第3讲 平面向量的基本定理与坐标运算(教师版)

第3讲 平面向量的基本定理与坐标运算
一、考点梳理
考点1 平面向量基本定理
(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
例1．（1）下面说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
①一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
①零向量不可作为基底中的向量；
①对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．
A ．①①
B ．①①①
C ．①①
D ．①①①
答案 B 解析 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故①①正确，①不正确；由平面向量基本定理知①正确．综上可得①①①正确．
（2）如图所示，在①OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12
b ，设AN →与BM →交于点P ，用向量a 、b 表示OP →.
分析 利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2.
解 ①OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →，
设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，
则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m (b －13a )＝13
(1－m )a ＋m b ，
OP →＝ON →＋nNA →＝12(1－n )b ＋n a . ①a 与b 不共线，①⎩⎨⎧ 13(1－m )＝n ，12(1－n )＝m ，①⎩⎨⎧ m ＝25，n ＝15.①OP →＝15a ＋25
b . （3）如图所示，在①ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，①ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若AM →＝λAB →＋
μBC →，则λ＋μ的值为( )
A.5
3 B.－12 C.1
2 D.2
3
答案 D
解析 ①在①ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，①ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，
①在①ABD 中，BD ＝1
2AB ＝1.
又BC ＝3，①BD ＝1
3BC ，
①AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →.
①M 为AD 的中点，
①AM →＝1
2AD →＝12AB →＋16BC →.
①AM →＝λAB →＋μBC →，
①λ＝1
2，μ＝1
6，
①λ＋μ＝2
3.
【变式训练1】．设{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(
) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2
C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2
D ．e 1和e 1＋e 2
答案 B 解析：在B 中，因为6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，所以(3e 1－4e 2)①(6e 1－8e 2)．所以3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底．
【变式训练2】．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，
试以{a ，b }为基底表示DE →、BF →.
解：①四边形ABCD 是平行四边形，
E 、
F 分别是BC 、DC 边上的中点，
①AD →＝BC →＝2BE →，CD →＝BA →＝2CF →，
①BE →＝12AD →＝12b ， CF →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →＝－12
a . ①DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－
b ＋a ＋12b ＝a －12
b . BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12
a . 【变式训练3】．如图所示，在①ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN ＝12
NC ，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.
解 ①AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12
a ， 由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝13
λb ＋(1－λ)a . 由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ2
a ＋(1－μ)
b . ①⎩⎨⎧ 1－λ＝μ2，
1－μ＝λ3，解得⎩⎨⎧ λ＝35，μ＝45.①AE →＝25a ＋15
b .
考点2 平面向量的坐标表示及加减运算
设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(x ，y )就是向量OA →的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，
即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
若点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)，O 为坐标原点，
则OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
例2．（1）给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
①平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
①一个坐标对应于唯一的一个向量；
①平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 C 解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故①错误．
（2）如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，则AB →可以表示为( )
A ．2i ＋3j
B ．4i ＋2j
C ．2i －j
D ．－2i ＋j
答案：C 解析：记O 为坐标原点，则OA →＝2i ＋3j ，OB →＝4i ＋2j ，所以AB →＝OB →－OA →＝2i －j .
（3）已知边长为单位长度的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB 、AD 分别落在x 轴、y 轴的正方向上，
则向量AB →－BC →＋AC →的坐标为________．
答案 (2,0) 解析 根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，
所以AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)，所以AB →－BC →＋AC →＝(1,0)－(0,1)＋(1,1)＝(2,0)．
【变式训练1】．在平面直角坐标系中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，向量a ，b ，c 的坐标分别为_____，________，________.
答案 (2，2) ⎝⎛⎭⎫－32，332 (23，－2) 解析 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)．
a 1＝|a |cos45°＝2×22
＝2， a 2＝|a |sin45°＝2×
22＝2， b 1＝|b |cos120°＝3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32
， b 2＝|b |sin120°＝3×32＝332
， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×
32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝⎛⎭
⎫－12＝－2. ①a ＝(2，2)，b ＝⎝⎛⎭
⎫－32，332，c ＝(23，－2)． 【变式训练2】．在平面直角坐标系中，|a |＝4，且a 如图所示，则a 的坐标为( )
A ．(23，2)
B ．(2，－23)
C ．(－2,23)
D ．(23，－2)
答案D 解析：x ＝|a |·cos(－30°)＝4×32＝23，y ＝|a |·sin(－30°)＝4×(－12
)＝－2. 【变式训练3】．已知①ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，求顶点D 的坐标． 答案 (2,2)
解：设顶点D 的坐标为(x ，y )，在①ABCD 中，AD →＝BC →，又AD →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(4,1)，
①(x ＋2，y －1)＝(4,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝4，y －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝2，①顶点D 的坐标为(2,2). 考点3 平面向量数乘运算的坐标表示
平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式
设向量a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)．
中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
线段P 1P 2
的中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.
