(论文)关于警力的分布问题

题目：关于警力分布的问题

摘要

本文针对某区域多个学校周围警力分布的问题，在执勤点限定范围不同的情况下分别建立了数学模型，求得所需最少警员数及相应的执勤点布设方案。

问题一将执勤点的布设限定在95个标志点上。首先，我们利用图论中的相关理论分析引入最短路径长矩阵，并由Floyd算法求得最短路径长矩阵；然后，在假设同一警员的辖区内接连发生两起险情间的时间间隔足够长的前提下，我们以配置最少人数的警员为目标，以学校的安全保障和执勤点布设位置的限定为约束条件，通过相关0-1变量的引入，最终建立模型一，并直接利用相应的软件求得所需最少警员数为20名，同时，求解结果还给出了一种最少警员配置下的执勤点布设方案。

问题二依然将执勤点的布设限定在95个标志点上，但要求给出具体的执勤点布设方案并进行评价；我们通过分类讨论和枚举，求得最少警员配置下的执勤

点布设共有774144种可行方案。为此，首先我们引入优化指标f（所有的执勤点到其所辖学校的最短路径长之和），并认为f越小时方案越优，然后以配置最少人数的警员和求f最小值为优化目标，以学校的安全保障和执勤点布设位置的

限定为约束条件，建立起一个双目标规划模型，最后运用分支定界的思想分类讨论、枚举，即获得一种最优的执勤点布设方案。在方案的评价中，我们引入评价指标缺警数，并利用蒙特卡罗模拟仿真进行多次模拟，求得各警员辖区内可能同时出现多起险情（或多起险情发生间隔很短）时该分配方案的平均缺警数，其中在某一时段第一类学校发生险情的概率为0.5，第二类学校发生险情的概率为0.7时，平均缺警数为3，由此可见虽然假设了同一警员的辖区内接连发生两起险情间的时间间隔足够长，但求得的最优分配方案能够较好的应对同一警员辖区内可能同时发生多起险情的情况。

问题三将执勤点的布设限定在了道路上，而不再是有限个标志点，这虽然增大了执勤点布设的灵活性，也利于减少配置警员人数，但也给模型的建立和求解带来巨大困难。我们在满足执勤点布设位置的精度要求下增设标志点，认为直线道路可由一系列的标志表示，将问题3转化为与问题1、2类似的问题，最终建立于模型一类似的模型。

关键词：警员配置执勤点布设图论最短路 Floyd算法蒙特卡罗模拟标志点

一问题重述

今年3月23日早晨，福建省南平市实验小学多名无辜学生在校门口被犯罪分子砍杀。该起重大恶性伤害事件引起了某市市委、市政府领导的高度重视，立即召集市公安局、教育局、行政执法局等有关部门和单位，召开加强校园周边特殊时段安全防范工作紧急会议，研究确定了加强校园周边安全防护工作的若干意见。

根据要求，公安部门要将学校安保工作纳入综合控制体系，加强社会嫌疑人员监控与防范。继续做好和落实公安部推出的维护校园及周边治安秩序“八条措施”。要在上下学高峰时段统筹派遣警力值勤护卫，加强校园周边巡逻与保卫工作。在学生、幼儿上下学的重点时段，各所中小学、幼儿园附近道路上安排警员执勤点。要做好应急处置工作，对学校险情进行快速反应，及时处置。

现有某区域内学校分布如图，设各标志点之间的道路为直线段。假设警员的执勤点布置在标志点，在接警后能以200米/分的速度赶往现场，根据学校人数的规模分类，各类学校要求尽可能在1分钟之内到达，第2类学校要求尽可能在2分钟之内能有第二名警员到达。

