第六章 运动学基础

速度矢端曲线 a N' v' O
N ''
v
N v
运动轨迹
v''
a
v
设动点在 t 时刻的速度为v,经过 △t后,即在 t+△t 时刻的速 度为v 动点在△ 时间内速度的改变为△ 则在△ 度为 ′。动点在△t 时间内速度的改变为△v= v′-v。则在△t 时间内 的平均加速度a 的平均加速度 ﹡可表示为
vc t x = vc t − r sin ϕ = vc t − r sin r vc t y = r − r cos ϕ = r − r cos r
O
y
C M
a ϕ
vc
这就是点的运动方程， 这就是点的运动方程，其运动的轨 迹为摆线(或称旋轮线) 迹为摆线(或称旋轮线)。动点的速度为
A
x
& vx = x = vc − vc cos
2 2 2
2
2
2

6.2.3 点的运动自然坐标表示法
1．弧坐标 动点M的运动用自然法表示，动点 在轨迹上的位置由动点到原点 动点 的运动用自然法表示，动点M在轨迹上的位置由动点到原点 的运动用自然法表示 来确定，称为动点M的弧坐标 当动点M 运动时， 的弧坐标。 的弧长s来确定，称为动点 的弧坐标。当动点 运动时，s 随时间而 变化，是时间的单值连续函数， 变化，是时间的单值连续函数，即
v = lim v * = lim
∆t →0
∆r ∆t
∆t → 0
=
dr dt
即动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。它是一个矢量, 即动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。它是一个矢量,其 方向沿动点的矢端曲线(即动点轨迹)的切线， 方向沿动点的矢端曲线(即动点轨迹)的切线，并与动点运动的方向一 致。在国际单位制中，速度的单位为m/s。 在国际单位制中，速度的单位为 。 3．点的运动加速度 ．
v = vτ
速度的大小等于弧坐标对时间 的一阶导数， 的一阶导数，即
M
∆s
τ
M'
∆ϕ
τ'
τ'
ds v= dt
∆τ
如果ds/dt>0，则速度与τ的正向相同，弧坐标随时间而增大。反 如果 ，则速度与τ的正向相同，弧坐标随时间而增大。 之，速度与τ的正向相反。 的正向相反。
4．点的运动加速度 速度对时间求一阶导数，得 速度对时间求一阶导数，
s = f (t )
上式称为点沿轨迹的运动方程
(+)
O s
M
τ
v
2．自然轴系
M 切线 M 主法线 ， 切线 的平面 切面 副法线 法平面， 法平面， 的 法平面 M的 的 线
法线， 法线， 的法线
法线
副 法 线
主法线 法平面
若以τ表示切线的单位矢量， 表示 若以τ表示切线的单位矢量，n表示 主法线的单位矢量， 主法线的单位矢量，以b表示副法线 表示副法线 的单位矢量， 的单位矢量，其方向由右手螺旋法则 ，
τ
T M' 切线 T' T1 法 平面 动
b
M 主法线
n
切面
b = τ×n
以 线 M M的 的 ，切线 主法线
副法线
的
3．点的运动速度 点的速度v是一个矢量，它的方向沿轨迹的切线，如图所示。显然, 点的速度 是一个矢量，它的方向沿轨迹的切线，如图所示。显然, 是一个矢量 可将动点的速度矢写成如下的形式
M
∆r r (t )
v
M'
∆r = r (t + ∆t ) − r (t )
动点在∆ 动点在∆t时间内的平均速度可表示为
r (t + ∆t )
O
v* =
∆r ∆t
动画：雷达与飞机
由数学的极限概念，动点在 时刻的瞬时速度可对上式取极限， 由数学的极限概念，动点在t 时刻的瞬时速度可对上式取极限，即
上式称为点M以直角坐标表示点的运动方程。从形式上可以看出， 上式称为点 以直角坐标表示点的运动方程。从形式上可以看出，上式 以直角坐标表示点的运动方程 也是动点轨迹的参数方程，动点的轨迹可通过消去时间参数 而直接得到。 也是动点轨迹的参数方程，动点的轨迹可通过消去时间参数t 而直接得到。
在工程实际中，经常遇到点在某平面内运动的情形， 在工程实际中，经常遇到点在某平面内运动的情形，此时点的运 动方程可简化为
dτ dt
