椭圆及其标准方程(二)

2.2.1
椭圆及其标准方程(二)
学习目标加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．
知识点一椭圆标准方程的推导
思考观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．答案(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2
的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.
(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，
F2(c,0)．
(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①
(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、
和谐，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)．②
(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．梳理(1)椭圆的标准方程的形式
焦点位置形状、大小焦点坐标标准方程
焦点在x轴上
形状、大小相同a>b>0，b2
＝a2－c2，焦距为2c F1(－c,0)，F2(c,0)
方程为
x2
a2＋
y2
b2＝
1(a>b>0)
焦点在y轴上F1(0，－c)，F2(0，c)方程为
y2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0)
(2)方程Ax2＋By2＝1表示椭圆的充要条件是A>0，B>0且A≠B.
知识点二椭圆的焦点位置确定
思考1已知椭圆的标准方程，怎样判定椭圆焦点在哪个坐标轴上？
答案看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y轴上．
思考2 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？
答案 椭圆方程中，a 表示椭圆上的点到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距． a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2.
梳理 (1)椭圆的焦点位置确定是由x 2，y 2的系数大小决定的． (2)当求解椭圆标准方程，遇到其焦点位置不定时，需分类讨论．
类型一 椭圆标准方程的确定
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10； (2)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)． 解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)．
由题意得c ＝4,2a ＝10， ∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝9.
∴所求的椭圆的标准方程为x 225＋y 2
9
＝1.
(2)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )， ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，
∴代入得⎩
⎪⎨⎪⎧
12m ＋n ＝1，
3m ＋4n ＝1，
∴⎩⎨⎧
m ＝115
，
n ＝1
5.
∴椭圆的标准方程为x 215＋y 2
5
＝1.
反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置．
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，5
2)；
(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)．
由椭圆的定义知： 2a ＝
(－32)2＋(5
2
＋2)2＋ (－32)2＋(5
2
－2)2 ＝210，
即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.
∴所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 2
6＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，
∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴⎩⎨⎧
4a 2
＋0
b 2＝1，0a 2
＋1
b 2
＝1，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝1. ∴所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2
＝1.
类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用
例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹．
解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则x ＝x 0，y ＝y 0
2
.因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，
所以x 20＋y 20＝4.①
把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①， 得x 2
＋4y 2
＝4，即x 24
＋y 2
＝1.
所以点M 的轨迹是一个椭圆．
反思与感悟 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．
(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． 跟踪训练2 如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4
5|PD |.当P 在圆上运动时，求点M
的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型．
解 设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )， 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧
x P
＝x ，y P ＝5
4y ， ∵P 在圆上，∴x 2＋(5
4
y )2＝25，
即轨迹C 的方程为x 225＋y 2
16
＝1.该曲线表示椭圆．
1．方程x 2m ＋y 2
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1
2，＋∞)
C ．[1，＋∞)
D ．(－∞，1)
答案 A
解析 因焦点在x 轴上，故m >1，故选A.
2．设B (－4,0)，C (4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 2
9
＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 2
9
＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 2
16＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 2
9
＝1 (y ≠0) 答案 A
解析 由已知|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.由椭圆的定义可知，点A 的轨迹是椭圆的一部分，且2a ＝10,2c ＝8，即a ＝5，c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，则椭圆方程为x 225＋y 2
9＝1.当点A 在直线BC 上，即y ＝0时，A ，B ，C 三点不能构成三角形．因此，
顶点A 的轨迹方程是x 225＋y 2
9
＝1(y ≠0)．
3．设P 是椭圆 x 216＋y 2
12＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
答案 B
解析 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4， ∵|PF 2|2＋|F 1F 2|2＝|PF 1|2， ∴△PF 1F 2为直角三角形．
4．在椭圆x 23＋y 2
＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个
焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的距离为________． 答案 4 3
解析 把粒子运动轨迹表示出来，可知整个距离为4a ，即4 3.
