第五讲 第二章 基本初等复变函数

例1: 设 z x iy, 求(1) ei2z ; (2) Re(ez2 ).
解： 1 ei 2z e2x2 yi i e2x(12 y)i , 故 ei 2z =e2 x .
2 z2 x2 y2 2 xyi, 故 ez2 e , x2 y2 2xyi
2
2
小结
1、指数函数及其性质 2、对数函数及其性质 3、幂函数及其性质 4、三角函数及其性质 重点：会根据公式化简指数、对数与乘幂 zb，
了解三角函数。
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第二章 解析函数
第三节 初等函数
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一、基本原则
基本原则：将实变初等函数 y f (x) 推广为初等复变函数
的原则：
当 z x 为实数时，w f z与原实变函数 y f z相同.
尽量使推广后的复变函数保留原实变初等函数的 某些重要性质（如连续性、可导性）。
2
五、三角函数（续）
例6: 求 cos(1 i)的值.
解： cos(1 i) ei(1i) ei(1i)
2
e1i e1i 2
1 [e1(cos1 i sin1) e(cos1 i sin1)] 2
1 (e1 e)cos1 1 (e1 e)i sin1
5
sin2 z cos2 z 1 当 z 为纯虚数 yi 时,
sin

yi


e
y 2i
e
y

cos
yi

e y
2
e
y
当 y 时, sin yi , cos yi .
与实 变函 数完 全不 同的
五、三角函数（续）
例5: 求 sin z 与 cos z 的零点.
2i

eiy eiy
eiy eiy
cos y
,sin y
2
2i
余弦函数： cos z eiz eiz
2
性质：1 sin(z) sin z, cos(z) cos z.
与实变
函数保
2 sin(z 2 ) sin z, cos(z 2 ) cos z. 持一致
.
三、对数函数（续）
性质： 对数函数 w Lnz 定义域是除去原点的复平面.


Ln z1.z2 Lnz1
一般情况下，Lnz
Lnz2 ; Ln
z1 z2

n nLnz; Ln
Lnz1 Lnz2 n z 1 Lnz
.
n为大于1的正整数 。
n
主值 w lnz 在除去原点和负实轴之外的其它点处处连续；
注：当 z x 实数时，lnz ln x,与实变函数中对数函数一致。
三、对数函数（续）
例2: 求 Ln2, Ln1 以及与它们相应的主值.
解：1 此时 z 2, 有 ln 2 ln2, arg2 0, Arg 2 2k ,k 为整数.
故 Ln2 ln 2 iArg 2 ln2 2k i.
Re ez2 ex2 y2 cos2xy.
练习: Arg e2i __1___2_k___;arg(e23i ) _____3____.
三、对数函数
对数函数：把满足方程 ew z (z 0) 的 w 称为对数函数，记作 Lnz.
设 w=u iv, z rei , 根据 ew z，有eu.eiv rei .
其主值 ln 2 ln 2 i arg2 ln2.
2 此时z 1, 有 ln -1 ln1 0, arg-1 , Arg -1 2k，k Z .
故 Ln 1 ln 1 iArg 1 2k i 2k 1 i.
lnz 在除去原点和负实轴的平面内解析。
证明：lnz ln z i arg z, 其中 ln z 在除原点外的其它点都是连续的， arg z在除去原点与负实轴外的其它点处处连续.
故 lnz 在除原点和负实轴外的点处处连续。 又 lnz 在连续处的导数为1 , 故在除原点和负实轴的平面内解析。
五、三角函数（续）
性质（续）：(3) 正弦函数和余弦函数在复平面内都处处解析.
且 (sin z) cos z, (cos z) sin z.
4
scions((zz11

z2 ) z2 )
cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 sin z1 cos z2 cos z1 sin z2
当 b n 时，w zb 为多值函数，在除原点与负实轴的平面内解析.
例3: 求 1 2，ii 的值.
解： 1 1 2 = e 2Ln1 e 2ln12ki=e2 2k i cos 2 2k i sin 2 2k .
2
i i = eiLni
解： sin z eiz eiz
2i
e2iz 1 2ieiz 0
e2iz 1
z k ,k 0,1,2,
e2iz e2ki
故 sin z 的零点为 z k , (k 0, 1, 2, ). 同理：cos z 的零点为 z (k 1) , (k 0, 1, 2, ).
2 当Im z=0,即 z x（实数）时，此时 ez =ex ;
3 根据定义有Re ez =ex cos y,Im ez ex sin y;
4 根据定义有 ez =ex； 5 根据定义有 Arg(ez )=y+2k（, 其中 k 为整数）; 6 运算ez1ez2 =ez1z2 , ez1 ez1z2 .
其主值 ln 1 ln 1 i arg1 i.
注： 实变函数中，负数无对数；但复变函数中，负数有对数，
且正数的对数有无穷多个值。
练习：方程 ez 1 3i 0 的解为z

__l_n_2__i__3___2_k___,_k__为__整_数___. __
e z2
二、指数函数（续）
性质 7 指数函数w ez是周期为 2k i 的周期函数.
（续）：ez2ki eze2ki ez cos2k i sin2k ez. 也即 e2ki =1.
该 性 质 是 实 变 指 数 函 数 e x所 没 有 的 .
).
3 5 cos
5(2 k 1) i sin
5(2 k 1)

,
2 2 e e 1i
(1i)Ln2 (1i)[ln 2i(arg22k )]
e e (1i)[ln 22ki)]
ln 22kii ln 22k
e(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cos ln 2 i sin ln 2)
五、三角函数
三角函数：

e iy
eiy cos y i sin y
cos y i sin
y

eiy cos y i sin y

e iy

cos
y

i sin
y
正弦函数：sin z eiz eiz
e e iln i iArgi
i

2
2
k
i

e ,
2

2k

其中 k 为整数.
四、乘幂和幂函数（续）
例4: 求 ( 3) 5 和 21i 的值.
解： 1
(3) 5 e 5Ln(-3)
e
5 ln 3 2k i (k 0, 1, 2,
u lnr，v= 2k
eu r，eiv =ei
w ln r i 2k ln z iArg z
看出 w 是一个多值函数，即 Lnz ln z iArg z. 如果 Arg z取主值argz时，Lnz 是一个单值函数，也记为 ln z, 称 ln z 为 Lnz 的主值，即 lnz ln z iarg z.
z
四、乘幂和幂函数
乘幂：对于一个不等于 0 的复数 a 及任意一个复数 b，
定义乘幂 ab 为 ebLna，即 ab =ebLna.
注：用对数来定义乘幂，由于对数的多值性，乘幂也是多值的。
幂函数：称 w zb 为幂函数,根据乘幂定义，有 zb =ebLnz.
性质：当 b n 时，w zn 为单值函数,处处解析，且导数为 zn =nzn1.
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二、指数函数
指数函数：设 z x iy，则指数函数定义为 exp(z) ex (cos y i sin y),
简记为 ez , 即 ez ex yi ex (cos y i sin y). 注：ez 没有幂的意思，只是
expz 的一个简记.
性质：1 处处连续、处处可导且 ez =ez ,进而处处解析 ;