an = v
∆ τ = τ' − τ
曲率（曲率半径的倒数） 曲率（曲率半径的倒数） 的定义为
M
∆s
τ
M'
1
ρ
= lim
∆s →0
∆ϕ dϕ = ∆s ds
∆ϕ
τ'
τ'
∆τ
由上图可知
∆ϕ ∆τ = 2 τ sin 2
即
∆τ = ∆ϕ
dτ ∆τ ∆τ ∆ϕ 1 = lim = lim = n ∆s →0 ∆s ∆s →0 ∆ϕ ∆s ds ρ
dv y dv dvx dv z d2 x d2 y d2 z a= = i+ j+ k = 2 i+ 2 j+ 2 k dt dt dt dt dt dt dt
加速度矢量亦可表示为
a = ax i + a y j + az k
dv ax = x dt
d2 x = dt 2
d2 y ay = = 2 dt dt dv y
速度矢端曲线 a N' v' O
N ''
a* =
∆v ∆t
N v
同样，由数学的极限概念， 同样，由数学的极限概念，在t 时刻 动点的加速度可表示为
∆v dv d2 r = = 2 a = lim a* = lim ∆t →0 ∆t →0 ∆t dt dt
v''
对时间的一阶导数， 即动点的加速度等于它的速度v对时间的一阶导数，也等于矢径r对时间 的二阶导数。它是一个矢量，其方向沿速度矢端曲线的切线方向，并指向速 的二阶导数。它是一个矢量，其方向沿速度矢端曲线的切线方向， 度矢端运动的方向。在国际单位制中，加速度的单位为 度矢端运动的方向。在国际单位制中，加速度的单位为m/s2。
上式称为用矢量表示的点的运动方程。动点 在运动过程中 在运动过程中, 上式称为用矢量表示的点的运动方程。动点M在运动过程中,其 矢径r的末端在空间描绘出的曲线，称为动点 的运动轨迹 的运动轨迹。 矢径 的末端在空间描绘出的曲线，称为动点M的运动轨迹。 的末端在空间描绘出的曲线
2．点的运动速度
点的速度可用矢量表示， 时刻的位置为M点 经过∆ 点的速度可用矢量表示，设动点在t 时刻的位置为 点，经过∆t后， 即在t+∆t时刻的位置为 ´。如图 时刻的位置为M 即在 时刻的位置为 所示。动点在 时间内发生的位移为 所示。动点在∆t时间内发生的位移为
x = f1 (t )
上式消去时间t， 上式消去时间 ，可得轨迹方程为
y = f 2 (t )
f ( x, y ) = 0
2．点的运动速度 点的运动速度如可用直角坐标表示， 点的运动速度如可用直角坐标表示，即
v=
dr d dx dy dz = ( xi + yj + zk ) = i + j+ k d t dt dt dt dt
vct r
& v y = y = vc sin
vct r
此时， 此时，速度的大小和方向分别可写为
v=
2 vx
+
2 vy
= vc (1 − cos
= 1 − cos ϕ
vct r
) + sin
2
2
vct r
= vc 2(1 − cos ϕ )
vy v = sin ϕ 2(1 − cos ϕ )
cos(v , i ) =
6.2 点的运动学
6.2.1 点的运动矢量表示法
1．点的运动方程
在参考坐标系上任取某确定的点O为坐标原点， 在参考坐标系上任取某确定的点 为坐标原点，则动点的位置可用 为坐标原点 表示。当动点M运动时 运动时， 原点至动点的矢径r表示。当动点 运动时，矢径r是时间的单值连续函 数，即
M
r
O
r = r (t )
按以上分析， 按以上分析，加速度可以写为
dv v2 a = aτ + a n = τ + n dt ρ
加速度的大小可写为
a
，
dv v a = a +a = + dt ρ
2 2 τ 2 n
2
2
n
τ
an
θ
M
aτ
其方向由a与主法线方向n的夹角θ 来确定， 来确定，它的正切为
dx dy dz 2 2 2 v = vx + vy + vz = + + dt dt dt
其方向为
2
2
2
vx cos(v , i ) = v
cos(v , j ) =
vy v
cos(v , k ) =
vz v
3．点的运动加速度 为求动点的加速度， 为求动点的加速度，用速度对时间求一阶导数得
v
