正弦定理优秀课件
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过程叫做解三角形
小结： 正弦定理
abc sin A sin B sin C
You try
例1.在ABC中， 已知c 10, A 45,C 30.
求角B和边b.
解： B 180 ( A C ) 105
∵
bc sin B sin C
5 b c sin B 10sin105
sin C
正弦 C定 理10B应50 6用 0c0 或二1：2a0s0 in C
3 4
6 4
2源自文库2
32
而可已求知 C其两它边7的5和0 或边其1和5中0 角一cs。i边nA（a对ssini角要nAC，注求意4223另3可一 能边26有4的两对2 角解8，） 8进33
2
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a;
自我提高！
练习1、在 ABC中，若A：B：C=1：2：3，则
a:b:c＝( C )
A、1:2:3
B、3:2:1
C、1: 3 :2
D、2: 3 :1
练习2、在 ABC中，若 3a=2bsinA，则B＝( C )
A、
3
B、
6
C、 或 2 D、 或 5
33
66
练习3.在ABC中,若 sin2 A sin2 B sin2 C ,则ABC的形状是( B )
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45 , 求A。
点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形 时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边 对大角定理等三角形有关性质.
2.在ABC中
(1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
解： b c ,
No sin B sin C c sin B 1 sin 60 1
sin C
Imbage3 2
b c, B 60 ,C B, C为锐角，
C 30，A 90
a c2 b2 2
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45 ,求A.
解：sin A a sin B 2 3 sin 45 3
b
22
2
a b, A B(大边对大角)
A 60 或120
(2)已知c 10, A 45 ,C 30 ,求b
(3)已知A 300 , B C 600 , a 2,求c.
点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,
此时的解是唯一的.
(1)已知b 12, A 300, B 120 ,求a;
解：(1) a b , sin A sin B
a
b sin A sin B
12 sin 300 sin 1200
4 3
（2）已知c 10, A 45 ,C 30 ,求b,
解： b c , sin B sin C
B 180 ( A C ) 180 (45 30 ) 105 ,
b
c sin B sin C
10 sin 105 sin 30
5(
6
2)
(3)已知A 30 , B C 60 , a 2,求c.
解 : A 30 , B C 60
B C 150
C 45
又 a c , sin A sin C
c
a sin C sin A
2 sin 45 sin 30
2
2
2.在ABC中 (1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
sin 30
65
2 19
正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变变式式解 12 解：： : sB在 求 在:ins 求解 is△ △BnBai 3nsB:和Ai0AAnB a和0sB或bcBABinss。csCiC1iaib。nBnan5b9中 中ss0AA0Biain0n0b(，， b舍ABs s2i已已ai去n nb2 2AB知知)4 c42 aa22＝＝ 23 224222，3412b2322＝3， 12b＝2，2 A2＝，4A5＝°4，5°，
A、等腰三角形 C、等腰直角三角形
B、直角三角形 D、不能确定
1.1.1 正弦定理
小结: • 正弦定理
• 主要应用
abc sin A sin B sin C
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边 和另一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解 、无解）
C
b a
D
Bc
A
1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sin C
结构特征: 含三角形的三边及三内角 作用： 由己知二角一边或二边一角可表示其它的边 和角
一般的，把三角形的三个角A,B,C,和 它们的对边a,b,c叫做三角形的元素 已知三角形的几个元素求其他元素的
如图:作AB上的高是CD,根椐
C
三角函数的定义,得到
aE
b
CD a sin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A
得到 a b
B
D
A
c
sin A sin B
同理,作AE BC.有 b c
sin B sin C a b c
sin A sin B sin C
(2)当 ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
大家好
正弦定理
在一个直角ABC中
a
sin A
c
a
c
sin A
sin B sin C
b c 1
c c
b sin B c
c
c
sin C
A c
b
Ca
B
abc sin A sin B sin C
思考:
abc sin A sin B sin C
对一般的三角形,这个 结论还能成立吗?
