零息票债券收益率曲线的理论推导及在中国的实践

B10(s) = d3 + c3e-μs + b3e-2μs + a3e-3μs s ∈[10,20]
→
参数向量 β= ( d0 , c0 , b0 , a0 , d1 , c1 , b1 , a1 , d2 , c2 ,
b2 , a2 , d3 , c3 , b3 , a3 ,μ) 为一个十七维的向量 。
B1 (s) = d1 + c1 s + b1 s2 + a1 s3 s ∈[1 ,7]
B (s) =
B7 (s) = d2 + c2 s + b2 s2 + a2 s3 s ∈[7 ,10]
B10 (s) = d3 + c3 s + b3 s2 + a3s3 s ∈[10 ,20]
→
参数向量 β= ( d0 , c0 , b0 , a0 , d1 , c1 , b1 , a1 , d2 , c2 ,
线 (描述零息票债券收益率与时间关系函数的曲线)
就成为了金融资产定价的基础 ;同时 ,成功的资产套
期保值 (风险管理) 依赖于零息票债券收益率的准确
计算 ,这样 ,微观金融的两大支柱 :资产定价和风险
管理都是建立在零息票债券收益率计算这一基础上
发展起来的 ,零息票债券收益率在微观金融学中的
基础性地位 ,就如同数字在数学中的基础性地位 。
→
看作一个六维向量 :β= (β1 ,β2 ,β3 ,β4 ,β5 ,β6) T
如 ( c0 , b0 , a0 , d1 , d2 , d3) T 就可看作这样一组
独立参数 。其它参数 d0 = 1 , c1 , b1 , a1 , c2 , b2 , a2 都
可以用 ( c0 , b0 , a0 , d1 , d2 , d3) T 来线性表示 。
2005 年第 2 期 (总第 134 期)
贺国生等 :零息票债券收益率曲线的理论推导及在中国的实践
75
有:
n
∑ P
( t
j)
=
i =1
F
( t
j
i
)
B
(
t
,
ti)
( j
= 1 ,2 , …, n)
→
→
用矩阵表示为 : P t = F ·B t
如果 F 可逆 ( F 可逆的条件在后面我们要作剖
→
与前面阐述的类似 , 十个约束方程将使得参数
向量的自由度只有 7 , 也就是说如果选择分段指数
→
函数 ,参数β是一个七维向量 ,相对于分段多项式函
数多 出 来 一 个 参 数 μ,μ 具 有 重 要 的 经 济 含 义 ,
Vasicek 和 Fong 于 1982 年证明 ,μ正是起始日为未
设某一固定收益证券 ,在未来时间 ti ( i = 1 , …, n) 产生的现金流 F ( ti) 是事先确定的 ; V t 代表 该固定收益证券在时间 t 的理论价格 ; B ( t , ti) 代表 在未来时间 ti 支付 1 个单位货币的零息票债券在定 价时点 t 时的价格 ( ti ≥ t) 。
但是 ,金融市场交易的大部分是息票债券 ,零息 票债券数量十分有限 , 这样零息票债券收益率的计 算就需要借助一些数学方法 。代表性的方法有直接 法和间接法两种 。
一 、用直接法推导零息票债券收益率
为推导零息债券收益率曲线 , 采取用离散点来
刻画连续线的数学处理方法 。
假设要求出 n 种到期期限 ti ( i = 1 , …, n) 各不 相同的零息票债券收益率 , 则需要在金融市场上选
76
财经理论与实践 (双月刊)
2005 年第 2 期
b2 , a2 , d3 , c3 , b3 , a3) T ,为十六维的向量 。 要满足连续和一阶 、二阶可导的条件 ,则有 :
B 0 (1) = B 1 (1) , B 1 (7) = B 7 (7) , B 7 (10) = B 10 (10)
→
析) 则有 : B t = F- 1 P t
→
从而求出 B t , 也就求出了 B ( t , ti) , i = 1 ,2 ,
…, n
由公 式 B ( t , ti) = exp ( - ( ti - t) R ( t , ti -
t) ) ,
可得 R ( t , ti -
t)
=-
1 ti -
