集合的基本运算——补集

由图可知B＝{2,3,5,7}．
点评：根据补集定义，借助Venn图，可直观地 求出补集，此类问题，当集合中元素个数较少时， 可借助Venn图；当集合中元素无限多时，可借助数 轴，利用数轴分析法求解．
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－ 3<x≤2}．
(1)求∁UA，∁UB； (2)判断∁UA与∁UB的关系． 解：(1)∵A＝{x|x≥－3}， ∴∁UA＝∁RA＝{x|x<－3}． 又∵B＝{x|－3<x≤2}， ∴∁UB＝{x|x≤－3或x>2}．
解：在数轴上将各集合标出，如图．
由图可知：∁UA＝{x|－1≤x≤3}， ∁UB＝{x|－5≤x<－1或1<x≤3}． (∁UA)∩(∁UB)＝{x|1<x≤3}， (∁UA)∪(∁UB)＝{x|－5≤x≤3}＝U， ∁U(A∩B)＝U，∁U(A∪B)＝{x|1<x≤3}．
题型三 利用集合的运算求参数
集合的基本运算 补集
1．理解在给定集合中一个子集的补集的含义， 会求给定子集的补集．
2．能运用Venn图及补集知识解决有关问题．
自学导引
1．全集的定义 一般地，如果一个集合含有我们_所__研__究__问__题__中_ 所涉及的所有 元素，那么就称这个集合为全集，通 常记作 U . 2．补集 (1)定义：对于一个集合A，由全集U中_不__属__于__A_ 的所有元素组成的集合称作集合A相对于全集U的补 集，记作 ∁UA . (2)集合表示：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
错解：对于 M，Δ＝1＋4m≥0， ∴m≥－14， ∴M＝{m|m≥－14}，
∴∁UM＝{m|m<－14}， 对于 N，Δ＝1－4n≥0， ∴n≤14，∴N＝{n|n≤14}， ∴(∁UM)∩N＝{x|x<－14}．
错因分析：这个结果虽然正确，但解答过程不 正确，未对m＝0和m≠0分别讨论．
正解：当 m＝0 时，x＝－1，即 0∈M；
1．全集的相对性 (1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集 合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅 含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z 就是全集，研究方程的实数解，则R就是全集．因 此，全集因研究问题而异．
(2)对于一个给定的集合，全集选择不同，则补 集不同．
2．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借 助Venn图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直 观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想 方法使问题灵活直观地获解．
当 m≠0 时，Δ＝1＋4m≥0，即 m≥－14，且 m≠0.
综上知 m≥－14. 故集合 M＝{m|m≥－14}，∴∁UM＝{m|m<－14}． 而对于 N，Δ＝1－4n≥0，即 n≤14，∴N＝ {n|n≤14}． ∴(∁UM)∩N＝{x|x<－14}．
纠错心得：(1)当方程的二次项系数为参数 时，要对参数进行讨论，不可忽视；
答案：C
3．若A＝{x∈Z|0<x&7}，则∁ AB＝________，∁AC＝________.
解析：∵A＝{1,2,3，…，9}，B＝{1,3,4}，C＝ {3,5,6,7}，
∴∁AB＝{2,5,6,7,8,9}，∁AC＝{1,2,4,8,9}． 答案：{2,5,6,7,8,9} {1,2,4,8,9}
数形结合的思想是数学重要的思想方法之一， 数形结合的解题方法的特点是：具有直观性、灵活 性、深刻性、并跨越各科的界线，有较强的综合 性．
3．补集思想 对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之 间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解 题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和 未知的关系，化难为易，化隐为显，从而将问题解 决．这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题 的间接化原则的体现．
(3)Venn图表示： (4)运算性质：∁UU＝ ∅，∁U∅＝U ，∁U(∁UA)＝ A .
自主探究
1．全集一定包含任何一个元素吗？一定是实数 集R吗？
答：(1)全集仅包含我们研究问题所涉及的全部 元素，而非任何元素．
(2)全集是相对于研究问题而言的，如只在整数 范围内研究问题时，则Z为全集；而当问题扩展到实 数时，则R为全集，故并非全集都是实数集R.
这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已 知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA， 再由∁U(∁UA)＝A求A.
补集作为一种思想方法，给我们研究问题开辟 了新思路，今后要有意识地去体会并运用，在顺向
思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”，从 这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功 能，这是转化思想的又一体现．
3．补集的几个性质： ∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A.
3．已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，若A＝{b,2}， ∁UA＝{5}，求a，b.
解：由题意知ab2＝＋32，a－3＝5， ∴ba＝＋34，a－2＝0， ∴a＝－4 或 2，b＝3.
误区解密 因未对方程二次 项系数进行讨论而错
【例4】 设全集U＝R，M＝{m|方程mx2－x－1 ＝0有实数根}，N＝{n|方程x2－x＋n＝0有实数根}， 求(∁UM)∩N.
(2)由数轴可知： 显然，∁UA ∁UB.
题型二 交集、并集、补集的综合运算 【例2】 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝ {x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B. 解：把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2<x<10}， ∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}， ∵∁RA＝{x|x<3或x≥7}， ∴(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}
预习测评
1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A等于( ) A．{0} B．{1} C．∅ D．{0,1}
解析：∵∁UA＝{2}，∴A＝{0,1}． 答案：D
2．已知全集U＝R，A＝{x|x<2}，则∁UA等于 ( )
A．{x|x>2}
B．{x|x<2}
C．{x|x≥2}
D．{x|x≤2}
点评：(1)数轴与Venn图有同样的直观功效，在 数轴上可以直观地表示数集，所以进行集合的交、 并、补运算时，经常借助数轴求解．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重 视，还要注意补集是全集的子集．
2．已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x< －1}，B＝{x|－1≤x≤1}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∩(∁UB)， (∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∩B)，∁U(A∪B)．
(2)要特别注意进行集合运算时的“端点元 素”，如本题中在求集合 M 的补集时对于元素 －14的取舍要格外注意．
课堂总结
1．补集与全集是两个密不可分的概念，同一个 集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在 同一个全集中的补集也不同．另外全集是一个相对 概念．
2．符号∁UA存在的前提是A⊆U，这也是解有关 补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含 条件是我们解题的一个突破口．
2．怎样理解全集与补集的概念？符号∁UA的含 义是什么？
答：(1)全集只是一个相对的概念，只包含所研 究问题中所涉及的所有元素，补集只相对于相应的
全集而言．
(2)同一个集合在不同的全集中补集不同；不同 的集合在同一个全集中的补集也不同．
(3)符号∁UA包含三层意思： ①A⊆U；②∁UA表示一个集合，且∁UA⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
典例剖析
题型一 补集的运算 【例1】 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝ {2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，求集合B. 解：解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}， 又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7} 解法二：借助Venn图，如图所示，
【例3】 设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3 －2m|,6}，∁UA＝{5}，求实数m.
解：因为∁UA＝5， 所以5∈U但5∉A， 所以m2－m－1＝5， 解得m＝3或m＝－2. 当m＝3时，|3－2m|＝3≠5， 此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁UA＝{5}；
当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5， 此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去． 综上可知m＝3. 点评：由补集定义5∉A,5∈U知A U且∁UA U，在求得m＝3或m＝－2之后，检验其是否符合隐 含条件A U是必要的，否则容易产生增解而出错．
4．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝
{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁UC)＝________. 解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁UC＝{1,2,5}， ∴(A∪B)∩(∁UC) ＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．
答案：{2,5}
要点阐释