差分方程基本概念和方法

差分方程基本概念和方法

考察定义在整数集上的函数，(),,2,1,0,1,2,n x f n n ==--L L 函数()n x f n =在n 时刻的一阶差分定义为：

1(1)()n n n x x x f n f n ∆+=-=+-

函数()n x f n =在n 时刻的二阶差分定义为一阶差分的差分：

21212n n n n n n x x x x x x ∆∆∆+++=-=-+

同理可依次定义k 阶差分

k n x ∆

定义1．含有自变量n ,未知函数n x 以及n x 的差分2,,n n x x ∆∆L 的函数方程, 称为常差分方程，简称为差分方程。出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分

方程的阶。

k 阶差分方程的一般形式为

(,,,,)0k n n n F n x x x ∆∆=L

其中(,,,,)k n n n F n x x x ∆∆L 为,,,k n n n n x x x ∆∆L 的已知函数，且至少k n x ∆要在式中出现。

定义2．含有自变量n 和两个或两个以上函数值1,,n n x x +L 的函数方程，称为（常）差分方程，出现在差分方程中的未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。

k 阶差分方程的一般形式为

1(,,,,)0n n n k F n x x x ++=L

其中1(,,,,)n n n k F n x x x ++L 为1,,,n n n k n x x x ++L 的已知函数，且n x 和n k x +要在式中一定要出现。

定义3．如果将已知函数()n x n ϕ=代入上述差分方程，使其对0,1,2,n =L 成为恒等式，则称()n x n ϕ=为差分方程的解。如果差分方程的解中含有k 个独立的任意

常数，则称这样的解为差分方程的通解，而通解中给任意常数以确定值的解，称为差分方程的特解。

例如： 设二阶差分方程 21

n n n F F F ++=+，

可以验证12n

n

n F c c =+⎝⎭⎝⎭

是其通解，其满足条件121F F ==

的特解为：n n n F ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦

。 这里n F 即为著名的Fibonacci 数列。

定义 形如：()1122n k n k n k k n x b x b x b x f n ++-+-++++=L

（1,,k b b L

为常数，()0,0,k b f n n k ≠≠≥）

的差分方程称为k 阶常系数线性非齐次差分方程。

常系数线性非齐次差分方程

()1122n k n k n k k n x b x b x b x f n ++-+-++++=L

对应的齐次差分方程为

11220n k n k n k k n x b x b x b x ++-+-++++=L

定理4 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次方程的特解，即

*

n n n x x x =+

其中 *

n x 是对应齐次差分方程的通解，

n x 是非齐次差分方程的特解

对于线性齐次差分方程

11220n k n k n k k n x b x b x b x ++-+-++++=L

定义其特征方程为

1110k k k k b b b λλλ--++++=L ，称该特征

方程的k 个根为特征根，若此k 个特征根互异，分别为12,,k λλλL ，则齐次差分方程的通解可表为

1122n n n

n k k x c c c λλλ=++L

差分方程的平衡点及稳定性

一阶线性差分方程的平衡点及稳定性

一阶线性常系数差分方程 1,0,1,2,k k x ax b k ++==L

（1）

的平衡点由x ax

b +=解得，为

*

1b

x a =

+ 当k →∞时，若 *k x x →，则平衡点*

x 是稳定的，否则是不稳定的。

容易看出，可以用变量代换方法将方程（1）的平衡点的稳定性问题转换为

10,0,1,2,k k x ax k ++==L

（2）

的平衡点*

0x

= 的稳定性问题。

对于方程（2），因为其解可表为

()0,1,2,k

k x a x k =-=L

所以当且仅当1a <时，方程（2）的平衡点（从而方程（1）的平衡点）才是稳定的。

对于二阶线性常系数差分方程，我们考查

21120k k k x a x a x ++++= （3）

的平衡点*

0x

=的稳定性。其特征方程为：2

120a a λ

λ++=，记特征根为

12,λλ，则（3）的通解为1122k k k x c c λλ=+。不难验证当且仅当12,λλ满足

121,1λλ<<

时方程（3）的平衡点才是稳定的。

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