北师数学文(陕西用)配套课件：第八章第七节双曲线

教师用书隣谡
性
第七节
双曲线
（考纲考情“脅》〉
_________________________
定
沉#提示
4果您加《龙木氓件的辻右:申出"•字他泉.講旻用衡宥幻灯片・或序力亓可正*肚・
2双曲线的标准方程和简单性质
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长2a
a 叫做双曲线的实半轴长，
b 叫做双曲线的 虚半轴长
対断「闻蛰吃基杏正确（请在括号中打叫"或“X”）・
离心率
c
e= a , eE (1, +8)
a, b, c 的关系
c 2=a 2+b 2
实虚轴 IA1A21 =—; 线段呼2叫做双曲线的虚埶
它的长阳也|=—；
（1）平面内到点F’o, 4）,F2（0,-4）距离之差等于6的点的集合是双曲线・（）
（2）平面内到点h （0, 4） ,F2（0, -4）距离之差的绝对值等于8的点的集合是双曲线.（）
（3）方程（mn>0）表示焦点在x轴上的双曲线.（）
m n
(5)x 警轴毁色萍的渐遁隼翌州t 直，离心率等于.()
2
~~ W —
•
(6 胸:双6 线
m n
(a>0,b>0)的
轨双曲线).()二―右= l(a>0,b>0)与右一莓=1
(4)双曲线方程 是 即 ()
x <m>p2n>0,A#0)的渐近线方程
离心率分别是印甩则
(此结论中两条双曲线为共
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I 考点自测3
1 •已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0), 则点M 的轨迹方程是() (A) (B)
(C)
(D)
X 2 16_
丄1
9 x 2_ ~9 2
丄=1 16
动点M 满足|MA|-|MB|=6,
【解析】选D・由|MA|-|MB|=6 ,且6<|AB| = 10f 得a 二3z c 二5Q2 二c2-a2=16.
故其轨'迹为'以A , B为焦点的双曲线的右支.
••方程为
2•若双曲线2(a>p,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为匚= ]
(A) (B)5 a2 (戲(D)2
【解析】选A.由已知得b二2a：・c2二a2+b2二5a±
c = 离心率 e =—
= a
3•已知曲线2x2■产6=0上一点p到一个焦点的距离为4,则它到另一个焦点的距离为 __ ・
【解析】曲线2x2・y2・6=0的方程可化为：所以&2二3 又因为点P到一个蕉点的距离为4 ,所以到另一焦点的距离为答案：
4+2馆或4-2仮舍）.
4+2馆
2
4•已知双曲线 但>0?b>0）的虚轴长为2,焦距 为，则双曲线白逾近蜜屯程为 __________ ・
【解析】依题意矢呼 轴2： 二,
所以b=l z c= ,a=,因此z 双曲线的渐近线方程为：
2* 答案：y 二
=±I x=±f x
-
5 •已知双曲线C: (a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到相应焦点的距离为1,则双曲线Cfel裡为.
【解析】由已知肚二那①
又一个顶点到相应焦点的距离为1,即c・a二1. ②
由①②得a=l/c=2r.,.b2=c2-a2=4-l=3/
・••双曲线C的方程为
答案：c
e = — = 2，
a
3
考向1双曲线的定义
【典例1】(1) (2012-辽宁高考)已知双曲线x 2-y 2=1，点
F P F?为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 〔丄PF 2,则 『Fj+|PF2|的值为 ________________ ・
(2) (2013-宝鸡模拟)已知定点A(0, 7),B(0,-7),C(12,2), 以C 为一个焦点作过A, B 的椭圆，求另一个焦点F 的轨迹方程
.
【思路点拨】(1)解题关键是根据双曲线的定义及勾股定理构建关于IPFJJPFJ的方程，进而求解.
(2 )先根据椭圆的定义得出动点F满足的等式，再根据三定点间关系，探究出动点F与两定点A , B的差为常数，从而用定义法求轨迹方程.