1．至少需要多少警员？

2．选择合理的执勤点位置，给出方案的评价。

3．若执勤点布置不限定在标志点，而是限定在道路上，重新讨论上述问题。

二基本假设

1. 假设在同一警员的辖区内接连发生两起险情间的时间间隔足够长。

2. 假设警员接警后都能即刻以预定速度赶到事发现场，途中无交通堵塞等意外

情况出现。

3. 假设警员到达事发现场后能迅速控制局面，并能顺利完成每一次任务。

4. 假设险情发生现场可以用一个点的坐标表示，且险情只在学校所在标志点发

生。

三 符号说明

i v 或j v ：图G 中编号为i 或j 的的顶点，其中,1,2,...,95i j = ij d ：i v 到j v 的距离，,1,

,95i j =,

即有ij d =

ij w ：i v 到j v 的直达距离，若i v 不能直达j v ，则令ij w =∞，,1,

,95i j =

ij a ：i v 到j v 的最短路径长，1,

,95,1,,95i j ==

i n ：在标志点i v 处安排的警员数

四 问题分析

4.1 对问题的总体分析

题目要求在一个学校分布比较集中的区域内布置警员执勤点，达到两个目标：①能及时处理各类学校险情，其中，对于各类学校都要求警员接警后尽可能在1分钟之内到达，而对于第2类学校还要求尽可能在2分钟之内能有第二名警员到达；②优化警力资源的配置，在问题1中即是要使配置的警员数量达到最少，在问题二中，即要在警员人数配置最少的前提下，确定一种较优的执勤点布设方案，能方便警员执勤及警员间的工作协调。

布置警员执勤点的首要目标就是能及时处理各类学校险情，保障安全，而优化警力资源的配置是以保障安全为前提的；因此，我们可以以优化警力资源的配置作为目标，以保障安全和执勤点布设位置的限定作为约束条件进行数学模型的建立(如下图所示)。

模型建立的思路

4.2 对问题1的分析

问题1将警员执勤点的布设位置限定在95个标志点上，分别要求求得所需的最少警员数。

分析题图及所给各标志点的坐标数据，由图论相关理论可知各标志点及其间的直线道路可构成一个图，记为((),())G V G E G =,其中()V V G =是由所有标志点组成的顶点集，()E E G =是以各标志点间的直线道路为元素的边集；由于

((),())G V G E G =既无环又无平行边，因此G 是一个简单图。若以i v 到j v 的直达

距离ij w 对图((),())G V G E G =的边赋权，就得到一个无向赋权图(,,)G V E W =，而由该无向赋权图的邻接矩阵W 我们可以求得每对顶点之间的最短路（求每对顶点间的最短路可用Floyd 算法实现求解），最终建立最短路径长矩阵ij A 。

为达到优化目标，我们可根据最短路径长矩阵ij A 分别搜索出距离第一类学校不超过200米的标志点和距离第二类学校不超过400米的标志点，从而在满足约束条件的前提下同时确定最少配置的警员数。

4.3 对问题2的分析

问题2仍然是将警员执勤点的布设位置限定在95个标志点上，要求我们选择合理的执勤点位置，并给出方案的评价。

在问题1中，我们已经分析了如何求得最少警员数的思路，但并未具体分析最少人数警员的具体执勤点位置安排，而这样的可行方案将可能有很多种，因此，我们的任务就是从多种配置最少警员的可行方案中寻求一种最优方案或较优方案；运用分支定界的思想，我们将能获得一种最优或多种较优执勤点布设方案。

因为求得的分配方案是在假设1（假设在同一警员的辖区内接连发生两起险情间的时间间隔足够长）的条件下求得的，而实际中这一假设并不容易完全满足。于是，对于方案的评价，我们可以用计算机模拟仿真定量求出在学校险情的发生不满足假设1时，该分配方案缺少的警员数，从而来评价方案的优劣。

4.4 对问题3的分析

问题3要求将执勤点限定在道路上，重新确定所需的最少警员数和警员执勤点。尽管将执勤点的布设限定在道路上，大大增加了执勤点布设的灵活性，也利于求得更少人数的警员配置，但给布设方案的确定带来了很大的困难。

容易知道，每一条直线道路是由无数个连续的点组成的集合，但在满足一定精度要求的前提下，我们可以将一条直线道路看作按一定距离沿该直线道路分布的有限多个点组成。由此，我们可以在直线道路上增设若干标记点（足够多以满足求解精度要求），再将执勤点的布设限定在所有标记点上，这样就可把问题3转化为了问题1、2,只是问题3中标志点的数量要多，于是，模型3的模型建立也就迎刃而解了。

