机械CAD-CAM(第7章)-自由曲线和自由曲面

《机械CAD/CAM》 第七章
自由曲线和自由曲面
机电工程学院CIMS应用研究中心
张宇
Email: zhangyu@
曲线和曲面的数学表达
„ 曲线和曲面的数学表达方法： „ 显式表达：如 y=a0+a1x+a2x2+a3x3 „ 隐式表达：如 a1x3+a2x2y+a3xy2+a4y3=0 „ 参数表达：如 P(t) = [x(t), y(t), z(t)]
P(t) P(u, v)
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曲线和曲面的数学表达
„ 为什么采用参数方程描述自由曲线和自由曲面？
„ 所描述的曲线/曲面形状与坐标系的选取无关。
„ 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分 离的，且对变量的个数无限制，便于把低维空间中的 曲线/曲面扩展到高维空间。
„ 采用参数求导便于处理斜率无穷大的问题，且采用程 序处理时不会因此而中断计算。
„ 规格化的参数变量 t∈[0，1]，使其相应的几何分量是 有界的，不需要另设其他参数来定义其边界。
„ 有更大的自由度来控制曲线/曲面的形状。
„ 易于用向量和矩阵表示几何分量，简化计算。
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几个基本术语
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„ 点： „ 构造曲线/曲面的最基本的几何元素。 „ 常用的点有型值点、控制点（特征点）和插值点。
„ 插值： „ 函数逼近的重要方法。 „ 插值要求严格通过预先给定的各个型值点。
„ 逼近： „ 寻找一个函数，使其最佳逼近各个型值点。 „ 逼近不要求严格通过各型值点，但要求是对所有型 值点的最佳逼近。 „ 最小二乘法是最常用的逼近方法。
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插值与逼近
f(x) 插值点
给定的型值点
g(x) 给定的型值点
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插值 逼近
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几个基本术语
„ 光顺： „ 使构造的曲线/曲面光滑且无多余的拐点。 „ 相对光顺的条件：曲线具有二阶几何连续、不存在多余的拐点和奇 异点、曲率变化较小。 „ 几何连续性：曲线或曲面在连接处的连接状态。 „ 零阶连续：边界重合。 „ 一阶连续：一阶导数连续，即切线矢量连续。 „ 二阶连续：二阶导数连续，即曲率连续。
„ 拟合： „ 在曲线和曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线、 曲面达到某些设计要求，在允许的范围内通过或贴近给定的型值点 或控制点序列，从而使构造的曲线或曲面光滑连续。
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曲面的光顺
„ 曲面的光顺的要求：
„ 曲线和曲面具有G2或C2连续，无多余拐点，曲率变 化均匀。
„ 行业上的特殊要求。
„ 曲面的光顺的方法：
„ 使用不同的目标函数以及每次调整型值点的数量。
- 最小二乘法
- 能量法
- 回弹法
- 基样条法
- 圆率法
- 磨光法
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光顺前
曲面的光顺
光顺后
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曲线的矢量方程和参数方程
„ 曲线的矢量方程和参数方程：
„ 空间曲线是空间一点运动的轨迹，即空间矢量端点 运动形成的矢端曲线。
„ 矢量方程为： r=r(t)=[x(t) y(t) z(t)]
„ 其参数方程为: x=x(t)
z R
A
y=y(t) , t∈[t0,tn] z=z(t)
PO
Qy
x
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L r(t)
矢量方程和参数方程
x 2011-3-15
„ 例：空间螺旋线的矢量方程和参数方程
„ 设动点M沿圆柱右螺旋线运动，M点作圆周运动的转动角速度 为ω，沿z轴作直线运动的线速度为v，运动的时间为t，圆柱 的半径为a，总长度为L。
z ω
a
OM
N’
N
M0
矢量OM的端点轨迹即为空间螺旋线。矢端曲线的
矢量方程为：
r(t) = OM = ON + NM 因为：ON = ON’+N’N = acosωti+asinωtj; NM=vtk 所以： r(t)= acosωti+asinωtj+ vtk
=[ acosωt asinωt vt ]
其参数方程为：
y
x=acosωt
y=asinωt ， t∈[0,L/v]
z= vt
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矢函数的导矢
„ 当参数t变为t+Ut时，矢函数r(t)对应的位置由OM变为
OM1，MM1对应的矢量差为：
M(t)
r’(t)
Ur(t) = r(t + Ut) -r(t)
Ur(t)
M1(t)
O
r(t +Ut)
Ur/Ut
其变化率为： U—Ur—(tt) = —r(t—+—UU—tt) —-r(—t)
设r(t)=[ x(t), y(t), z(t) ]，当Ut€0时，即得到r(t)的导矢：
r’(t) = [ x’(t) y’(t) z’(t) ]
导矢的模为：
|r’(t)| = [x’(t)]2+[y’(t)]2+[z’(t)]2
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