三角形中角的关系

一、简答题
1、如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于P 点． （1）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠P 的度数； （2）若∠A=60°，求∠P 的度数；
（3）那么∠A 和∠P 有什么样的数量关系？请简述理由． 2、已知△ABC 中，∠A=30°．(8分)
(1)如图①，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC= °． (2)如图②，∠ABC 、∠ACB 的三等分线分别对应交于O 1、O 2，则∠BO 2C= °.
(3)如图③，∠ABC 、∠ACB 的n 等分线分别对应交于O 1、O 2…O n-1（内部有n-1个点），求∠BO n-1C （用n 的代数式表示）． (4)如图③，已知∠ABC 、∠ACB 的n 等分线分别对应交于O 1、O 2…O n-1， 若∠BO n-1C=60°，求n 的值．
3、如图18，△ABC 中，BE ，CD 为角平分线且交点为点O ，
（1）当∠A=600
时，求∠BOC= ；
（2）当∠A=1000
时，求∠BOC 的度数； （3）若∠A=α0时，请直接写出∠BOC 的度数。

4、如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线， （1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED 的度数； （2）作出△BED 的BD 边上的高；
（3）若△ABC 的面积为60，BD=5，则点E 到BC 边的距离为多少？
5、如图，在△ABC 中，CE ，BF 是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF 与∠FBC 的度数．
6、Rt △ABC 中，∠C=90°，点D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，点P 是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α． （1）若点P 在线段AB 上，如图①，且∠α=50°，则∠1+∠2= ；
（2）若点P 在斜边AB 上运动，如图②，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ；
（3）如图③，若点P 在斜边BA 的延长线上运动（CE ＜CD ），请直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系： ； （4）若点P 运动到△ABC 形外（只需研究图④情形），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．
7、我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I ，过I 作DE ⊥AI 分别交AB 、AC 于点D 、E ．
（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）
（2）从上表中你发现了∠BIC 与∠BDI 之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．
8、生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：
（1）图1中的∠ABC 的度数为 ．
（2）图2中已知AE ∥BC ，则∠AFD 的度数为 ．
9、 在中，
，点在
上，且.
求各角的度数.
10、如图，在△ABC 中，∠A=2∠C ，D 是AC 上的一点，且BD ⊥BC ，P 在AC 上移动． （1）当P 移动到什么位置时，BP=AB ． （2）求∠C 的取值范围．
11、已知如图①，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，
（1）若∠A =70°，则∠BOC = ，试判断∠BOC 与∠A 存在的某种等量关系并证明； （2）如图②，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点O 1、O 2，则
根据以上信息解决下列问题：
①试找出它们的规律（n 等分时，内部有n-1个点），
n 等分时∠BO 1C = ，∠BO n-1C = .（用含n 的式子表示）， ②根据你的猜想，取n=4时，证明∠BO 3C 表达式任然成立．
12、如图1，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于O 点，过O 点作BC 平行线交AB 、AC 于E 、F. (1)请写出图1中线段EF 与BE 、CF 间的关系，并说明理由.
(2)如图2，△ABC 中∠ABC 的平分线与△ABC 的外角平分线交于O ，过点O 作BC 的平行线交AB 于E ，交AC 于F.这时
EF 与BE 、CF 的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由
.
二、选择题
13、．如图三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，则∠γ与∠α+∠β之间的关系是（ ） A ．∠γ=∠α+∠β B ．2∠γ=∠α+∠β C ．3∠γ=2∠α+∠β D ．3∠γ=2（∠α+∠β）
14、如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为( )
A.15°
B.17.5°
C.20°
D.22.5°
15、如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB 过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE+CF 的大小关系是（ ）
A ．EF=BE+CF
B ．EF ＞BE+CF
C ．EF ＜BE+CF
D ．不能确定
16、如图，A ，B ，C ，D ，E ，F 是平面上的6个点，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数是（ ）
A.180°
B.360°
C.540°
D.720°
17、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（）A． 90° B． 135° C． 270° D． 315°
18、已知∆ABC
（1）如图l，若P 点是ABC 和ACB
的角平分线的交点，则P=；
(2)如图2，若P 点是ABC
和外角ACE
的角平分线的交点，则P
=；
(3)如图3，若P
点是外角CBF 和BCE
的角平分线的交点，则P=
上述说法正确的个数是（）
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
三、填空题
19、如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=________.
20、三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，连接AP，若∠BPC=130°，则∠BAP= 。

21、把图1的△ABC沿着DE折叠,得到图2,
（1
）填空：（填“＜”,“＞”或“＝”）
（2）当∠ A=40°时,
= 度。

22、如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若已知∠2＝65°，则∠1＝__________。