两个向量共线的坐标表示
向量a ，b 共线的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ①b ①x 1y 2－x 2y 1＝0.
例3．（1）已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求a ＋b ，a －b,3a ＋4b 的坐标．
解 a ＋b ＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，
a －
b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5, －3)，
3a ＋4b ＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19).
（2）已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ 分析 先计算出k a ＋b 与a －3b 的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求k ，再根据符号确定方向．
解 因为a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，
又(k a ＋b )①(a －3b )，
故－4(k －3)＝10(2k ＋2)，即k ＝－13
. 这时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－103，43，且a －3b 与－13a ＋b 的对应坐标异号，故当k ＝－13
时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且是反向的．
（3）已知OA →＝(3,4)，OB →＝(7,12)，OC →＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；
证明：①AB →＝OB →－OA →＝(4,8)，AC →＝OC →－OA →＝(6,12)．①4×12－8×6＝0，即AB →与AC →共线．
又①AB →与AC →有公共点A ，①A ，B ，C 三点共线．
（4）已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .
解 设c ＝x a ＋y b ，
则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，
①⎩⎪⎨⎪⎧
10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ，解得x ＝－2，y ＝2，①c ＝－2a ＋2b . 【变式训练1】．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .
解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1)＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23.
【变式训练2】．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ①(2a ＋b )，则λ＝ .
答案12. 解析：2a ＋b ＝(4,2)，因为c ①(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.
【变式训练3】．设向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？
解 ①AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，
①(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k ＝－2或k ＝11.
【变式训练4】．已知a ＝(10，－5)，b ＝(3,2)，c ＝(－2,2)，试用b ，c 表示a .
解 设a ＝λb ＋μc (λ，μ①R )．则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ)．
①⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝3λ－2μ，－5＝2λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝－72，①a ＝b －72
c . 考点4 平面向量数量积的坐标表示
面向量数量积的坐标表示
若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.
即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
平面向量长度(模)的坐标表示
向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.
两向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ①x 1x 2＋y 1y 2＝0.
向量的夹角公式
设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，
则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22
.
例4．（1）若a ＝(2,3)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2,1)，则(a·b )·c ＝____________；a·(b·c )＝____________. 答案 (－16，－8) (－8，－12)
解析 ①a·b ＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，①(a·b )·c ＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．
①b·c ＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，①a·(b·c )＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．
（2）向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( )
A ．(－7,8)
B ．(9，－4)
C ．(－5,10)
D ．(7，－6)
解析 (1)①向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，①设AB →＝k a ＝k (－3,4)＝(－3k,4k )(k <0)．
由此可得|AB →|＝(－3k )2＋(4k )2＝10，解之得k ＝－2(k ＝2舍去)．
①AB →＝(6，－8)，设B (m ，n )，得AB →＝(m －1，n －2)＝(6，－8)，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
m －1＝6n －2＝－8，解得m ＝7，n ＝－6，①B (7，－6)，故选D.
（3）已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.
答案 7 解析 因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.
（4）已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.π2
答案 B 解析 ①|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.①cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22
. 又①a ，b 的夹角范围为[0，π]．①a 与b 的夹角为π4
. 【变式训练1】．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10.
(1)求a 的坐标；
(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .
解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，①λ＝2，①a ＝(2,4)．
(2)①b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10，①a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．
【变式训练2】已知在①ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．
解 设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，
①D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，
①存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．①⎩⎪⎨⎪⎧
x －3＝－6λ，y －2＝－3λ. ①x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①
又①AD ①BC ，①AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，
①－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.①
由①①可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)． ①|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．
【变式训练3】．已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m = ( )
A. －1
B. 1
C. 2
D. －2 答案：B 解析 因为向量()5,a m =，()2,2b =-，所以()3,2a b m +=+，
因为()a b b -⊥，所以()
0a b b -⋅=，所以()6220m -+=，解得1m =.