5．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为________________． 答案 x 24＋y 2
3
＝1
解析 由题设知|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4， ∴2a ＝4,2c ＝2， ∴b ＝3，
∴椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(1)两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：
标准方程
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2
b 2
＝1(a >b >0)
不
同
点
图形
焦点坐标F1(－c,0)、F2(c,0) F1(0，－c)、F2(0，c) 相
同
点
定义平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹
a、b、c的
关系
a2＝b2＋c2
(2)所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在
x2
a2＋
y2
b2＝1与
y2
a2＋
x2
b2＝1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程
x2
m＋
y2
n＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式
x
a＋
y
b＝1类比，如
x2
a2＋y2
b2＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x
2，y2分母的大小)．
要区别a2＝b2＋c2与习惯思维下的勾股定理c2＝a2＋b2.
一、选择题
1．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析方程mx2＋ny2＝1，即
x2
1
m
＋
y2
1
n
＝1表示焦点在y轴上的椭圆的充要条件为
⎩⎪
⎨
⎪⎧
1
n>0，
1
m>0，
1
n>
1
m，
即m>n>0.故选C.
2．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是()
A ．椭圆
B ．线段
C ．圆
D ．以上都不对
答案 B
解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝4＝|F 1F 2|，
∴M 的轨迹是以F 1，F 2为端点的线段，故选B.
3．椭圆x 24＋y 2
＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为
P ，则|PF 2|等于( ) A.
32 B. 3 C.7
2
D ．4 答案 C
解析 不妨设F 1的坐标为(3，0)，P 点坐标为(x 0，y 0)， ∵PF 1与x 轴垂直，∴x 0＝ 3.
把x 0＝3代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得y 20＝14. ∴|PF 1|＝12.∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝72
.
4．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点
P 的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．线段
D ．直线 答案 B
解析 由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝1
2
|MF 1|，
又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆． 5．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( ) A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线的一支
D ．抛物线
答案 A
解析 如图，依题意： |PF 1|＋|PF 2|＝2a (a >0是常数)． 又∵|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ， 即|QF 1|＝2a .
∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆，故选A.
6．已知椭圆x 24＋y 2
2＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，
则这样的点P 有( )
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．8个 答案 C
解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．
7.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( ) A.x 225＋y 2
5＝1 B.x 236＋y 2
16＝1 C.x 230＋y 2
10＝1 D.x 245＋y 2
25
＝1 答案 B
解析 设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，焦距为2
c ，右焦点为F ′，
连接PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，所以
∠PFF ′＋∠OF ′P ＋∠FPO ＋∠OPF ′＝180°，知∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8.由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝4＋8＝12， 从而a ＝6，得a 2＝36，
于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16， 所以椭圆的方程为x 236＋y 2
16＝1.
二、填空题
8．已知椭圆x 2m ＋y 2
16＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点的距离为7，则m
＝________. 答案 25
解析 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∴a ＝5，
∴a 2＝25，即m ＝25. 9．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2
和椭圆x 2
10
＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是
________．
答案 6 2
解析 将P ，Q 两点间的最大距离转化为圆心到椭圆上点的最大距离加上圆的半径，设Q (x ，y )，则圆心(0,6)到椭圆上点的距离d ＝x 2＋(y －6)2＝－9y 2－12y ＋46＝－9⎝⎛⎭
⎫y ＋2
32＋50≤52，所以P ，Q 两点间的最大距离为6 2.
10．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称； ③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.
其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③
解析 设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2 (a >1)，将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确． ∵点P (x ，y )在曲线C 上，
∴点P 关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则12
F PF S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤1
2
a 2，故③正确． 三、解答题
11．已知方程x 25－2m ＋y 2m ＋1＝1表示椭圆，求实数m 的取值范围．
解 (1)当方程表示焦点在x 轴上的椭圆时， 则有5－2m >m ＋1>0，解得－1<m <4
3；
(2)当方程表示焦点在y 轴上的椭圆时， 则有m ＋1>5－2m >0，解得43<m <5
2.
综上，m 的取值范围为(－1，43)∪(43，5
2
)．
12．点M (x ，y )与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点M 的轨迹方程．
解 设d 是点M 到直线x ＝8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫
M ⎪⎪
|MF |d
＝12， 由此得(x －2)2＋y 2|8－x |
＝1
2.