tln ( B ( t , ti) ) ,从而计算
(3) 分界点的选择 。Deacon 和 Derry 在 1994 年的 论文中证明了 ,当分段函数的分界点发生变化时 ,远 期利率曲线会发生显著变化 ,因此 ,分界点的选择十 分重要 。针对分界点的选择 ,希尔认为分界点选择的 原则应该是使各个分段所包括的债券数目相同 ; 普 里奥莱特则认为分界点的选择应能反映出债券市场 的自然分隔局面 。
F
=
(
F
( t
j)
i
)
j i
=1 ,2 , =1 ,2 ,
……,,
n n
就是刻画
n
种资产在
n
个期限产生
的现金流的矩阵 。
→
向 量 B t = ( B ( t , t1) , B ( t , t2) , …, B ( t , t n) )
刻画的是不同时期 ( ti , i = 2 , …, n) 的贴现因子 ,在
关键词 :收益率曲线 ;直接法 ;间接法 中图分类号 : F830. 91 文献标识码 : A 文章编号 :1003 - 7217 (2005) 02 - 0074 - 05
金融资产定价的基本原理就是把未来现金流用
贴现因子折现成现值 ,而贴现因子的大小取决于零
息票债券收益率的高低 ,因此 ,零息票债券收益率曲
B′0 (1)
= B′1 (1) , B′1 (7)
= B′7 (7) , B′7 (10)
=
B
′ 10
(
10)
B″0 (1)
= B″1 (1) , B″1 (7)
= B″7 (7) , B″7 (10)
=
B
″ 10
(
10)
再加上初始条件 B 0 (0) = 1 ,共有 10 个约束方
→
→
程 ,这样参数向量 β的自由度就是 6 ,也就是说 β可
按照上述原则 , 确定拟合贴现数为三阶 、四段 , 分界点分别为[0 ,1 ] , [ 1 ,7 ] , [ 7 ,10 ] 和[10 ,20 ] 的分 段多项式函数 ,则设 t = 0 , B ( t , s) = B (0 , s) 记为
B ( s)
B0 (s) = d0 + c0 s + b0 s2 + a0 s3 s ∈[0 ,1]
(西南财经大学 金融学院 ,四川 成都 610074) X
摘 要 :直接法和间接法是零息票债券收益率曲线推导的两种方法 。直接法作为一种代数方法 ,尽管存 在对样本数量没有过高要求的优点 ,但存在对样本点的选取条件过于苛刻的缺陷 ;间接法作为一种统计方 法 ,对样本点的选取条件相对宽松 ,但对样本数量有一定的要求 。在中国现有的债券交易格局下 ,推导零息 票债券收益率曲线存在一定困难 。
在无套利的情况下 ,下列公式成立 :
n
∑ V t =
F( ti) B ( t , ti)
i =1
用 R ( t ,θ) 表示以时间 t 为起息日 , 间隔为 θ,
连续计息的零息票债券收益率 ; B 函数和 R 函数存 在换算关系 : B ( t , t + θ) = exp ( - θR ( t ,θ) ) , 代入
1. 分段函数形式的事先确定 。分段函数形式的 事先确定 ,包括三个方面的内容 :确定函数的阶数 、 确定所分的段数 、确定各段的分解点 。
(1) 确定函数的阶数 。如何选择贴现函数的阶 数 ,取决于对贴现函数平滑度的要求 ,如果希望获得 的贴现函数是 P 阶可导的 , 则选取的拟合贴现函数 应该是 P + 1 阶的 。
择 n 种无违约风险 (严格意义上讲 , 是违约风险很
低 ,之所以强调风险低 , 是为了消除利率风险结构)
→
的债券品种 。用向量 Pt =
(
P
(1) t
,
P
( t
2)
,
…,
P
( t
n)
)
T ,表
示所选择的各债券品种在时间 t 的市场价格 。假设
第 j 种债券品种在时间 ti
的现金流为
F
( t
j)
i
,
Βιβλιοθήκη Baidu
出 R ( t , ti - t)
有了 n 个零息票债券收益率 , 运用数学上的内
插法 ,就可求出整条零息债券收益率曲线 ,计算公式
为 :对所有 t 3 ∈ ( ti - 1 , ti) ( i = 1 , 2 , …, n) ,
R( t , t 3
-
t)
=