23、如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得
∠A2；…∠A2 014BC和∠A2 014CD的平分线交于点A2 015，则∠A2 015= 度
.
参考答案
一、简答题
1、【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】注意充分运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和以及角平分线的概念，推导得出∠P和∠A之间的关系．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠A=60°．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC=100°．
∵∠ABC、∠ACD的平分线交于点P，
∴∠PBC=20°，∠PCD=50°，
∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCD﹣∠PBC=30°；
（2）∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCD﹣∠PBC．
∵∠ABC、∠ACD的平分线交于点P，
∴∠PBC=，∠
PCD=．
∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠
P=（∠A+∠ABC
）﹣
==30°；
（3
）．
理由：∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCD﹣∠PBC．
∵∠ABC、∠ACD的平分线交于点P，
∴∠
PBC=，∠
PCD=．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠
P=（∠A+∠ABC
）﹣
=．
【点评】特别注意此题发现的结论：∠
P=∠A．
2、（1）105
（2）80
（3）
（4）n=5
3、（1）120°…2´（2）140°…5´（3）∠BOC=90°+α…3´
4、（1）50°（2）略（3）6
5、【考点】直角三角形的性质．
【分析】在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，求得∠EBF的度数，在Rt△BCF中∠FBC=40°求得∠FBC的度数．
【解答】解：在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，
∴∠EBF=20°，∠ECA=20°，
又∵∠BCE=30°，
∴∠ACB=50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC=40°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
6、【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】探究型．
【分析】（1）连接PC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可；
（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出．
【解答】解：（1）如图，连接PC，
∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，
∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°，
∴∠1+∠2=50°+90°=140°，
故答案为：140°；
（2）连接PC，
∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，∵∠C=90°，∠DPE=∠α，
∴∠1+∠2=90°+∠α；
故答案为：∠1+∠2=90°+∠α；
（3）如图1，
∵∠2=∠C+∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1=90°+∠α；
如图2，∠α=0°，∠2=∠1+90°；
如图3，∵∠2=∠1﹣∠α+∠C，
∴∠1﹣∠2=∠α﹣90°．
故答案为；∠2﹣∠1=90°+∠α；∠2=∠1+90°；∠1﹣∠2=∠α﹣90°．（4）
∵∠PFD=∠EFC，
∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC，∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，
∴∠2=90°+∠1﹣α．
故答案为：∠2=90°+∠1﹣α．
7、【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．
【分析】（1）通过画图、度量，即可完成表格；
（2）先从上表中发现∠BIC=∠BDI，再分别证明∠BIC=90°
+∠BAC，∠BDI=90°
+∠BAC．【解答】解：（1）填写表格如下：
（2）∠BIC=∠BDI，理由如下：
∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，
∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣
=90+∠BAC；
∵AI平分∠BAC，
∴∠DAI=∠DAE．
∵DE⊥AI于I，
∴∠AID=90°．
∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°
+∠BAC．
∴∠BIC=∠BDI．
8、【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
【分析】（1）由∠F=30°，∠EAC=45°，即可求得∠ABF的度数，又由∠FBC=90°，易得∠ABC的度数；
（2）首先根据三角形内角和为180°，求得∠C的度数，又由AE∥BC，即可求得∠CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠AFD的度数．
【解答】解：（1）∵∠F=30°，∠EAC=45°，
∴∠ABF=∠EAC﹣∠F=45°﹣30°=15°，
∵∠FBC=90°，
∴∠ABC=∠FBC﹣∠ABF=90°﹣15°=75°；
（2）∵∠B=60°，∠BAC=90°，
∴∠C=30°，
∵AE∥BC，
∴∠CAE=∠C=30°，
∴∠AFD=∠CAE+∠E=30°+45°=75°．
故答案为：75°，75°．9
、解：∵,
∴
……………2分
设，则
∴……………5分在中，
∴……………7分
∴
,……………8分
10、解：（1）∵BD⊥BC，
∴△DBC是直角三角形，
当P移动到DC的中点时，DP=PC=BP，
∴∠C=∠PBC，∠APB=∠C+∠PBC=2∠C，
又∵∠A=2∠C，
∴∠A=∠APB，
∴△ABP是等腰三角形，
∴BP=AB；
（2）根据三角形的外角性质，在△ABD中，∠BDC＞∠A，
∵∠BDC+∠C=90°，
∴∠A+∠C＜90°，
即2∠C+∠C＜90°，
解得0°＜∠C＜30°．
11、解：（1）∠BOC= 125°，………………2分
证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，
∴，
在△BOC 中，，
……………………6分
（2
）①…10分
②证明：当n=4时，
∴表达式任然成立。

………………..14分
12、(1)EF=BE+CF.理由如下：
∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC.
∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠EOB，∴EO=BE.
同理可证：OF=CF.
∴EF=BE+CF.
(2)EF=BE-CF.理由如下：
理由：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC.
∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC,
∴∠ABO=∠EOB.∴EO=BE.
同理可得：OF=CF.
∴EF=OE-OF=BE-CF.
二、选择题
13、B【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】根据三角形的内角和定理表示出∠1+∠2，再根据折叠前后的两个图形能够完全重合，然后利用平角等于180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：如图，∠1+∠2=180°﹣∠γ，
∵三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，
∴∠α+2∠1+∠β+2∠2=180°×2，
即∠α+∠β+2（∠1+∠2）=360°，
∴∠α+∠β+360°﹣2∠γ=360°，
∴2∠γ=∠α+∠β．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换，利用整体思想根据平角等于180°列出算式是解题的关
键．
14、A 解析：如图，∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
即∠3+∠4=∠A+∠1+∠2，
∴ 2∠4=2∠2+∠A.
∵∠4=∠2+∠D，∴∠A=2∠D,
∴∠D=∠A=×30°=15°.故选A. 点拨：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和这一性质进行分析.
15、A【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】由平行的性质和角平分线的定义可得ED=BE，DF=CF，可得到EF=BE+CF．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=BE，同理可得FD=CF，
∴EF=ED+DF=BE+CF，
故选A．
16、B
17、C．
18、C
三、填空题
19、135°解析：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1=∠DBE.
又∵∠DBE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．
∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．
20、
40
21、= ，220
22、130
23、。