第05章 静电场静电场II

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40
静电场及矢量分析 例6. 一无限长同轴金属圆筒，内筒半径为R1，外筒半径
为R2，内外筒间充满相对介电常数为r的油，在内外筒间
加上电压U(外筒为正极），求电场及束缚电荷分布。
解：根据自由电荷和电介质分布的对称性，电场强度和
电位移矢量均应有柱对称性。
设内圆筒单位长度带电为，以r为底半径、l为高作
D 0E P
D 0r E E
P 0(r 1)E
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高 斯面，求出电位移矢量。
（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。 （4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
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35
静电场及矢量分析
有电介质时的高斯定理 电位移
在有介质时，因为与电荷有关，高斯定理 需要修改。
一. 高斯定理
q0
q0内 电 介 q内′ 质
q
S
q0 E0
q E
E E0 E
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静电场及矢量分析
同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场
含电介质的高斯定理
-------------
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7
静电场及矢量分析
一 电场线
1 规定
(1) 切线方向为电场强度方向 典型电场
(2) 疏密表示电场强度的大小
的电场线 分布图形
2 特点
(1) 始于正电荷，止于负电荷，非闭合线.
(2) 任何两条电场线不相交.
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8
静电场及矢量分析
极化电荷分布。
解: 根据金属球是等势体，而 且介质又以球体球心为中心对
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10
静电场及矢量分析
d非S匀强dS电 e场n ，曲dΦ面e S
.
E
cos θdS
E
dS
Φe
dΦe
E dS
S
en
θ
E
dS
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S
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11
静电场及矢量分析
非均匀电场，闭合曲面S .
Φe
E dS
S
E cosθdS
S
“穿出”θ 90
“穿进”θ 90
一与圆筒同轴的圆柱面为高斯面，则
S DdS D2rl S内 q0
D
1
2rl
q0
S内
R 2 R1
0
r R
D
2 r
1
R1 r R 2
0
rR
2
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静电场及矢量分析
由电位移与电场的关系，知
0
E 2 0 r r
r R 1
R1 r R2
R 2 R1
0
rR
内外筒电势差
2
U
R1
E
dl
R2
dr
ln R2
R2
R1 2 0 r r
2 0 r R1
代入得到电场的分布为：
0
r R
E
U r ln( R 2 / R1 )
1
R1 r R 2 沿半径向里
0
rR
2
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42
静电场及矢量分析
由 P 0(r 1)E 得电极化强度矢量的分布
0
r R
总电场
自由电荷
E dS
S
1
0
(q0
S内
q)
束缚电荷
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静电场及矢量分析
S内
q
S
dS
SPc
osdS
SP dS
代入得
S (0E
P) dS
q0 S内
电极化强度
定义：电位移矢量 D 0E P
有介质时的高斯定理
S
D dS
q0
S内
通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等
s1
E
dS
ES1
cos
π
ES1
Φe2 s1 E dS ES2 cosθ ES1
5
Φe Φei 0 i 1
y
P
N
S1
en
o
zM
S2 en E
R
x
en Q
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静电场及矢量分析
高斯 (C.F.Gauss 17771855）
高 德国数学家、天文学
家和物理学家，有“数 学王子”美称，他与韦
o' o
E
1 o
V
dq
0
E 0 E为均匀电场。
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.P
Rr
ro'
o
静电场及矢量分析
设想空腔内充有+和的电荷， 所有+构成一完整的带电球，过 空腔内任一点P，作以r'为半径O 为心的高斯球面。
用高斯 定理：
E E dS EdS E 4r2
E
1 o
V
dq
E
3o
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18
静电场及矢量分析
点电荷在闭合曲面外
dΦ1 E1 dS1 0
dΦ2 E2 dS2 0
dΦ1 dΦ2 0
SE dS 0
q
E2
+
dS2
dS1 E1
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静电场及矢量分析
点电荷系的电场
E dS S
S E1 dS
二 电场强度通量
1 定义 通过电场中某个面的电场线数
2 表述
E匀 垂强直电平场面，时.
SS
Een
E
Φe ES
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9
静电场及矢量分析
二 电场强度通量
1 定义 通过电场中某个面的电场线数
2 表述
匀强电场 ，
E与平面夹角 θ.
Φe ES cos θ ES
S
en
Sθ
E
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S E2 dS
S En dS
Φe1 Φe2 Φen
Φ out ei
0
E
Φin ei
E dS
S
1 ε0
qiin
1 n
ε0 i1
qiin
dS
s qi
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20
静电场及矢量分析
2 高斯定理
高斯面
在真空中静电场，穿过任一闭合曲面 的电场强度通量，等于该曲面所包围的所
作同心且半径为r 的高斯面
E dS E 4 r2
s
q 0
q
E 4 r 2 0
r
R
a.rR时，高斯面内电荷
q
d
V
4 3
r3
E r
3 0
b.rR时，高斯面内电荷 q 4 R3
3
E
R3 3 0
1 r2
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高斯定理的应用
均匀带电球体的电场分布
E
r
3 0 R3 1 30 r 2
E
θ
en
S
en
θ
E
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12
静电场及矢量分析
例0 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量.
解
5
Φe Φei i 1
Φe1 Φe2
y
P
N
S1
en
o
zM
S2 en E
R
x
en Q
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静电场及矢量分析
Φe1
有电荷的代数和除以 ε0 .
分正负
Φe
E dS
1
S
ε0
n
qin i
i 1
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21
静电场及矢量分析
3 高斯定理的讨论
(1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度为所有电荷在高斯面上的总 电场强度.
(3) 电场强度通量：穿出为正，穿进为负. (4) 仅高斯面内电荷对电场强度通量有贡献.