动点M的速度矢可写为 动点 的速度矢可写为
v = v x i + v y j + vz k
比较以上两式， 比较以上两式，可得
vx =
dx dt
vy =
dy dt
dz vz = dt
这就是动点速度的直角坐标表示。可见， 这就是动点速度的直角坐标表示。可见，动点的速度在直角坐标 轴上的投影等于其相应的直角坐标对时间的一阶导数。 轴上的投影等于其相应的直角坐标对时间的一阶导数。 速度的大小为
dv z az = dt
d2 z = dt 2
可见， 可见，动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于其相应速度投影对时间 的一阶导数，也等于其相应的坐标对时间的二阶导数。 的一阶导数，也等于其相应的坐标对时间的二阶导数。加速度的大小和方向余 弦为
d x d y d z 2 2 a = ax + a y + az2 = 2 + 2 + 2 dt dt dt a a a cos(a ,i ) = x ,cos(a , j ) = y ,cos(a ,k ) = z a a a
6.2.2 点的运动直角坐标表示法
1．点的运动方程 设动点M 在空间做曲线运动，过固定点O作如图所示的直角坐 设动点 在空间做曲线运动，过固定点 作如图所示的直角坐 标系Oxyz。则动点在 时刻的位置 标系 。则动点在t 时刻的位置M 可源自文库它的三个直角坐标 x,y,z 表示， , , 表示，
，
z M
dv dv dτ a= = τ +v d t dt dt
右边两项分别称为切向加速度和法向加速度。 右边两项分别称为切向加速度和法向加速度。前者表示速度大小
。
变化对加速度的贡献，而后者是速度方向变化对加速度的贡献。 变化对加速度的贡献，而后者是速度方向变化对加速度的贡献。
dv d2 s aτ = τ = 2 τ dt dt
第6章 运动学基础
6.1 运动学的基本概念 6.2 点的运动学 6.3 刚体的平动 6.4 刚体绕定轴的转动
6.1 运动学的基本概念
运动学只从几何角度来研究物体的运动(如轨迹、 运动学只从几何角度来研究物体的运动(如轨迹、速度和加速度 等)，而不研究引起物体运动的物理原因(如力、质量等)。因此，运 而不研究引起物体运动的物理原因(如力、质量等) 因此， 动学是研究物体运动的几何性质的学科。 动学是研究物体运动的几何性质的学科。
tan θ =
aτ an
的圆轮沿水平直线轨道滚动而不滑动， 【例6-1】半径为r的圆轮沿水平直线轨道滚动而不滑动，轮心 则在 半径为 的圆轮沿水平直线轨道滚动而不滑动 轮心C则在 与轨道平行的直线上运动。设轮心 的速度为一常量 与轨道平行的直线上运动。设轮心C的速度为一常量vC ,试求轮缘上 一点M的运动轨迹、速度和加速度。 一点 的运动轨迹、速度和加速度。 的运动轨迹 解：以点M第一次和轨道接触的瞬时作为时间的起点，并以该接触点 以点 第一次和轨道接触的瞬时作为时间的起点， 第一次和轨道接触的瞬时作为时间的起点 作为坐标的原点，建立Oxy坐标系，点M的坐标为 坐标系， 作为坐标的原点，建立 坐标系 的坐标为
因而
dτ ∆τ ∆τ ∆s v = lim = lim = n ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆s ∆t dt ρ
这样法向加速度可写为
an =
v2
ρ
n
由此可见，法向加速度的大小等于点的速度平方除以曲率半径， 由此可见，法向加速度的大小等于点的速度平方除以曲率半径， 的大小等于点的速度平方除以曲率半径 方向与主法线的方向一致，指向轨迹的曲率中心。 方向与主法线的方向一致，指向轨迹的曲率中心。
如图所示。 如图所示。
k
r
z O y
j
，
当点M运动时， 当点 运动时，这些坐标一般可 运动时 表示为时间t 的单值连续函数，即 表示为时间 的单值连续函数，
x
i
x
y
x = f1 (t)
y = f 2 (t )
z = f3 (t)
x = f1 (t )
1．点的运动方程
y = f 2 (t )
z = f 3 (t )
vx v
2(1 − cos ϕ )