人教版数学高二A版选修4-4学案第二讲第2节第1课时椭圆的参数方程

第1课时 椭圆的参数方程

[核心必知]

椭圆的参数方程

中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1的参数方程是⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)，规

定参数φ的取值范围是[0，2π)．

[问题思考]

1．中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2

b

2＝1的参数方程是什么？

提示：由⎩⎨⎧y 2

a

2＝sin 2φ，x 2b 2

＝cos 2

φ，

得⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ.

即参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ

y ＝a sin φ(φ为参数)．

2．圆的参数方程⎩

⎪⎨⎪

⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同

吗？

提示：圆的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，

y ＝r sin θ(θ为参数)中的参数θ是动点M (x ，y )的旋转角，但

在椭圆的参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，

y ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M

所对应的圆的半径OA ＝a (或OB ＝b )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．

已知椭圆x 2100＋y 2

64

＝1有一内接矩形ABCD ，求矩形ABCD 的最大面积．

[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出A 点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B 、C 、D 的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．

∵椭圆方程为x 2100＋y 2

64

＝1，

∴可设A 点的坐标为(10cos α，8sin α)． 则|AD |＝20|cos α|，|AB |＝16|sin α|，

∴S 矩形＝|AB |·|AD |＝20×16|sin α·cos α|＝160|sin 2α|. ∵|sin 2α|≤1，

∴矩形ABCD 的最大面积为160. —————

—————————————

利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为： (1)求出椭圆的参数方程；

(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)； (3)借助三角函数的知识求最值．

1．已知实数x ，y 满足x 225＋y 2

16

＝1，求目标函数z ＝x －2y 的最大值与最小值．

解：椭圆x 225＋y 2

16＝1的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)．

代入目标函数得

z ＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos (φ＋φ0) ＝89cos (φ＋φ0)(tan φ0＝8

5)．

所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89.

已知A ，B 分别是椭圆x 236＋y 2

9

＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运

动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．

[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即C 点的坐标，然后利用重心坐标公式表示出重心G 的坐标即可求得轨迹．

由题意知A (6，0)、B (0，3)．由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标设为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得

⎩⎨⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3

，即⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ. 消去参数θ得到（x －2）24＋(y －1)2＝1.

—————

—————————————

利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用θ表示点的坐标，再利用sin 2θ＋cos 2θ＝1进行消参，本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．

2．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点．

(1)若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，3

2到F 1，F 2的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；

(2)设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程． 解：(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4，得2a ＝4， 即a ＝2.又点A (1，32)在椭圆上，因此1

4＋（3

2）2b 2＝1，

得

b 2＝3，于是

c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆

C 的方程为x 24＋y 2

3

＝1，焦点坐标为F 1(－1，0)，

F 2(1，0)．

(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，则

x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02，

所以x ＋12＝cos θ，2y

3＝sin θ.

消去θ，得(x ＋12)2＋4y 2

3

＝1.

已知椭圆x 24

＋y 2

＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线

分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．

[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答本题需要先确定B 1、B 2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出M 点的坐标，然后用参数表示出|OP |·|OQ |即可．

设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0，1)． 则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋1

2cos φ·x ，

令y ＝0，则x ＝2cos φ

sin φ＋1

，

即|OP |＝⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎪2cos φ1＋sin φ.

MB 2的方程：y －1＝sin φ－1

2cos φx ，

∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ. ∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪

⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪2cos φ1－sin φ＝4.

即|OP |·|OQ |＝4为定值． —————

—————————————

(1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明． (2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围．

3．求证：椭圆⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a >b >0)上一点M 与其左焦点F 的距离的最大值为a ＋c (其

中c 2＝a 2－b 2)．

证明：M 、F 的坐标分别为(a cos θ，b sin θ)、(－c ，0) |MF |2＝(a cos θ＋c )2＋(b sin θ)2

＝a 2cos 2θ＋2ac cos θ＋c 2＋b 2－b 2cos 2θ