山西省朔州市应县一中2014届高三上学期第三次月考——数学(文)

山西省朔州市应县一中
2014届高三补习班上学期第三次月考
数学（文）试题
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)
1. 图中阴影部分表示的集合是( )
A. A ∩（B ） B （A ）∩B
C. (A∩B)
D. (A ∪B) 2. 下面四个条件中，使a >
b 成立的充分而不必要的条件是（ ）
A.
a >
b +1 B. a >b -1 C. 2
a
>
2
b
D.
3
a >3
b
3. 在ABC ∆中, 已知0
60,34,4===B b a ,则角A 的度数为（ ）
A ． 0
30 B ．045 C ．0
60 D ．090
4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则a 2等于( )
A ．－2
B ．2
C ．1
D ．4
5. 函数
在闭区间 [-3，0] 上的最大值、最小值分别是( )
A ．1， 1
B ．1，－ 17
C ．3， －17
D ．9， 197
6．函数y ＝xa x
|x |
(0<a <1)的图象的大致形状是(
)
7．设
,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则
{
2
15+}，
3()31f x x x =-
+
[
21
5+],215+(
)
A.是等差数列但不是等比数列
B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列 8. 若函数
()f x 的零点与()43x
g x e x =+-的零点之差的绝对值不超过
0.25，则
()f x 可以是（ ）
A ．
()21f x x =+
B.
()21
f x x =-
C.()21x f x =-
D.
()lg(2)f x x =-
9． 如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，A ，B 是图象
上的一个最高点和一个最低点， O 为坐标原点， 则OA →·OB →
的值为( )
A.12π
B.19π2＋1
C.19π2－1
D.1
3
π2－1 10．设1m >，在约束条件1y x
y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨
⎪+≤⎩
下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则
m 的取值范围为（ ）
A
．
(1,1+ B
．(1)++∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞
11．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1
x 2＋y 2
的值为 ( )
A.23
B.－23
C.56
D.－56 12.已知
是定义在上的奇函数，且当时不等式
f(x)+xf 1(x)＞0成立，若
()
0.3
0.3
33
a f =⋅()y f x =R 0x
>
(),log 3log 3b f ππ=⋅，则大
小关系是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13. 复数
5
12i
+的共轭复数为 .
14．设等比数列{}n a 的公比1
2
q =，前n 项和为n S ，则
4
4
S a = ． 15．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →
)的值为 ．
16．下列命题：①5＞4或4＞5；②9≥3；③命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题；④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题．其中假命题的个数为________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分10分)已知
()απ
απαcos ,5
3
)6cos(,,0求=-∈
18．(本小题满分12分)函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求 f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．
19．(本小题满分12分)将函数f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 1
2
(x ＋3π)在区间
(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．
20．(本小题满分12分)已知向量
b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间
（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围．
a b c >> , , a b c 331
1,log log 9
9c f ⎛
⎫=⋅ ⎪⎝
⎭ c a b >> a c b
>> c b a
>>
21．(本小题满分12分)已知f (x )＝m x (m 为常数，m >0且m ≠1)．设f (a 1)，f (a 2)，…， f (a n )…(n ∈N)是首项为m 2，公比为m 的等比数列．
(1)求证：数列{a n }是等差数列；
(2)若c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
22. (本小题满分12分)已知函数
x x a x x f ln )1( 2
1
)(2---=，其中R a ∈．
⑴若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值；
⑵若0>∀x ，1)(≥x f 恒成立，求
a
的取值范围．
参考答案
11．解析：记向量a 与b 的夹角为θ.注意到a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|a ||b |，即6cos θ＝－6，∴cos θ＝－1，
θ＝π，向量a ，b 反向且共线，∴a ＝－23b ，即(x 1，y 1)＝－23(x 2，y 2)，∴x 1＋y 1x 2＋y 2＝－2
3，选B.
12.【解析】令由题意知，由于f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，因为,所以. 二．13.i 21+ 14.15 15.6 16.1
15.[解析] 设BC 边中点为D ，则
AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·(2AD →)
＝2|AP →|·|AD →|·cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝6.
16.①是“p 或q ”形式的复合命题，只要p 和q 中的一个真命题就真．故命题①真．
②是“p 或q ”形式的复合命题，同理为真；
③否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，是真命题；
④逆命题是“两条对角线相等的四边形是矩形”，是假命题，比如等腰梯形的对角线也相等． [答案] 1 三．17.[解析]
18.解析：由3－4x ＋x 2
>0得x >3或x <1，
∴M ＝{x |x >3或x <1}，
f (x )＝－3×22x ＋2x ＋2＝－3⎝
⎛⎭⎫2x －162＋2512. ∵x >3或x <1，∴2x >8或0<2x
<2，
∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为25
12
，f (x )没有最小值．
19.[解析] (1)化简f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 1
2
(x ＋3π)
()(),g x xf x =0,()0x g x '>>0.33
1
|log |3log 39
π>> c a b >>
＝sin x 4cos x 4·⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝－14
sin x 其极值点为x ＝k π＋π
2
(k ∈Z)，
它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以π
2
为首项，π为公差的等差数列，
a n ＝π
2＋(n －1)·π＝2n －12
π(n ∈N *)．
(2)b n ＝2n a n ＝π
2(2n －1)·2n
∴T n ＝π2[1·2＋3·22＋…＋(2n －3)·2n －
1＋(2n －1)·2n ]
2T n ＝π2
[1·22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋
1]
相减得，－T n ＝π2
[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n －(2n －1)·2n ＋
1]
∴T n ＝π[(2n －3)·2n ＋3]． 20．解法1：依定义,)1()1()(2
3
2
t tx x x x t x x x f +++-=++-=
.23)(2t x x x f ++-='则
.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若
,
3
1)(,23)(,)1,1(,230)(22=-=--≥⇔≥'∴x x g x x x g x x t x f 的图象是对称轴为由于考虑函数上恒成立在区间
开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即
.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t
5≥t t 的取值范围是故．
解法2：依定义,)1()1()(2
3
2
t tx x x x t x x x f +++-=++-=
.0)()1,1(,)1,1()(.
23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若
)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，
时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f
.
5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在
21.[解析] (1)由题意f (a n )＝m 2·m n －
1，即ma n ＝m n ＋
1. ∴a n ＝n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝1，
∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列．
(2)由题意c n ＝f (a n )·lg f (a n )＝m n ＋1·lg m n ＋1＝(n ＋1)·m n ＋
1·lg m ，
要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *
成立，
即(n ＋1)·m n ＋
1·lg m <(n ＋2)·m n ＋
2·lg m ，对一切n ∈N *成立，
①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1<m (n ＋2)对一切n ∈N *恒成立；
②当0<m <1时，lg m <0，所以n ＋1
n ＋2
>m 对一切n ∈N *成立，
因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2
的最小值为23，所以0<m <23.
综上，当0<m <2
3
或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项．
⑵（方法一）依题意1ln )1( 2
1
2≥---
x x a x ，)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-，0>x 。

