设随机变量X的概率密度为

于最大负荷的时间X(分钟)是一个随机变量,其概率密度
为
f
(x)
1
15002 1 15002
x, (3000
x),
0 x 1500, 1500 x 3000,
求E(X)。
0,
其它.
分段函
〖解〗这是连续型随机数变的量积。由数学期望定义得：
1500 分
3000
E(X ) xf (x)dx
yx
E(X ) xf (x, y)dxdy
x
D
f 0
x 12y2dxdy
D1
x
o x1
12 xdx y2dy
0
0
1
12
0
x
y3 3
|0x
dx
1
4
0
x4dx
4 5
x5
|10
4 5
.
x
□
例5-续
E(XY) xyf (x, y)dxdy
xy 12y2dxdy
D
1
12
dx x2
15002
dx x (3000 x ) 15002
0
1500
1 15002
[
1 3
x3
|1500
0
(
1 3
x3
150x2
)
|3000
1500
]
1500 (分) □
二、随机变量函数的数学期望
利定用理随1机设变Y量=函g(数X)的是分随布机可变以量证X的明连下续列函两数定，理则: Y 也是随机变量，且其数学期望为
第四章 随机变量的数字特征
数学期望及其性质 方差及其性质 协方差与相关系数 契比雪夫不等式 常见的重要分布的数字特征
引言
分布函数能完全描述随机变量的统计特性，但求 分布函数常常是困难的，且在很多实际问题中，只需 知道随机变量的某些特征，而不必求分布函数。
由于这些随机变量的特征通常是与随机变量有关 的数值，故称它们为随机变量的数字特征。
厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费
300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
〖解〗这是求连续型随机变量函数的数学期望。
设售出一台设备的净赢利为
a( X
)
100, 200,
X 1, 0 X 1.
故售出一台设备的净赢利的数学期望为
E[a(X )] a(x) f (x)dx
E(
X
)
k1
xk
pk
,
离散型
(1)
xf (x)dx, 连续型
其中无穷级数或广义积分均绝对收敛， pk , f (分x) 别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X 的概率密度。
【例1】甲乙两人进行射击所得分数分别为X1，X2，其 分布律分别为
X1 0 1 2 pk 0 0.2 0.8
试评定甲乙成绩的优劣。
E(Y ) E[g( X )] k1 g(xk ) pk ,
g(x) f (x)dx,
离散型
(2)
连续型
其中无穷级数或广义积分均绝对收敛， pk , f (分x) 别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X 的概率密度。
定理2 Z=g(X,Y)是随机变量(X,Y)的连续函数， 则Z也是随机变量，且其数学期望为
X2 0 1 2 pk 0.6 0.3 0.1
〖解〗这是离散型随机变量。由数学期望定义得：
E(X1) 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8(分) E(X 2 ) 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5(分)
由 E(X1) E(X 2 ) 知：甲的成绩远胜过乙的成绩。□
【例2】(设在某一规定时间间隔里，某电气设备用
率
ak 接近于概率
N
pk
PX
k,故当N很大时,
2 k ak
k0 N
2
k pk .
k 0
这表明:随着试验次数增大,随机变量X的观察值的算
术平均 2 k ak 接近于
k0 N
2
k pk ,
k 0
称后者为随机变量X的数学期望(均值).
一、概念 定义1 随机变量X的数学期望记为E(X),定义为
0
x
xdx
0
y3dy
1
3
0
x
y4
|0x
dx
1
3
0
x5dx
1. 2
□
在计算二维连续型随机变量的数字数字特征时,需
要计算广义二重积分，当概率密度在有界区域D上非
零时，实际上是计算普通二重积分.
E(Z
)
E[ g ( X
,Y
)]
i1 j1
g ( xi
,
y
j
)
pij
,
g(x, y) f (x, y)dxdy,
离散型
(3)
连续型
其中无穷级数或广义积分均绝对收敛, pij , f (分x, y) 别为离散型随机变量(X,Y)的分布律和连续型随机 变量(X,Y)的概率密度。
cov(X ,Y ) E{[X E(X )][Y E(Y )]} —X与Y的协方差（§4） 其中k,m为自然数。
1
(200)
1 4
e
x 4
dx
100
1 4
e
x 4
dx
0
1
200e
x 4
|10
100e
x 4
|1
200(e
1 4
1)
Байду номын сангаас
100e
1 4
300
e
1 4
200
33.64.
□
【例5】
〖解〗这是二维连续型随机变量函数的数学期望。 联合概率密度函数非零区域为
D : 0 y x,0 x 1. y
故由定理2得:
本章介绍常用数字特征：数学期望，方差，协方 差，相关系数和矩。数学期望是最重要的一种，其余 都可以由它来定义。
§1、数学期望
【引例】枪手进行射击，规定击中区域I内得2分， 击中区域II内得1分，脱靶（击中区域III）得0分。
II I
枪手每次射击的得分X是一 个随机变量，其分布律为
III
X 01 2
6
E(Y ) E[g( X )] g(k)P{X k} k 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 5 1 2 □ 666 6 6 6
【例4】一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从
指数分布,其概率密度为
f
(
x)
1 4
e
x 4
,
x 0,
0, x 0.
工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换.若工
可见,方差是二阶中心矩,协方差是二阶混合中心 矩，它们都是随机变量函数的数学期望。
【例3】 〖解〗设X为随机取一球的标号,则r.v.X等可 能地取值1,2,3,4,5,6;
又Y=g(X),且 g(1)= g(2)= g(3)=1; g(4)= g(5)=2, g(6)=5.
故随机摸一球得分的期望为
pk p0 p1 p2
现射击N次,其中得0分的有a0次,得1分的有 a1次, 得2分的有 a2次, a0 a1 a2 N. 于是,射击N次
的总分为
0 a0 1 a1 2 a2.
从而,每次射击的平均分为
0 a0 1 a1 2 a2 2 k ak .
N
k 0
N
在第五章大数定律中可证明:当N无限增大时,频