【规范解答】(1)不妨设|PF』＞|PF2|・由双曲线方程x2・y2二1知a二b 二1 , c二，由双曲线定义得|PF』・|PF2|二2a二2① 由已知条件PF】丄PF?及勾股定理得|PF I|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2C)2=8②72
上述两式①②联立，解得|PF』二+1JPF2|= -1/^|PF1| + |PF2|=2 . 答案：2
(2 )由椭圆的定义知:|AC| + |AF| = |BC| + |BF| z
又因为A(0,7)Z B(0/-7),C(12/2)/
所以|AC| 二13」BC| 二15,因此|AF|・|BF| 二2, 所以F的轨迹是双曲线的一支，其中c=7,a = l z b2=48, 因此所求轨迹方程为：
X2
【互动探究】本例题⑴中"PF1丄PF?”改为“Z F〔PF2=60° ”，结果如何? 【解析】不妨设|PF」＞|PF』，
由双曲线方程x2-y2二1知a = b=l z 由双曲线定义得|PF4|PF2|=2a二2, /.|PF1P+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4①
又Z F1PF2=60°/由余弦定理得：
|PF i p+|PF2|2-|RF1||PF2| = |F1F2P=(2c)2=8 ②
②-①得|PF』|PF2|二4 ③
③代入①得:|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1||PF2|=4+2x4=12. 「•IPF1I + IPF2I 二
#^H PF2 D2
二』PF』+IPFj +2IPFjgPFJ
= 712 + 2x4 = 2^5.
【拓展提升】
1•“焦点三角形〃中常用到的知识点及技巧
(1)常用知识点：在〃焦点三角形〃中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用.
(2「技巧：经常结合||PF』-|PF2||二2a ,运用平方的方法，建立它与IPFJIPF』的联系.
2 •利用双曲线定义求点的轨迹方程的注意点
特别注意条件〃差的绝对值〃，弄清所求轨迹是整个双曲线，还是双曲线的—支，若是一支，是哪一支,并且要在其方程中准确限定变量x(y)的范围.
【变式备选】过双曲线x2-y2=8的左焦点片有一条弦PQ交左支于P, Q两点, 若|PQ|=7, F2是双曲线的右焦点，则△PF Q Q的周长为__ ・
【解析】因为x2-y2=8 ,所以2a二
由题设及双曲线的定义^:|PF2|-|PF1| = 址卜IQF』二
4A/2,
4^2,
所以|PF2|+|QF2|TPF I HQF I|二即IPF2I + IQF2 卜|PQ|二
又因为|PQ|=7 z所以IPF2I + IQF2I 二7 因此A PF2Q的周长为
|PF2| + |QF2| + |PQ| = 14+8 血
答案：14+
+ 8血
8血
考向2双曲线的标准方程和简单性质 【典例2】(1) (2012-湖南高考)己知双曲线C ：
(a>0,b>0)的焦距为10,点P(2,1)在C 的渐近线上，则C 的方
程为() 2 2 X V 1
(A)
(B) (C)
(D)
20 ——=1 5 T' 20' 2 2 2 2 X X _y_ 80"
20 20 80 x 2 2 y x 2 y 2
(2) (2012-浙江高考改编)如图，片尸2分别是双曲线C：
(a>0,b>0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F〔B 色城善評近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x 时交申2M,若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是____________ ・
【思路点拨】(1 )利用待定系数法•先根据双曲线的几何性质，由焦距为
10 , 求出c二5再将P(2⑴代入渐近线方程，得a二2b ,从而由a2+b2=c2,求出a , b z得方程.
(2 )利用双曲线的简单性质,结合图形的特征,通过求PQ的中点，再由|MF2| = |F1F2|^建关于a,b,c的方程，进而求解.
【规范解答】⑴选A.