【变式训练4】．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1，－1)，cos θ＝________.
答案 1 解析 b ＝12a ＋12(－1，－1)＝(1,1)，a·b ＝6.又|a |＝32，所以cos θ＝a·b |a |·|b |＝66
＝1.
二、课堂检测
1．下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；①一个平面内有无数多对不共线向量可作为
该平面所有向量的基底；①零向量不可作为基底中的向量．
A ．①①
B ．①①
C ．①①
D ．①①①
答案 B
2．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ①R )，则( )
A ．a ＝0，b ＝0
B ．λ＝μ＝0
C ．λ＝0，b ＝0
D ．a ＝0，μ＝0
答案 B
3. 若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A ．e 1－e 2，e 2－e 1
B ．2e 1＋e 2，e 1＋12
e 2 C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2 D ．e 1＋e 2，e 1－e 2 答案 D
4. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a 等于( )
A ．(－2,1)
B ．(2，－1)
C ．(2,0)
D ．(4,3)
答案 B 解析 b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.
5. 若AB →＝(1,1)，AD →＝(0,1)，BC →＋CD →＝(a ，b )，则a ＋b ＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
答案：A 解析：BC →＋CD →＝BD →＝AD →－AB →＝(0,1)－(1,1)＝(－1,0)，故a ＝－1，b ＝0，a ＋b ＝－1.
6. 已知向量()2,3a =-，()3,b m =且//a b ，则m =（ ）
A. －2
B. 2
C. 92-
D. 92
①①①C ①①①//a b ，(2,3)a =-，(3,)b m = ∴290m --=，解得92
m =- 7. 如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.
答案 14a ＋34b 解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34
b . 8. 若向量a ＝(2x －1，x 2＋3x －3)与AB →相等，已知A (1,3)，B (2,4)，则x ＝ .
答案：1 解析：①AB →＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，AB →＝a ，①⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1＝1，x 2＋3x －3＝1，解得x ＝1. 9. 已知点(0,1)A ，B (2,5)，(,3)C x -，则向量AB 的坐标是________；若A ，B ，C 三点共线，则实数x =________. 答案：(2,4) －2
①①：因为(0,1)A ，B (2,5)，所以()()20,512,4AB =--=；向量()()0,31,4AC x x =---=-， 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB AC ，所以()2440x ⨯--=，解得2x =-
10. 已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--，则向量AB =____，向量BC =____．
答案：(3,1) (－7,－4)；
解析：由点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--，先求出点C 坐标为(4,2)--，由此利用平面向量坐标运算法则能求出向量AB 和向量BC ．
点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--，
∴点C 坐标为(4,2)--，∴向量(3,1)AB =，向量(7,4)BC =--．
11 已知()1,3OA =-，()2,1OB =-，()1,2OC k k =+-，若A 、B 、C 三点在同一直线上，则k =______. 答案：1
解析：(1,2)AB OB OA =-=，
(,1)AC OC OA k k =-=+． A 、B 、C 三点共线，
2(1)0k k ∴-+=，解得1k =．
12. 设向量(12)(23)a b ==，，
，，若向量a b λ+与向量(47)c =--，共线，则λ= 答案：2
解析：a b λ+=(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++）），
由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=.
13. 若向量()1,2a =，()2,1b =，则a b +与a b -的夹角等于______. 答案：2
π 解析：()3,3a b +=，()1,1a b -=-，
()()=0+⋅-a b a b ，∴()()a b a b +⊥-，a b +与a b -的夹角等于2
π
. 14. 已知向量()1,2a =，向量()3,2b =-.
（1）求向量2a b -的坐标；
（2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -共线.
答案：（1）()7,2-（2）12k =-
解析：（1）()()()21,223,27,2a b -=--=-
（2）()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+，()()()21,223,27,2a b -=--=-
①ka b +与2a b -共线，①()()72223k k +=--①12
k =-
15 已知在①ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．
解 设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，
BD →＝(x －3，y －2)，
①D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，①存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．
①⎩⎪⎨⎪⎧
x －3＝－6λ，y －2＝－3λ.①x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又①AD ①BC ，①AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，①－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.①
由①①可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)．①|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．。