E1 2 π 0 r R1
E2
2
π 0 r R2
(r R1) (r R2 )
1'
( r
1) 0E1
( r 1) 2 π r R1
2'
( r
1) 0E2
( r 1) 2 π r R2
r
R2 R1
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静电场及矢量分析 例8 一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀“无 限大”电介质（电容率为ε），求球外任一点P的场强及
E
dS
E
2πrh
λh
S
ε0
E λ
2πε0r
+
E
+
h r +o
+
y
x+
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27
静电场及矢量分析
例3 设有一无限大均匀带电平面，电荷面
密度为 ，求距平面为r处某点的电场强度.
解 对称性分析与
高斯面的选取
2ES σS
E
ε0
E
E σ
S
2ε0
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28
静电场及矢量分析
P
0 ( r 1)U
r ln( R 2 / R1 )
1
R1 r R 2 沿半径向里
由
Pn
0
rR
2
得束缚电荷的分布
R 2 R1
0 ( r 1)U
R1 ln( R 2 / R1 )
0 ( r 1)U
R 2 ln( R 2 / R1 )
r R1 r R2
束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。
斯 伯制成了第一台有线电
报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
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静电场及矢量分析
三 高斯定理
1 高斯定理的导出 在点电荷q的电场中，通过求电场强度通
量导出.
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯 定理
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点电荷位于球面中心
E
4
q
πε0
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解 (1) SD dS l
D2 π rl l D
2πr
E D
ε0εr 2 π ε0εrr
(R1 r R2 )
P
( r
1) 0 E
r 1 2πrr
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静电场及矢量分析
r
R2 R1
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45
静电场及矢量分析
(2) E 2 π 0 rr
静电场及矢量分析
(2) r R
E
dS
E
4r 2
Q
S2
ε0
E
Q 4πε0r 2
QE
4π 0 R 2
Q 4πε0r 2
o Rr
r
OQ
s
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26
静电场及矢量分析
例2 设有一无限长均匀带电直线，单位长
度上的电荷，即电荷线密度为，求距
直线为r 处的电场强度.
解 对称性分析与
高斯面的选取
E σ 2ε0
σ
σ
E
EE
E
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静电场及矢量分析
无限大带电平面的电场叠加问题
σ
σ
ε0
0
ε0
σ
0
ε0
0
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30
高斯定理的应用
静电场及矢量分析
例4 均匀带电球体的电场。球半径为R，体 电荷密度为,球内外的电容率均为。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
rR rR
E Er 关系曲线
静电场及矢量分析 R
R
3 0
r 2
O
R
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r
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32
静电场及矢量分析
例5. 一半径为R、电荷密度为的均匀带电球内 有一半径为r的空腔，证明空腔内为均匀电场。
证明：取以r'为半径，o'为心的高斯球面
用高斯定理：
Rr
E E dS EdS E 4r2
Φe
E dS
1
S
ε0
n
qin i
i 1
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24
静电场及矢量分析
例1 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任意点的电场强度.
解 对称性分析：球对称
高斯面：闭合球面
(1) 0 r R
S
E dS
0
~~
?
E 0
S
O
Rr
Q
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43
静电场及矢量分析
例7 图中是由半径为R1的 长直圆柱导体和同轴的半径为
R2的薄导体圆筒组成，其间充
以相对电容率为r的电介质. 设
直导体和圆筒单位长度上的电
荷分别为+和- . 求(1)电介 质中的电场强度、电位移和极
化强度； (2)电介质内外表面 的极化电荷面密度.
R2 R1
Φe
E dS
1
S
ε0
n
qin i
i 1
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静电场及矢量分析
(5) 连续带电体的高斯定理
Φe
S
E
dS
1 ε0
V
dV
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23
静电场及矢量分析
四 高斯定理应用举例
用高斯定理求电场强度的一般步骤为： 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
r
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3314
静电场及矢量分析
.P r
过空腔内任一点P，作以r''为半径，
o
o'为心的高斯球面。
r
r
o
o
同理可得 在P点产生的电场：
E
3o
r
P点的合场强：
E=E+E= ρ r- ρ r= ρ r-r
3εo r r oo
3εo
E
3εo
3o
oo
即腔内为均匀电场！
于该面包围的自由电荷的代数和。
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静电场及矢量分析
电位移矢量 同时描述电场和电介质极化的复合矢量。
电位移线与电场线
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
性质不同。
+ + +
+ + + +
+ + +
电场线
电位移线
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D 、E、三P矢量三间关矢系量之间关静系电场及矢量分析
R
2
Φe
E dS
S
4
q πε0 R 2
dS
S
q
ε0
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静电场及矢量分析
dS
+
R
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点电荷在闭合曲面内
dΦe
q
4πε0r q
2 dS cos dS＇
θ
4πε0 r 2
drS2＇ dΩ
Φe
q 4πε0
dΩ q ε0
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静电场及矢量分析
dS
en
+
dS
dΩ
+
-
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3
静电场及矢量分析 一对等量正点电荷的电场线
+
+
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4
静电场及矢量分析 一对等量异号点电荷的电场线
-
+
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5
静电场及矢量分析 一对不等量异号点电荷的电场线
2q
-q
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6
静电场及矢量分析
带电平行板电容器的电场线 +++++++++++++
静电场及矢量分析
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静电场及矢量分析
典型电场的电场线分布图形
正点电荷与负点电荷的电场线 一对等量正点电荷的电场线 一对等量异号点电荷的电场线 一对不等量异号点电荷的电场线 带电平行板电容器的电场线
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2
静电场及矢量分析 正点电荷与负点电荷的电场线