t
L
AX
Bt
L
……（式 3-14）
T
V Vx Vy
A
a11 a 21
a12 a 22
a13 a 23
a14 a 24
a15 a 25
a16
a
26
a11 a12 a13
B a21
a22
a
23
T
X dXs dYs dZs d d d
其中有：
lx FX FX 0 x
f
a b c 1( X Xs) 1(Y YS ) 1(Z ZS ) a b c 3( X Xs) 3(Y YS ) 3(Z ZS )
ly Fy Fy0
y
f
a b c 2( X Xs) 2(Y YS ) 2(Z ZS ) a b c 3( X Xs) 3(Y YS ) 3(Z ZS )
Xm
X XS
Ym Y YS
Zm Z ZS
……（式 3-5）
再根据像平面坐标和像空间辅助坐标的关系有（式 3-6）
x
Xm a1 b1 c1 Xm
R
y
T
Ym
a2
b2
c
2
*
Ym
f
Zm a3 b3 c3 Zm
由式 3-5 和式 3-6 可解得共线方程式为（式 3-7）
(b1
f
b3Fx)
a13
Fx Zs
1 z
(c1
f
c3Fx)
a22
Fy Ys
1 z
(b2
f
b3Fy)
a21
Fy Xs
1 z
(a2
f
a3Fy)
a23
Fy Zs
1 z
(c2
f
c3Fy)
a14
Fx
y sin
[
x f
(x cos
y sin )
f
cos ]cos
……（式 3-10）
a15
将改正数和规定的限差相比较，若小于限差则迭代完成，否则用未知数的新值又作为 近似值继续迭代，直至满足条件。
由此可知，开始时提供的初始值越接近最佳值，解的收敛速度就愈快；所以通常的处 理方法是先进行空间后方交会，求出像片的外方位元素，将其作为光束法平差时未知数的初 始值。 参考文献： 摄影测量学 武汉大学出版社 金为铣 2001 年 4 月 P23J1718
Fx
f
sin
x f
(x sin
y cos )
a16
Fx
y
a24
Fy
x sin
[
y f
(x cos
y sin )
f
sin ] cos
a25
Fy
f
cos
y f
( x sin
y cos)
③误差方程式的建立： 据此可得到误差方程式为（式 3-11）：
a26
Fy
x
VX
a d a d a d 11 Xs
N
T 12
N
22
*
t
L2
0
在根据上式进行展开消元可得改化法方程式为：
N N N N * X L N N L 1
T
11
12 22
12
1
1
12 22
2
……（式 3-18）
或者
N N N N * t L N N L T
1
22
12
11
12
T
1
2
12
11
1
……（式 3-19）
根据式 3-18 可以求解出外方位元素的改正值；式 3-19 可以求解出点的坐标改正值。 ⑤.结果判定：
……（式 3-6）
a b c 1( X Xs) 1(Y YS ) 1(Z ZS ) x x f 0
a b c 3( X Xs) 3(Y YS ) 3(Z ZS )
y y0 f
a b c 2( X Xs) 2(Y YS ) 2(Z ZS ) a b c 3( X Xs) 3(Y YS ) 3(Z ZS )