五 模型的建立与求解

5.1 问题1的模型建立与求解

5.1.1 数据的预处理

⑴根据两点间的距离公式

ij d =（式5.1）

我们可以将标志点的坐标转化为各标志点间的距离，建立矩阵()9595

ij D d ?=。

⑵将所有的标志点从B ～Z ,1A ～1Z ,2A ～2Z ,3A ～3R 依次记为

1v ,2v ,…,k v ,…,95v ⑶由题图可得学校分类并标记如下表所示:

5.1.2 模型一的建立

⑴无向赋权图(,,)G V E W =的邻接矩阵 依据4.2节中问题分析的思路，我们首先由各标志点及标志点间的直线道路建立一个无向赋权图(,,)G V E W =，其权值取为i v 到j v 的直达距离ij w ，且有

ij ij d w ?=?∞

?

(,),(,)i j ij i j i j ij i j v v e v v E

v v e v v E =∈=?可直达,即不可直达即 （式5.2） 则可得无向赋权图G 的邻接矩阵9595()ij W w ?=：

11

11

(9595)

n m mn w w W w w ??? ?

=

?

??? ⑵每对顶点间的最短路径长

设ij a 为i v 到j v 的最短路径长，则由ij a 构成最短路径长矩阵(9595)()ij A a ?=：

11

11

9595

n m mn a a A a a ??? ?

=

?

??? ⑶目标函数的确定

设在标志点i v 配置警员i n 名，则目标函数为

95

1min i i n =∑ （式5.3）

⑷约束条件的确定

①设集合k AS 由所有与学校k sc (1,2,...,19)k =间最短路径长小于200米的标记点组成，则引入0-1变量ki b ：

10ki b ?=??

i k i k v VS v VS ∈?时

时

（式5.4）

由于各类学校都要求警员接警后尽可能在1分钟之内到达，则k AS 中至少有一个标志点被配置了警员，即有约束条件一：

95

1

1ki i

i b n

=≥∑ (1,2,...,19)k = （式5.5）

②设集合k PS 由所有与第二类学校k sc (14,15,...,19)k =间最短路径长小于400米的标记点组成，则引入0-1变量ki c ：

10ki c ?=??

i k i k v PS v PS ∈?时

时

（式5.6） 由于第二类学校还要求尽可能在2分钟之内能有第二名警员到达，则k PS 中至少有一个标志点被配置了警员，即有约束条件二：

95

1

2ki i

i c

n =≥∑ (14,15,...,19)k = （式5.7）

③标志点i v 处配置警员数i n 必须大于或等于0，即有约束条件三:

0i n ≥ (1,2,...,95)i = （式5.8）

④约束条件四:式5.4。 ⑤约束条件五：式5.6。 ⑸ 最终模型的确定

综上所述，我们建立问题一的数学模型如下：

obj ：95

1min i i n =∑

95

195

11,(1,2,...,19)2,(14,15,...,19)..0,(1,2,...,95)0,10,1ki i i ki i i i ki

ki b n k c n k s t n i b c ==?≥=???≥=???≥=??=??=????

∑∑ 5.1.3 模型一的求解

⑴由式5.1所示两点间距离公式，利用MATLAB 进行简单的编程即可求得i v 到

j v 的距离ij d ，建立矩阵()

9595

ij

D d ?=。

⑵由式5.2可求得赋权邻接矩阵9595()ij W w ?=中所有元素的值。 ⑶由Floyd 算法求解i v 到j v 的最短路径长ij a 。

对于无向图，0A 是对称矩阵，即ij ji a a =。Floyd 算法又称插点法，其基本思想是：

递推产生一个矩阵序列01,,...,,...,k n A A A A ，该序列中(,)k A i j 表示表示从顶点

i v 到j v 的路径上所经过的顶点序号不大于k 的最短路径长度；计算时用迭代公式

111(,)min((,),(,)(,))k k k k A i j A i j A i k A k j ---=+，k 是迭代次数，,,1,2,...,i j k n =；最