ti ti -
t3 ti- 1 R ( t , ti- 1
β^ 3 , 从而得出贴出函数 , 利用公式 R ( t , s - t) =
- 1/ ( s - t) ln ( B ( t , s) ) ,就可推导出零息票债券收
益率函数 。从上面的方法简介可以看出 ,零息票收益
率函数形式的事先假定 ,是间接法的关键 。
在理论研究和实际操作中 , 零息票收益率函数
-
t)
+
t3 ti -
ti- 1 ti- 1
R
(
t
,
ti
-
t)
二 、用间接法推导零息票债券收益率
所谓间接法 , 就是事先假定零息票债券收益率
函数 (或贴现函数) 的形式 , 再从市场中选取一组无
违约风险的债券 , 来间接推导出零息票债券收益率
曲线 。
假设所选取的债券 j 在时间 t 的市场价格为
Pjt ( j = 1 ,2 , …, n) , 事先假定的贴现函数形式 为
第 26 卷 第 134 期 2005 年 3 月
财经理论与实践 (双月刊) THE THEOR Y AND PRACTICE OF FINANCE AND ECONOMICS
Vol. 26 No. 134 Mar1 2005
·证券与投资·
零息票债券收益率曲线的理论推导 及在中国的实践
贺国生 ,邓晓卓
如果拟合贴现函数选择分段指数函数 , 则表示
如下 :
B0(s) = d0 + c0e-μs + b0e-2μs + a0e-3μs s ∈[0,1]
B(s) =
B1(s) = d1 + c1e-μs + b1e-2μs + a1e-3μs s ∈[1,7] B7(s) = d2 + c2e-μs + b2e-2μs + a2e-3μs s ∈[7,10]
形式常常被事先假定为分段函数 , 主要的分段函数
形式为分段多项式函数和分段指数函数 , Martellini L . 和 Priaulet P. 利用法国国库券市场 1995 年 11 月 28 日的债券市场价格推导零息票债券利率曲线 , 得 出的结论是 :运用两种不同的分段贴现函数推导出 的结果相似 ,因此 , 在介绍间接法时 , 不用刻意区分 不同分段函数 。按照分段函数形式的事先确定和最 优决策过程求解两个步骤 ,来介绍间接法 。
一般地 ,贴现函数的阶数定为三阶 ,这样既能保 证贴现函数的二阶导数连续 , 从而保证瞬间远期利 率曲线斜率的平滑性 ;而且能避免因阶数定得过高 , 导致验证高阶导数的连续性所带来的难度 。
(2) 确定拟合贴现函数的分段数 。贴现函数分 段数并非越多越好 , Kanony 和 Mokrane 于 1992 年以 及 Dealon 和 Derry 于 1994 年分别证实 ,分段数增多 , 尽管能提高拟合度 , 但影响曲线的平滑度 , 为此 Mc Culloch 在 1975 年的论文中认为 ,拟合贴现函数的分 段数为所选债券数目 n 的平方根 。
假设各种债券现金流的流入时间均相同的情况下
X 收稿日期 : 2004 - 11 - 16 基金项目 : 本文获西南财经大学创新人才培养基金资助 。 作者简介 : 贺国生 (1968 —) ,男 ,湖南人 ,西南财经大学金融学院博士生 ;邓晓卓 (1979 —) ,女 ,湖南人 ,西南财经大学金融学院博士生 。
定价公式得 :
n
∑ V t =
F ( ti) exp ( - ( ti - t) R ( t , ti - t) )
i =1
在 F( ti) 确定的情况下 , V t 的计算就取决于
R ( t ,θ) 函数的推导 。 如果现实中在任何定价时点上都能有任意到期
期限的零息票债券在交易 ,那么 R 的计算就简单化 了 , R (面值 - 市场价值) / 市场价格 。
→→
B ( t , s) = f ( s - t ,β) ,β是参数向量 。所选取的债
券
j
在时间 s 的现金流假定为
F
( s
j)
, 则息票债券的理
论价格 ^Pji 的表达式为 :
∑ ^Pjt =
→
Fs( j) f ( s - t ,β)
s
n
∑ 根据最优决策过程 min ( Pjt - ^Pjt) 2 , 估计出 j =1