1=x 时，)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-恒成立
0>x 且1≠x 时，由)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-得)ln 1()
1(2
2
x x x a ---≤
…8分 设x x x g ln 1)(--=，0>x ，x
x g 11)(/-
=，当10<<x 时0)(/
<x g ，当1>x 时0)(/>x g ……10分，所以0>∀x ，0)1()(=≥g x g
所以，当0>x 且1≠x 时，
0)ln 1()
1(2
2
>---x x x ，从而0≤a ， 综上所述，a 的取值范围为]0 , (-∞． （方法二）由⑴)1(11)1( 1)(/ax x
x x x a x f --=-
--=， 若0≤a ，则01>-ax ，由0)(/
=x f 得1=x ，且当10<<x 时0)(/
<x f ，当1>x 时
0)(/>x f ……8分，所以0>∀x ，1)1()(=≥f x f
若0>a ，由0)(/
=x f 得1=x 或a x 1=
，取⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=a m 1 , 1max 为1与a 1两数的较大者，则当m
x >时0)(/
<x f ，从而)(x f 在) , (∞+m 单调减少，x x a x x f ln )1( 2
1
)(2---=无最小值，1)(≥x f 不恒成立。

（说明一：本段解答如举反例亦可，评分如下：若0>a ，取)3(2
30>+
=a
x ，)23ln()123(2123)(20a
a a a x f +--+-+
=10)2
3ln(21<<+---=a a ，1)(≥x f 不恒成
立……13分。

说明二：若只讨论一个特例，例如1=a ，给1分） 综上所述，a 的取值范围为]0 , (-∞．。