后，当k n =时，n A 即是各顶点之间的最短通路值。

针对本问题，Floyd 算法求解i v 到j v 最短路的具体步骤如下：

step1:给矩阵(9595)()ij A a ?=和9595()ij R r ?=赋初值，令ij ij a w ←，ij r j ←，1k ←；

其中9595()ij R r ?=用来存放每对顶点之间最短路径上所经过的顶点的序号，k 为迭代次数。

step2:更新ij ij a r 和，对所有i j 和，若ik k j ij a a a +<，则i j i k k j a a a ←+，ij r k ←。 step3:若95k =，停止迭代，此时(9595)()ij A a ?=即为所求最短路径长矩阵；否则1k k ←+，转step2。

⑷根据最短路径长矩阵，利用MATLAB 搜索出所有集合k AS (1,2,...,19)k =和k PS (14,15,...,19)k =包含的元素，列成表格如下：

⑸模型的最终求解

在完成以上求解后，根据5.1.2中最终建立的模型，我们直接利用相应的数求解，得到结果

95

1min 20i i n ==∑

即至少需要20名警员，同时求解结果还给出了一种执勤点的布设方案，具体如表（4）所示。

5.2 问题2的模型建立与求解 5.2.1 模型建立前的具体分析 ⑴警员配置最少的执勤点布设方案

令集合k k k CS AS PS =（其中当1,2,...,13k =时，令k PS =?）。 ①第一种情况：

由表（2）及表（3）可得k CS (1,2,...,19)k =中两两无交集的集合所对应的学校，如表（5）所示。对于这种情况的学校，我们可以单独讨论为其配置警员。

为满足约束条件（式5.5）、（式5.7），对于上表中列出的11个学校，我们至少需要安排12名警员，其中必须在B,S,K1,N1,G2,N2,R2,X2,I2,P3,P2对应的

k AS 集合中的一个执勤点安排一名，并另在P2对应的k CS 集合中的一个执勤点

安排一名，故一共可得到123232242224608l =?????????=种布设方案。 完成学校B,S,K1,N1,G2,N2,R2,X2,I2,P3，P2的警员配置后，我们再对尚未讨论的学校做如下分类： ②第二种情况：

表（6）中给出的学校对应的k CS 集合间有交集，但与其它学校对应的k CS 无交集。对于这种情况的学校，我们依然可以单独讨论为其配置警员。

为满足约束条件（式5.5）、（式5.7），下列学校至少需要3名警员提供安全保障，其中分别在B2,I2对应的k AS 中的一个执勤点安排一名，在B2,I2对应的

k PS 的交集中安排一名，故一共有2224l =?=种布设方案。

③第三类情况：

表（7）中给出了在第一、二种情况中未作讨论的学校，这些学校对应的k

CS 集合间关系较为复杂。

在第一、二种情况的讨论中，我们知道必须给B,S,K1,N1,G2,N2,R2,X2,I2,P3，P2，B2,I2这13所学校单独配置15名警员，而在问题一中我们求得所需最少的警员数为20，因此，表（7）中的6所学校所需警员数为5。通过进一步的分类枚举我们得到共有342l =种布设方案。

综合上述3种情况的讨论，我们得知警员配置最少情况下（即总共配置20名警员）执勤点布设方案共有123774144l l l l =??=种。因此我们接下来的目标就是要从这774144种可行方案中寻求出最优方案，而首先我们就需要引入合理的优化指标。

⑵优化警员配置指标的引入和量化

由本文以上的分析我们可知，我们可以在实现最少警员配置的前提下增设优化目标，以筛选出较优或最优的方案。

题中各类学校都要求警员接警后尽可能在1分钟之内到达，第2类学校要求尽可能在2分钟之内能有第二名警员到达。显然，警员接警后能越早到达险情现场越好，也就是说执勤点的布设应该尽可能接近其所辖学校。

假设一个执勤点可管辖(1)p p ≥个学校。当1p =时，显然将执勤点布设在该学校所在的标志点最好（此时，执勤点到其所辖学校的距离为0）；当1p >时，

则要综合考虑，布设在到这p 个学校都较近的标志点，但为简化模型的建立和求解，我们认为当该执勤点布设在到这p 个学校的最短路径长之和最短时，布设方案最优。

设所有的执勤点到其所辖学校的最短路径长之和为f ，则我们可将f 作为警员配置的优化指标；f 越小，布设方案越优。

因此，我们将在模型一的基础上增加一个优化目标，即：

min f

5.2.2 双目标模型的建立 ⑴0-1变量

⑵目标函数的确定 ①目标函数一

由式(5.3）得到:

95

1min i i n =∑

②目标函数二

设i v 到学校k sc 的最短路径长为ik a ,并引入0-1变量ik g ：

01ik g ?=?? i k i k v sc v sc 被布设为一个可管辖学校的执勤点未被布设为一个可管辖学校的执勤点1,2,3,...,95i =（）

（式5.9） 则得目标函数二：

95

1

min min ik ik i f g a ==∑ (1,2,...,19)k = （式5.10）

⑶约束条件的确定

由（式5.4）～（式5.9）可得约束条件：

95

195

11,(1,2,...,19)2,(14,15,...,19)..0,(1,2,...,95)010101ki i i ki i i i ki ki ik

b n k

c n k s t n i b c g ==?≥=???≥=???≥=?

?=?

=??=?∑∑或或或

⑷模型二的确定

由上述建立步骤，我们最终得到双目标规划模型如下：

:obj 95

1min i i n =∑

95

1

min min

ik

ik i f g

a ==∑ (1,2,...,19)k =

95

195

1

1,(1,2,...,19)2,(14,15,...,19)..0,(1,2,...,95)010101ki i i ki i i i ki ki ik

b n k

c n k s t n i b c g ==?≥=???≥=???

≥=?

?=?

=??=?∑∑或或或 5.2.3 模型二的求解 ⑴模型二求解的分析

模型二是一个多目标规划模型，虽然可将其转化为单目标函数进行求解，但

ik g 的值难以一一确定或由软件求解，这给最终模型的求解带来很大的困难。

由于目标二要求在达到目标一的前提下实现，而在模型一的建立与求解过程中我们已经求得95

1min 20i i n ==∑。对于目标二的实现，我们结合5.2.1节第⑴部分

的分析可知，在该部分所讨论的3种情况下的学校的执勤点布设相互独立，因此我们可以对三种情况下的学校分别独立求解出最优布设方案，最终即得到20个执勤点布设的最优方案。

在5.2.1节第⑴部分讨论的3种情况中：

①对于第一种情况，由于各可行的执勤点执都只能管辖一个学校，因此，对于该情况下的每一个学校我们都能很容易的搜索出最优的执勤点布设方案。

②对于第二种情况下的4种布设方案，通过枚举法就可很快求出最优布设方案。

③对于第三种较复杂的情况，我们已经利用枚举法计算出总共有42种可行方案，同上，采用枚举法我们可以确定出最优布设方案。 ⑵模型二的求解

①由表（5）及在模型一中求得的最短路径长矩阵(9595)()ij A a ?=，我 们可以确定第一种情况中的最优布设方案，如表（8）所示。

②对于第二种情况下的4种布设方案，通过枚举法就可很快求出最优布设方案，具体如表（9）所示。

③对于第三种情况下的42种布设方案，通过枚举法求得最优布设方案，具体如

表（10）第三种情况中执勤点的最优布设方案

④综上所求，得到20个执勤点的最优布设方案，具体如表（11）所示。

也可将表(11)该写为如表（4）所示的情形，具体见表（12）。 图（5.1）中用小三角形标记出了执勤点最优布设方案的位置。

图5.1 警员配置最少情况下的执勤点最优布设方案

5.2.4 方案的评价和计算机模拟检验

⑴在上一节中我们给出了模型二的执勤点最优布设方案，然而，我们是在假假设1（假设在同一警员的辖区内接连发生两起险情间的时间间隔足够长）的前提下求得的；而实际情况中，同一警员的辖区内接连发生两起险情的时间间可能会很短，一旦这样的情况出现，该警员将无法在规定时间内到达其中的一个险情现场。如果各类学校各以一定的概率发生险情，则多名警员的辖区内将可能同时出现两起险情（或两起险情发生间隔很短），这样，整个分配方案将出现警员不足的现象。我们定义需求警员数和缺警数的概念如下：