又双曲线渐近线方程为・•・=1 , BPa=2b
目 b 二
叟焦巒10 , 首更嗣
*线上,
②
,所以方程为
(2 )设双曲线的焦点坐标为F1(-c/e)z F2(c/0); y =
±—x, •・・B(0,b),・••点Fi , B所在直线为a
2b
a
G A/5
20 5
得0( ),由
得歼竺鼻旦
•••线段瓯韵串点塑
标为(
ac be
a + c\ + c
c2
双曲线渐近线方程为
y = 一—x,
a
由a2+b2二c2得,线段PQ 的中点坐标可化为（ 直线F]B 的斜率为
・•・线段PQ 的垂直平分线为 1 b
令y 二0,得
k = —， c
2 2 耸二壬= 2c,即3/=2C 2, b" 一矿
V6
2
由 |MF 2| = |F 1F 2|^ 答案: + c ，0）， F 2M = a 2c
b 2?b
【拓展提升】
L利用待定系数法求双曲线方程的三种常见类型及相应技巧(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时,其标准方程
可设为这样可避免讨论和复杂的计算;也可
设为Ax2+By2=l(AB <0),这种形式在解题时更简便.
2 2
—= l(mn>0), m n
⑵当已知双曲线的渐近线方程bx土ay二0 ,求双曲线方程时, 可设双曲线方程为b2x2Qy2二入（入工0）,再根据其定入的值.
他条件确
⑶与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为
（入H0）再根据其他条件确定入的值
2 •双曲线的简单性质的三大关注点
"六点〃：两焦点、两顶点、两虚轴端点. 〃四线〃：两对称轴（实、虚轴），两渐近线.
（3 ） 〃两形〃：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点 （不包括顶点）与两焦点构成的焦点三角形.(1) (2)
3•双曲线的离心率与渐近线斜率的关系
(1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程时要注意
及判断焦点的位置.
因此离心率有两种可能.
⑵已知
渐近线方程y二mx(m > 0)求离心率时，当焦点不确定时,
【提醒】双曲线中a , b z c之间的关系为c?二a2+b£不要和椭圆之间的关系混淆.
b_p. a m=_或
a b
【变式训练】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.
(1)求该双曲线的离心率.
(2)若双曲线经过点P (),求双曲线的方程.
【解析】(1)当焦点在X轴上时,
所以
当焦点在y轴上
时,
b_2
a~P
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b_3 a"? BP-
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考向3双曲线与直线、其他圆锥曲线的综合
【典例3】(1) (2013-景德镇模拟)设离心率为e的双曲线
C： (a>0, b>0)的右焦点为F,直线/过焦点F且斜率为k,则直线Z与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是
(A)k2-e2>1 (c)a^-k2yi 1
() (B)k2-e2<1 (D)e2-k2<1
⑵（2013-西安模拟）已知双曲线（a>0, b>0）够两条
渐近线均和圆C:x24-产6x+5=0相切，且双唾线則動：有相同
的焦点，则该双曲线的标准方程为孑於一
【思路点拨】（1 ）将直线/的方程与双曲彖确程联立，消去y
得到关于X的一元二次方程z只要保证其有相异的两实根即可
求解.
25 16 （2 ）先写出渐近线方程，利用其和圆相切，构建关于a,b的
方程，再利用与椭圆有相同的焦点得c,从而得解.
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即:b2-a2k2 > 0 z又b2=c2-a2,
所以有c2・a2・a2|<2 > 0 z
即：c? > (1+k2) a2, /.e2>l+k2z得:e2-k2>l. 即:二＞l + k：而e仝, a a
(2 )圆C : x2+y2-6x+5 二0可化为:(x-3)2+y 2=4. 所以其圆心C(3,0),半径「二2,
双曲线 的渐近线方程是：bx±ay=O z
又渐近线与圆相切，所以 ①
3b
7777
25
又椭圆
（包0）
16
・••双曲线的焦点为(-3Q),(3Q),即a2+b2=c2=9 ②由①②得b=2z c=3,a2=5.
•••双曲线的标准方程为：
答案：
2 2
—1.
5 4
2 2
5 4
【拓展提升】
L解决简单直线与双曲线位置关系问题的方法及相应的技巧（1）通法：将直线/的方程Ax+By+C二0（A z B不同时为0 ）代入双曲线E的方程F （x,y）二0 ,消去y （也可以消去x ）得到一个关于变量x （或变量y ）的一元二次方程•解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题.。