(1)当ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
小结： 正弦定理
abc sin A sin B sin C
You try
例1.在ABC中， 已知c 10, A 45,C 30.
求角B和边b.
解： B 180 ( A C ) 105
∵
bc sin B sin C
5 b c sin B 10sin105
sin C
正弦 C定 理10B应50 6用 0c0 或二1：2a0s0 in C
3 4
6 4
2源自文库2
32
而可已求知 C其两它边7的5和0 或边其1和5中0 角一cs。i边nA（a对ssini角要nAC，注求意4223另3可一 能边26有4的两对2 角解8，） 8进33
2
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a;
自我提高！
练习1、在 ABC中，若A：B：C=1：2：3，则
a:b:c＝( C )
A、1:2:3
B、3:2:1
C、1: 3 :2
D、2: 3 :1
练习2、在 ABC中，若 3a=2bsinA，则B＝( C )
A、
3
B、
6
C、 或 2 D、 或 5
33
66
练习3.在ABC中,若 sin2 A sin2 B sin2 C ,则ABC的形状是( B )
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45 , 求A。
点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形 时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边 对大角定理等三角形有关性质.
2.在ABC中
(1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
解： b c ,
No sin B sin C c sin B 1 sin 60 1
sin C
Imbage3 2
b c, B 60 ,C B, C为锐角，
C 30，A 90
a c2 b2 2
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45 ,求A.
解：sin A a sin B 2 3 sin 45 3
b
22
2
a b, A B(大边对大角)
A 60 或120
(2)已知c 10, A 45 ,C 30 ,求b
(3)已知A 300 , B C 600 , a 2,求c.
点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,
此时的解是唯一的.
(1)已知b 12, A 300, B 120 ,求a;
解：(1) a b , sin A sin B
a
b sin A sin B
12 sin 300 sin 1200
4 3
（2）已知c 10, A 45 ,C 30 ,求b,
解： b c , sin B sin C
B 180 ( A C ) 180 (45 30 ) 105 ,
b
c sin B sin C
10 sin 105 sin 30
5(
6
2)
(3)已知A 30 , B C 60 , a 2,求c.
解 : A 30 , B C 60
B C 150
C 45
又 a c , sin A sin C
c
a sin C sin A
2 sin 45 sin 30
2
2
2.在ABC中 (1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
sin 30
65
2 19
正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变变式式解 12 解：： : sB在 求 在:ins 求解 is△ △BnBai 3nsB:和Ai0AAnB a和0sB或bcBABinss。csCiC1iaib。nBnan5b9中 中ss0AA0Biain0n0b(，， b舍ABs s2i已已ai去n nb2 2AB知知)4 c42 aa22＝＝ 23 224222，3412b2322＝3， 12b＝2，2 A2＝，4A5＝°4，5°，
A、等腰三角形 C、等腰直角三角形
B、直角三角形 D、不能确定
1.1.1 正弦定理
小结: • 正弦定理
• 主要应用
abc sin A sin B sin C
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边 和另一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解 、无解）
C
b a
D
Bc
A
1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sin C
结构特征: 含三角形的三边及三内角 作用： 由己知二角一边或二边一角可表示其它的边 和角
一般的，把三角形的三个角A,B,C,和 它们的对边a,b,c叫做三角形的元素 已知三角形的几个元素求其他元素的
如图:作AB上的高是CD,根椐
C
三角函数的定义,得到
aE
b
CD a sin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A
得到 a b
B
D
A
c
sin A sin B
同理,作AE BC.有 b c
sin B sin C a b c
sin A sin B sin C
(2)当 ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
大家好
正弦定理
在一个直角ABC中
a
sin A
c
a
c
sin A
sin B sin C
b c 1
c c
b sin B c
c
c
sin C
A c
b
Ca
B
abc sin A sin B sin C
思考:
abc sin A sin B sin C
对一般的三角形,这个 结论还能成立吗?
(1)当ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?