设01k sc ?=??k k sc sc 第一类学校未发生险情时的状态

第一类学校发生险情时的状态(1,2,...,13)k =

02k sc ?=??k k

sc sc 第二类学校未发生险情时的状态

第二类学校发生险情时的状态(14,15,...,19)k =

当学校k sc 以一定的概率发生险情时，第一类学校需求警员数1Demand 和第二类学校需求警员数2Demand 分别为

13

11k i Dmand sc ==∑ (1,2,

,13

k = 19

14

2k i Demand sc ==∑(1,2,

,6)k =

则总的需求警员数Demand 为

12Demand Demand Demand =+

而每当有一名警员到达发生险情学校k sc 时，将k sc 的值减去1。当所有警员都已出动后，重新计算13

1

k i sc =∑和19

14

k i sc =∑，得到第一类学校缺警数1Lack 和第二类

学校缺警数2Lack 分别为

13

11k i Lack sc ==∑ (1,2,

,13)k =

19

14

2k i Lack sc ==∑(1,2,

,6)k =

则最后得到总的缺警数Lack 为

12Lack Lack Lack =+

⑵下面，我们将采用蒙特卡罗（Monte-Carlo ）模拟方法，求各警员辖区内可能同时出现多起险情（或多起险情发生间隔很短）时该分配方案总的缺警数。

设第一类和第二类学校发生险情的概率(1)P 和(2)P 分别为

1(1)P p =，2(2)P p = 12(0,1)p p ≤≤

进行系统模拟的具体步骤如下： 首先，列出与系统有关的模拟因素。

实体：①学校

特征一：01k sc ?=?? k k

sc sc 学校未发生险情时的状态

学校发生险情时的状态 (1,2,...,19)k =

特征二：1(1)P p =，2(2)P p = 12(0,1)p p ≤≤

②警员：0()1Police i ?=?? 警员在原地待命

警员到学校处理险情

(1,2,

,20)i =

③缺警数：式（5.11）

活动：各警员前往所辖学校中险情发生现场

事件：某学校发生险情，其对应的执勤警员在规定时间内前往处理

初始状态：0k sc = (1,2,...,19)k =，()0Police i = (1,2,,20)i =

0Demand =，0Lack = 其次，确定系统的运转规则。

一旦()Police i 所管辖学校发生险情，警员()Police i 立即前往。当()Police i 所辖多个学校同时发生多起险情时， 他将优先前往人数较多的第二类学校，若发生险情的学校种类也相同，则前往序号较小的学校。

接着：作出模拟过程的流程图，如图（5.2）所示。

最后：根据设定概率(1)

P产生随机数开始模拟。

P和(2)

通过设定不同的(1)

P、(2)

P变化而变化的

P，我们得到缺警数随(1)

P和(2)

图像如图5.3所示。模拟多次，从其中选出几组具有代表性的概率值及其对应平均缺警数，如表（13）所示。

接连发生两起险情间的时间间隔足够长，但求得的最优分配方案能够较好的应对同一警员辖区内可能同时发生多起险情的情况。

图5.2 模拟流程

5.3 问题3的模型建立与求解 5.3.1 模型三建立前的分析 ⑴模型建立和求解的困难

问题3不在将执勤点的布设限定在执勤点，而是限定在道路上，这大大增加了执勤点布设的灵活性，将有利于求得更少人数的警员配置。问题3的基本要求仍然不变，即为：①各类学校都要求警员接警后尽可能在1分钟之内到达；②第2类学校要求尽可能在2分钟之内能有第二名警员到达。

因此，我们的任务就是在限定的道路上布设执勤点及警员，在满足上述基本要求下达到配置最少警员数的目标。

尽管将执勤点的布设限定在道路上，大大增加了执勤点布设的灵活性，也利于求得更少人数的警员配置，但给布设方案的确定带来了很大的困难。 ⑵模型的转换 显然，每一条直线道路是由无数个连续的点组成的集合，但在满足一定精度要求的前提下，我们可以将一条直线道路看作按一定距离沿该直线道路分布的有限多个点组成。由此，我们可以在直线道路上增设若干标记点（足够多以满足求解精度要求），再将执勤点的布设限定在所有标记点上，这样就把问题3转化为了问题1、2,只是问题3中标志点的数量要多，于是，模型3的模型建立也就迎刃而解了。