将上式两边平方，并化简，得3x 2＋4y 2＝48， 即点M 的轨迹方程为：x 216＋y 2
12
＝1.
13.如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程． 解 由题意知点M 在线段CQ 上， 从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.
又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5＞|AC |＝2. ∵A (1,0)，C (－1,0)，
∴点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝25
4－
1＝214. 故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2
21
4＝1.
2.2.1椭圆及其标准方程(二)(学生版)
学习目标加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．
知识点一椭圆标准方程的推导
思考观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．答案(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2
的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.
(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，
F2(c,0)．
(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①
(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为
x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)．②
(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．梳理(1)椭圆的标准方程的形式
焦点位置形状、大小焦点坐标标准方程
焦点在x轴上
形状、大小相同a>b>0，b2
＝a2－c2，焦距为2c
F1(－c,0)，F2(c,0)
方程为
x2
a2＋
y2
b2＝
1(a>b>0) 焦点在y轴上F1(0，－c)，F2(0，c)
方程为
y2
a2＋
x2
b2＝
1(a>b>0)
(2)方程Ax2＋By2＝1表示椭圆的充要条件是A>0，B>0且A≠B.
知识点二椭圆的焦点位置确定
思考1已知椭圆的标准方程，怎样判定椭圆焦点在哪个坐标轴上？
答案看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y轴上．
思考2 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？
答案 椭圆方程中，a 表示椭圆上的点到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距． a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2.
梳理 (1)椭圆的焦点位置确定是由x 2，y 2的系数大小决定的． (2)当求解椭圆标准方程，遇到其焦点位置不定时，需分类讨论．
类型一 椭圆标准方程的确定
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10； (2)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)．
反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52
)；
(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用
例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹．
反思与感悟 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．
(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． 跟踪训练2 如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上
的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4
5|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程，并
判断此曲线的类型．
1．方程x 2m ＋y 2
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1
2，＋∞)
C ．[1，＋∞)
D ．(－∞，1)
2．设B (－4,0)，C (4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 2
9
＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 2
9
＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 2
16＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 2
9
＝1 (y ≠0)
3．设P 是椭圆 x 216＋y 2
12＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
4．在椭圆x 23＋y 2
＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个
焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的距离为________．
5．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为________________．
(1)两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：
标准方程
x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)
y2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0)
不
同
点
图形
焦点坐标F1(－c,0)、F2(c,0) F1(0，－c)、F2(0，c) 相
同
点
定义平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹
a、b、c的
关系
a2＝b2＋c2
(2)所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在
x2
a2＋
y2
b2＝1与
y2
a2＋
x2
b2＝1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程
x2
m＋
y2
n＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式
x
a＋
y
b＝1类比，如
x2
a2＋y2
b2＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x
2，y2分母的大小)．
要区别a2＝b2＋c2与习惯思维下的勾股定理c2＝a2＋b2.
一、选择题
1．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是()
A．椭圆B．线段
C．圆D．以上都不对
3．椭圆
x2
4＋y
2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于()
A.32
B. 3
C.7
2
D ．4
4．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点
P 的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．线段
D ．直线
5．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( ) A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线的一支
D ．抛物线
6．已知椭圆x 24＋y 2
2＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，
则这样的点P 有( )
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
7.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( ) A.x 225＋y 2
5＝1 B.x 236＋y 2
16＝1 C.x 230＋y 2
10＝1 D.x 245＋y 2
25
＝1
二、填空题
8．已知椭圆x 2m ＋y 2
16＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点的距离为7，则m
＝________.
9．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2
和椭圆x 2
10
＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是
________．
10．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于1
2a 2.
其中，所有正确结论的序号是________．
三、解答题
11．已知方程x 25－2m ＋y 2
m ＋1＝1表示椭圆，求实数m 的取值范围．
12．点M (x ，y )与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点M 的轨迹方程．
13.如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，求点M的轨迹方程．。