⑶标志点的合理增设

标志点的增设首先要保证模型转换后求解结果的精度，如果我们设定50米为可接受执勤点布设位置的精度误差，那么，在完成标志点的增设后，对任意两个相邻的标志点i v 和j v ，必须有(,)50ij i j e v v =≤米。

由于执勤点只能布设在满足基本要求①和②的标志点上，故只需在满足基本要求①和②的道路段上增设执勤点。 5.3.2 模型三的建立

设在满足可接受精度要求下，我们进行标志点的合理增设，最终总共得到v 各标志点，重新对所有的标志点依次标记为1v ，2v ，…，v v 。

同模型一得建立过程，我们得到模型三（其中各符号代表的意义同模型一）：

:obj 1min v

i i n =∑

111,(1,2,...,19)2,(14,15,...,19)..0,(1,2,...,)0,10,1v

ki i i v

ki i i i ki

ki b n k c n k s t n i v b c ==?≥=???≥=???≥=??=??=????

∑∑

5.3.3 模型三的求解 ⑴模型求解的分析

由模型一的求解可知模型三可直接由LINGO 或MATLAB 编程求得所需最少警员数及一种或多种执勤点的布设方案。

然而，由于增设了标志点，首先我们必须求得新增标志点的坐标，在求得新的最短路径长矩阵()ij v v A a ?=；而模型求解的最大阻碍就来至新增标志点坐标的确定，因为这一过程难以由计算机编程实现，而人工计算的数据量是非常大的，特别当要求的布设精度较高时。

我们采用了分类讨论的解法大致确定每一执勤点的布设位置。

（2）

首先根据公式

d =

计算出各学校间的距离，形成矩阵()

1919

ij E e ?=，ij e 表示学校i u 到j u 的距离。根

据学校间的距离分为三种情形：

情形一：距离小于400米的学校，建立邻接矩阵

1111

j i ij p p P p p ?? ?=

? ???

1,,19,1,

,19i j ==，其中ij p 表示i u 到j u 的距离。在距离小于400米的两学校

间设置执勤点，即满足警员在一分钟之内可以到达各学校。若没有与该学校间距

小于400米的学校，则可以 在学校及其附近小于200米的道路上设置执勤点。

情形二：距离小于600米的学校，建立邻接矩阵

1111

Q=j i ij q q q a ?? ? ? ???

1,,13,1,

,6i j ==，其中ij q 表示第一类学校i f 到第二类学校i g 的距离。在距离

小于600米的两学校间设置执勤点，其位置设立在距离第二类学校400米的道路

上。

情形三：距离小于800米的学校，建立邻接矩阵

1111

j i ij r r R r r ?? ?=

? ???

1,,6,1,

,6i j ==，其中ij r 表示第二类学校i g 到第二类学校j g 的距离。在距离

小于800米的两学校间设置执勤点，其位置设在两学校中间道路上。 对于三种情形，我们分别讨论

对于情形一，只有学校W 与Z 、1E 与1G 之间的距离小于400米，可以在中间设置执勤点，其他执勤点设在其余15个学校或其附近200米之内，共设17个执勤点。

对于情形二，在情形一的基础上，找出第一类与第二类小于600米的学校：

1K 与1G ,1N 与2B ，1U 与1E ,故在求解情形一时，第一类学校1K 、1N 、1U 的执勤

点仍满足第二类学校1G 、2B 、1E 在两分钟内有第二名警员到达的条件。

对于情形三，只有学校1E 与1G 满足要求，但学校1E 与1G 已经满足条件，故只要在学校J 、2I 、2P 附近400米分别设置一个执勤点就可以满足条件（执勤点与学校所在位置重合），共3个。

六 模型的评价和改进

（1） 对于问题1我们综合运用图论的相关知识，借助Floyd 算法，构造了最短

A。再根据题意，建立0-1规划模型。最后借助LINGO软件路径长矩阵

ij

编程求解，得到最少警员数为20。

（2）对于问题2，我们采用分类讨论逐层分析的方法，确定了在警员数为20 的情况下的分配方案数量。然后又创造性的引入了评价标准f，最终确定了最优的分配方案，并通过蒙特卡罗模拟检验评价了方案的优劣。

（3）对于问题三，我们采用两种解法求解。第一种方法运用集合的思想，先考虑执勤点的集合为独立集合的9个学校，再考虑剩余的10个学校，大大降低了解题的难度；第二种方法采用分情况讨论的办法，将所有学校的情况分为三类考虑，便于讨论和求解。通过这两种方法，我们求得最少警员数为20，最少执勤点数为17的结果。

（4）本模型的优点是计算步骤清晰，充分利用了软件资源，且从问题出发，分析了应该考虑的各种情况，建立了一般的数学模型，较好的解决了此类实际问题。同时本文所建立的模型及方法应用十分广泛，例如可用于如何对城市消防设施，红十字急救物资等进行合理布置的问题。

七参考文献

[1] 甘应爱《运筹学》清华大学大学出版社 2007

[2] 韩中庚《数学建模方法及其应用》高等教育出版社 2006

[3] 姜启源《数学模型》高等教育出版社 2005

[4] 谢金星《优化建模与LINGO/LINDO软件》清华大学出版社 2006

[5] 韩明《数学实验（MALTLAB版）》同济大学出版社 2009

[6] 王建卫《MATLAB7.X程序设计》中国水利水电出版社 2007

[7] 韩中庚《数学建模方法及其应用》高等教育出版社 2006

[8] 徐全智《数学建模》高等教育出版社 2003

八附录

附录1

问题一的程序：

程序一（MATLAB）

B=zeros(95,95);

A=Ta.*250;

for i=1:95

for j=1:95

B(i,j)=sqrt((A(i,1)-A(j,1))^2+(A(i,2)-A(j,2))^2);

end

end

程序二（MATLAB）

b1=zeros(95);

c1=zeros(95);

b2=zeros(95);

c2=zeros(95);

a=xlsread('sj.xls');

for i=1:95

for j=1:95

if a(i,j)<200

b1(i,j)=1; b2(i,j)=a(i,j);

end

if a(i,j)<400

c1(i,j)=1;

c2(i,j)=a(i,j);

end

end

end

b3=[b1(:,1) b1(:,9) b1(:,18) b1(:,22) b1(:,25) b1(:,30) b1(:,32) b1(:,36) b1(:,39) b1(:,46) b1(:,53) b1(:,58) b1(:,60) b1(:,65) b1(:,67) b1(:,69) b1(:,75) b1(:,86) b1(:,93)];

c3=[c1(:,9) c1(:,30) c1(:,32) c1(:,53) c1(:,60) c1(:,67)];

程序二（LINGO）

model:

sets:

number/1..95/:x;

school1/1..19/:s1;

school2/1..6/:s2;

link(number,school1):b;

links(number,school2):c;

endsets

data:

b=@file('b.txt');

c=@file('c.txt');

enddata

min=@sum(number(i):x);

@for(school1(j):@sum(number(i):b(i,j)*x)>1);

@for(school2(j):@sum(number(i):c(i,j)*x)>2);

End

问题二的程序(MATLAB)

for k=1:1000

a=rand(1,5);

for i=1:5

if a(:,i)<=1

a1(:,i)=2;

else

end

end

b=rand(1,2);

for i=1:2

if b(1,i)<=1

b1(1,i)=1;

else

b1(1,i)=0;

end

end

c=[b1 a1];

A=zeros(1,7);

if c(1,1)==1

A(1,1)=1;

c(1,1)=c(1,1)-1;

end

if c(1,2)==1

A(1,2)=1;

c(1,2)=c(1,2)-1;

end

if c(1,3)==2

A(1,3)=1;

A(1,4)=1;

c(1,3)=c(1,3)-2;

end

if c(1,4)==2

if A(1,3)==0

A(1,3)=1;

c(1,4)=c(1,4)-1; end

A(1,5)=1;

c(1,4)=c(1,4)-1;

end

if c(1,5)==2

if A(1,1)==0

A(1,1)=1;

c(1,5)=c(1,5)-1; end

A(1,6)=1;

c(1,5)=c(1,5)-1;

end

if c(1,6)==2

if A(1,2)==0